2017-2018学年浙江省东阳中学高二下学期期中考试数学试题 Word版

2017-2018学年浙江省东阳中学高二下学期期中考试数学试题 Word版

东阳中学2018年上学期期中考试卷 高二数学 一、选择题（每小题5分，共50分）‎ ‎1．直线的倾斜角为 A． B． C． D．‎ ‎2.在的展开式中，项的系数为 A． B． C． D．‎ ‎3．5名学生站成一排，其中甲不能站在两端，乙要站在正中间，则不同的排法有 A．6种 B．12种 C．24种 D．60种 ‎4.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则。其中真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．若是实数，则“”是“”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 ‎7.正方体中，E、F分别是棱AD、DC的中点，则异面直线EF与所成的角是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ, F1是左焦点, 若∠PF1Q=900, 则双曲线的离心率为 ‎ A． 　B． 1+ 　C． 2+ 　 D． 3-‎ ‎9．过x轴上一点P，向圆C：作切线，切点分别为A、B，则面积的最大值是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若球心O恰好在线段DA上，且DC=，则这个球的表面积为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每小题4分，共28分）‎ ‎11．过点且与原点距离最大的直线的方程是___________.‎ ‎12．已知椭圆的两焦点为，上顶点为B，则的外接圆方程是______________.‎ ‎13．函数（m为常数）在上有最大值为3，那么此函数在上的最小值是_______.‎ ‎14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点的直线交双曲线的右支于、两点，若，则的周长为．‎ ‎15.把这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先增后减，则这样的数列共有_______个.‎ ‎16.已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .‎ ‎17. 设圆M的半径为，圆心在直线上，若M上不存在点N，使，其中，则圆心M横坐标的取值范围是_____________.‎ 三、解答题（共72分）‎ ‎18.在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．‎ ‎（1）求证：平面；（2）求的长。‎ ‎19.给定抛物线：，过点斜率为的直线与交于，两点．（1）设线段的中点在直线上，求的值；（2）设，当时，求的长。‎ ‎20. 设，函数．（1）若时，求曲线在处的切线方程；（2）若无零点，求实数的取值范围。‎ ‎21. 如图，在四棱锥P－ABCD中，G为AC与BD的交点，平面PAD，为正三角形，DC//AB，DA=DC=2AB,（1）若点E为棱PA上一点，且GE//平面PBC，求的值；（2）求证：平面PBC平面PDC；（3）求平面PBD与平面PCD所成角的大小。‎ ‎22.已知椭圆：，椭圆的焦点是椭圆的长轴的顶点，且有相同的离心率，（1）求椭圆 的方程；（2）若点M、N在椭圆上，点P在椭圆上，设直线的斜率分别为，①当时，求证：直线的斜率的平方为定值；②当时，是否存在常数，使得成立？若是，求出该定值；若不是，说明理由。‎ 高二数学期中答案 一、选择题：‎ ‎1．解：C。‎ ‎2. 解：B。因为二项展开式的通项为，令，得，则项的系数为。‎ ‎3．解：B。‎ ‎4．解：B。①④正确，②③错误。‎ ‎5．解：A。‎ ‎6. 解：C。由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体，且其高为1。由其体积是可知该几何体的底面积是。由图知A的面积是1，B的面积是 ，C的面积是，D的面积是，故选C.‎ ‎7. 解：B。 8. 解：B。 9．解：A。‎ ‎10. 解：C.由可知。取AC 中点M，则OM为的中位线。又点M 为外接圆圆心，球心O到面ABC 的距离为，球半径为，故球表面积为.‎ 二、填空题：‎ ‎11．解：‎ ‎12．解：‎ ‎13．解：‎ ‎14. 解：‎ ‎15. 解：30个。从中选出一个数排在6的右侧，其余排在6的左侧，得到先增后减的数列有个；从中选出两个数排在6的右侧，其余排在6的左侧，得到先增后减的数列有个，……，因此满足条件的数列总个数为个。‎ 另解：先确定6，有1种方法；然后排5，可在6的左侧，也可在6的右侧，有2种方法；再排4，可在以上排列的左侧，也可在以上排列的右侧，有2种方法；……，因此有种。这样数列中有一个全排在6的左侧的，有一个全排在6的右侧，因此符合条件的数列有个。‎ ‎16. 解：由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为.‎ ‎17. 解：或。设，则，问题转化为两圆没有公共点，所以或，即 或，解得或。‎ 三、解答题：‎ ‎18.解：（1）在长方体中，可知，由四边形是平行四边形，所以.因为分别是的中点，所以，则，‎ 又面面，则平面 ‎ ‎（2），所以 ‎19.解：（1）直线MN的方程为，代入，化简整理得，因为，解得 ‎（2）因为，得，又因为，且，解得，从而得，从而有。‎ ‎20.解：（1）函数的定义域为，， ‎ 当时，，则切线方程为，即．‎ ‎（2）①若时，则，是区间上的增函数，∵，，所以，函数在区间有唯一零点；‎ ‎②若，有唯一零点；‎ ‎③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故在区间上，的最大值为。由于无零点，须使，解得。综上可知，所求实数的取值范围是．‎ ‎21. 解：（1）因为GE//平面PBC，所以GE//PC，故有AG：GC＝AE：EP。又因为DC//AB，DC＝2AB，所以AG：GC＝AB：DC＝1：2，故有 ‎（2）分别取PD、PC的中点M、F，连结AM、FB、MF，则MF//DC，MF//DC。又因为DC//AB，2AB＝DC，所以MF//AB，MF＝AB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AM//BF。‎ 在正三角形PAD中，M为PD的中点，所以AM⊥PD。因为平面PAD，所以AB⊥AM。又因为DC//AB,所以DC⊥AM。因为BF//AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD，所以BF⊥平面PCD，故有平面PBC平面PDC。‎ ‎（3）由上易得是平面PBD与平面PCD的平面角。不妨设，则，‎ ‎。在中，，，即平面PBD与平面PCD所成角的大小是。‎ 另解：（1）同上解法。‎ ‎（2）取AD中点O，连PO，因为平面PAD，得。又因为为正三角形，有，从而有平面ABCD。‎ 以DA为x轴、AD的中垂线为y轴、PG为z轴建立坐标系，不妨设，得，可得平面PBC的法向量为，平面PCD的法向量为。因为，得，即平面PBC平面PDC。‎ ‎（3）可求平面PBD的法向量为，所以平面PBD与平面PCD所成角的大小的余弦值是，即平面PBD与平面PCD所成角的大小是。‎ ‎22.解：（1）‎ ‎（2）①设直线MN的方程为，代入椭圆整理得，‎ 所以，解得 ‎②设，则，代入可得，所以，。‎ 高二数学期中考试答案（详细）‎ 一、选择题：‎ ‎1．直线的倾斜角为 A． B． C． D．‎ 解：C。‎ ‎2.在的展开式中，项的系数为 A． B． C． D．‎ 解：B。因为二项展开式的通项为，令，得，则项的系数为。‎ ‎3．5名学生站成一排，其中甲不能站在两端，乙要站在正中间，则不同的排法有 A．6种 B．12种 C．24种 D．60种 解：B。‎ ‎4.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则。其中真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解：B。①④正确，②③错误。‎ ‎5．若是实数，则“”是“”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解：A。‎ ‎6. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 ‎　 解：C。由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体，且其高为1。由其体积是可知该几何体的底面积是。由图知A的面积是1，B的面积是 ，C的面积是，D的面积是，故选C.‎ ‎7.正方体中，E、F分别是棱AD、DC的中点，则异面直线EF与所成的角是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：B。‎ ‎8. 过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ, F1是左焦点, 若∠PF1Q=900, 则双曲线的离心率为 ‎ A． 　B． 1+ 　C． 2+ 　 D． 3-‎ ‎ 解：B。‎ ‎9．过x轴上一点P，向圆C：作切线，切点分别为A、B，则面积的最大值是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：A。‎ ‎10.已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若球心O恰好在线段DA上，且DC=，则这个球的表面积为 A. B. C. D. ‎ 解：C.由可知。取AC 中点M，则OM为的中位线。又点M 为外接圆圆心，球心O到面ABC 的距离为，球半径为，故球表面积为.‎ 二、填空题：‎ ‎11．过点且与原点距离最大的直线的方程是___________.‎ 解：‎ ‎12．已知椭圆的两焦点为，上顶点为B，则的外接圆方程是______________.‎ 解：‎ ‎13．函数（m为常数）在上有最大值为3，那么此函数在上的最小值是_______.‎ 解：‎ ‎14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点的直线交双曲线的右支于、两点，若，则的周长为．‎ 解：‎ ‎15.把这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先增后减，则这样的数列共有_______个。‎ 解：30个。从中选出一个数排在6的右侧，其余排在6的左侧，得到先增后减的数列有个；从中选出两个数排在6的右侧，其余排在6的左侧，得到先增后减的数列有个，……，因此满足条件的数列总个数为个。‎ 另解：先确定6，有1种方法；然后排5，可在6的左侧，也可在6的右侧，有2种方法；再排4，可在以上排列的左侧，也可在以上排列的右侧，有2种方法；……，因此有种。这样数列中有一个全排在6的左侧的，有一个全排在6的右侧，因此符合条件的数列有个。‎ ‎16.已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .‎ 解：由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为.‎ ‎17. 设圆M的半径为，圆心在直线上，若M上不存在点N，使，其中，则圆心M横坐标的取值范围是_____________.‎ 解：或。设，则，问题转化为两圆没有公共点，所以或，即或，解得或。‎ 三、解答题：‎ ‎18.在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．‎ ‎（1）求证：平面；（2）求的长。‎ ‎【解析】（1）在长方体中，可知，由四边形是平行四边形，所以.因为分别是的中点，所以，则，‎ 又面面，则平面 ‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎19.给定抛物线：，过点斜率为的直线与交于，两点．（1）设线段的中点在直线上，求的值；（2）设，当时，求的长。‎ 解：（1）直线MN的方程为，代入，化简整理得，因为，解得 ‎（2）因为，得，又因为，且，解得，从而得，从而有。‎ ‎20. 设，函数．（1）若时，求曲线在处的切线方程；（2）若无零点，求实数的取值范围。‎ 解：（1）函数的定义域为，， ‎ 当时，，则切线方程为，即．‎ ‎（2）①若时，则，是区间上的增函数，∵，，所以，函数在区间有唯一零点；‎ ‎②若，有唯一零点；‎ ‎③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故在区间上，的最大值为。由于无零点，须使，解得。‎ 综上可知，所求实数的取值范围是．‎ ‎21. 如图，在四棱锥P－ABCD中，G为AC与BD的交点，平面PAD，为正三角形，DC//AB，DA=DC=2AB,（1）若点E为棱PA上一点，且GE//平面PBC，求的值；（2）求证：平面PBC平面PDC；（3）求平面PBD与平面PCD所成角的大小。‎ 解：（1）因为GE//平面PBC，所以GE//PC，故有AG：GC＝AE：EP。又因为DC//AB，DC＝2AB，所以AG：GC＝AB：DC＝1：2，故有 ‎（2）分别取PD、PC的中点M、F，连结AM、FB、MF，则MF//DC，MF//DC。又因为DC//AB，2AB＝DC，所以MF//AB，MF＝AB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AM//BF。‎ 在正三角形PAD中，M为PD的中点，所以AM⊥PD。因为平面PAD，所以AB⊥AM。又因为DC//AB,所以DC⊥AM。因为BF//AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD，所以BF⊥平面PCD，故有平面PBC平面PDC。‎ ‎（3）由上易得是平面PBD与平面PCD的平面角。不妨设，则，。在中，，，即平面PBD与平面PCD所成角的大小是。‎ 另解：（1）同上解法。‎ ‎（2）取AD中点O，连PO，因为平面PAD，得。又因为为正三角形，有，从而有平面ABCD。‎ 以DA为x轴、AD的中垂线为y轴、PG为z轴建立坐标系，不妨设，得，可得平面PBC的法向量为，平面PCD的法向量为。因为，得，即平面PBC平面PDC。‎ ‎（3）可求平面PBD的法向量为，所以平面PBD与平面PCD所成角的大小的余弦值是，即平面PBD与平面PCD所成角的大小是。‎ ‎22.已知椭圆：，椭圆的焦点是椭圆的长轴的顶点，且有相同的离心率，（1）求椭圆的方程；（2）若点M、N在椭圆上，点P在椭圆上，设直线的斜率分别为，①当时，求证：直线的斜率的平方为定值；②当时，是否存在常数，使得成立？若是，求出该定值；若不是，说明理由。‎ 解：（1）‎ ‎（2）①设直线MN的方程为，代入椭圆整理得，‎ 所以，解得 ‎②设，则，代入可得，所以，。‎