专题38 程序框图的应用-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖

专题38 程序框图的应用-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖

专题38 程序框图的应用 一．【学习目标】‎ ‎1．了解算法的含义，了解算法的思想；理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．‎ ‎2．理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．‎ ‎3．初步了解几个典型的算法案例．‎ 二．知识要点 ‎1．算法通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，必须是明确和有序的，而且能够在有限步之内完成．‎ ‎2．程序框图又称流程图，是一种用规定的图形 ‎ ‎、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤，流程线带方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．‎ ‎3．三种基本逻辑结构 ‎(1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，其结构形式为：‎ ‎(2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式，即：‎ ‎(3)循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行处理某一步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型循环 ‎ 和直到型循环 ‎ ‎．结构形式为：‎ ‎4．基本算法语句 ‎(1)输入、输出语句和赋值语句：‎ 输入语句格式：INPUT“提示内容”；变量 ；‎ 输出语句格式：PRINT“提示内容”；表达式 ；‎ 赋值语句格式：变量＝表达式 ．‎ ‎(2)条件语句：‎ ‎①框图：‎ ‎②条件语句格式：‎ IF—THEN格式 IF—THEN—ELSE格式 ‎5．循环语句 循环语句的格式 ‎①UNTIL语句 ‎②WHILE语句 ‎③顺序结构是每个算法结构都含有的，而对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体．循环结构和条件结构都含有顺序结构．‎ ‎④利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．‎ ‎6．算法案例 ‎(1)辗转相除法与更相减损术 ‎①辗转相除法：求两个正整数的最大公约数的方法，用较大的数m除以较小的数n得到余数r，反复操作，直到余数为0为止，即m＝nt＋r(0≤r＜n)．因此要用“后测试型”循环语句表示，其程序如下：‎ INPUT m，n DO r＝m MOD n m＝n n＝r LOOP UNTIL r＝0‎ PRINT m END ‎(2)秦九韶算法 n次多项式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0‎ ‎＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0‎ ‎…‎ ‎＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0‎ 得到递推公式 v0＝an且vk＝vk－1x＋an－k，其中k＝1，2，…，n 其算法可用循环语句来实现．‎ ‎(3)进位制 ‎①将十进制数化为二进制数的算法称为除2取余法；将十进制数化为k进制数的算法称为除k取余法．‎ ‎②将k进制数化为十进制数的算法步骤为：‎ 第一步：从左到右依次取k进制数anan－1…a‎1a0(k)各位上的数字乘以k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即an·kn，an－1·kn－1，…，a1·k，a0·k0；‎ 第二步：把所有积加起来，就得到十进制数．‎ 三.典例分析 ‎（一）秦九韶算法与框图 例1．‎ 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为( )‎ A．64 B．68 C．72 D．133‎ ‎【答案】B 练习1．秦九韶算法是将求次多项式的值转化为求个一次多项式的值。已知，求，那么（ ）‎ A．0 B．5 C．4 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，‎ 则当时，，，，，.‎ 本题选择D选项.‎ ‎（二）利用框图求方差 例2．若执行如图所示的程序框图，输入，则输出的数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】该程序框图的功能是求三个数的方差，‎ 输出的，‎ 故选B.‎ 练习1．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：，，，，，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的值及其统计意义分别是( )‎ A．，即5个数据的方差为2 B．，即5个数据的标准差为2‎ C．，即5个数据的方差为10 D．，即5个数据的标准差为10‎ ‎【答案】A ‎【解析】由程序框图知：算法的功能是求的值，‎ ‎∵跳出循环的值为5，‎ ‎∴输出 .故选：A.‎ ‎（三）数学文化与框图 例3．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.如图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.若运行该程序，则输出的的值为：（参考数据：，，）（ ）‎ A．48 B．36 C．30 D．24‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，模拟执行程序，可得：‎ 第一次循环：，，不满足条件，；‎ 第二次循环：，不满足条件，；‎ 第三次循环：，满足条件，退出循环，‎ 输出的值为24，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．‎ 练习1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）‎ A．47 B．48 C．39 D．40‎ ‎【答案】A ‎【解析】执行程序框图如下：‎ 初始值，执行循环体；‎ ‎，执行循环体；‎ ‎，执行循环体；‎ ‎，结束循环，.‎ 输出. ‎ ‎（2）写出该程序表示的函数，并求出当输出的时，输入的的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）对应的程序框图如图所示：‎