河北省衡水市安平县河北安平中学2019届高三下学期期末考试数学（理）试题

河北省衡水市安平县河北安平中学2019届高三下学期期末考试数学（理）试题

安平中学2018-2019学年下学期期末考试 高三数学试题（理）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A. B. C. (1,0) D. (1，)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,‎ ‎，，‎ ‎，‎ 圆心坐标为（0，-1），‎ 则极坐标为，故选B.‎ 考点：直角坐标与极坐标的互化.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2.若一直线的参数方程为（为参数），则此直线的倾斜角为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 消去参数转为普通方程，求得直线的斜率，进而求得倾斜角.‎ ‎【详解】消去参数得，故斜率为，对应倾斜角为，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线的参数方程转化为普通方程，考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题.‎ ‎3.函数的最小值及取得最小值时的值分别是（）‎ A. 1， B. 3，‎0 ‎C. 3， D. 2，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值.‎ ‎【详解】依题意，当且仅当，即时等号成立，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件，属于基础题.‎ ‎4.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线被圆C截得的弦长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长.‎ ‎【详解】由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，‎ 圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，‎ 圆心到直线l的距离d＝，‎ 直线l被圆C截得的弦长为2.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式求解.‎ ‎5.若不等式的解集为，则实数等于（）‎ A. 8 B. ‎2 ‎C. -4 D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值不等式的解法化简，结合其解集的情况求得的值.‎ ‎【详解】由得.当时，无解.当时，，解得，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎6.曲线，（为参数）对称中心（ ）‎ A. 在直线上 B. 在直线上 C. 在直线上 D. 在直线上 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.‎ 考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.“”是“关于x的不等式的解集非空”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：解：因为，‎ 所以由不等式的解集非空得：‎ 所以，“”是“关于x的不等式的解集非空”的充分不必要条件，‎ 故选C.‎ 考点：1、绝对值不等式的性质；2、充要条件.‎ ‎8.过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为（）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.‎ ‎【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故（异号）.故.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎9.若，则关于的不等式的解集为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得的取值范围，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】原不等式可化为，由于，故，根据绝对值的定义可知恒成立，故原不等式的解集为.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的运算，属于基础题.‎ ‎10.已知，，，且，则的最大值为（）‎ A. 3 B. C. 18 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用柯西不等式求得的最大值，由此求得的最大值.‎ ‎【详解】由柯西不等式得：‎ ‎，所以，当且仅当时，等号成立，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.‎ ‎11.已知点（x,y）满足曲线方程 （θ为参数），则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 消去参数可得曲线的方程为： ，其轨迹为圆，‎ 目标函数 表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，‎ 如图所示，数形结合可得：的最小值是1.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎12.为实数，且有解，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，只需m大于最小值即可满足题意．‎ ‎【详解】有解，只需大于的最小值，，所以，有解．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，是基础题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（共4题每题5分满分20分）‎ ‎13.已知|a＋b|＜－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：‎ ‎①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；‎ ‎⑤|a|＜－|b|－c.‎ 其中一定成立的不等式是________(填序号)．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据绝对值不等式的性质可得到c＜a+b＜﹣c，进而可得到﹣b+c＜a＜﹣b﹣c，即可验证①②成立，③不成立，再结合|a+b|＜﹣c，与|a+b|≥|a|﹣|b|，可得到|a|﹣|b|＜﹣c即|a|＜|b|﹣c成立，进而可验证④成立，⑤不成立，从而可确定答案．‎ ‎【详解】∵|a＋b|＜－c，∴c＜a＋b＜－c.‎ ‎∴a＜－b－c，a＞－b＋c，①②成立且③不成立．‎ ‎∵|a|－|b|≤|a＋b|＜－c，‎ ‎∴|a|＜|b|－c，④成立且⑤不成立．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的基本性质．考查基础知识的综合运用．‎ ‎14.在极坐标系中，曲线和的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立两条曲线的极坐标方程，求得交点的极坐标，然后转化为直角坐标.‎ ‎【详解】由，解得，故，故交点的直角坐标为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本小题主要考查极坐标下两条曲线的交点坐标的求法，考查极坐标和直角坐标互化，属于基础题.‎ ‎15.不等式的解集是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两边平方的方法，求出不等式的解集.‎ ‎【详解】由两边平方并化简得，解得，故原不等式的解集为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，属于基础题.‎ ‎16.已知，则取得最小值时，，，形成的点________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用柯西不等式求得的最小值，并求得此时的值.‎ ‎【详解】由于，故.当且仅当时等号成立，故.‎ 故答案为 ‎【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最值，并求等号成立的条件，属于基础题.‎ 三.解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17题10分，18-22每题12分）‎ ‎17.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）已知，，圆上任意一点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，利用求得圆的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及点到直线的距离公式，求得到直线的距离，由此求得三角形的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.‎ ‎【详解】解：（1）圆的参数方程为（为参数），‎ 所以其普通方程为，‎ 所以圆的极坐标方程为.‎ ‎（2）点到直线：距离，‎ 故的面积，‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，考查点到直线距离公式，属于中档题.‎ ‎18.设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对任意的实数均成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法去绝对值，分类讨论求得不等式的解集.或者用两边平方的方法求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等，求得的最小值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）解：等价于，‎ 当时，等价于，即，不等式恒成立，故；‎ 当时，等价于，解得，故；‎ 当时，等价于，即，无解.‎ 综上，原不等式的解集为.‎ 又解：等价于，即，‎ 化简得，‎ 解得，即原不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 当且仅当等号成立 要使对任意的实数均成立，则，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查含有绝对值函数最值的求法，考查恒成立问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎19.在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.‎ ‎【答案】(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.‎ ‎【详解】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，‎ 整理可得直角坐标方程为，‎ 的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.‎ ‎（2）设曲线与轴异于原点的交点为，‎ ‎∵，∴过点，‎ 设直线的参数方程为（为参数），‎ 代入可得，解得或，‎ 可知，‎ 代入可得，解得，‎ 可知，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以线段长度的最小值为.‎ ‎【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若恒成立，求实数的最大值；‎ ‎(2)记(1)中的最大值为，正实数，满足，证明: .‎ ‎【答案】(1)2；(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值三解不等式求出f（x）的最小值为1，从而得出|m﹣1|≤1，得出m的范围；‎ ‎（2）两边平方，使用作差法证明．‎ ‎【详解】(1)由 得，要使恒成立，只要，‎ 即，实数的最大值为；‎ ‎(2)由(1)知，又 故，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．‎ ‎21.已知曲线：，直线：（是参数）．‎ ‎（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（2）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）(为参数);（2）最大值为，最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将两边乘以，转化为直角坐标方程，配成圆的标准方程后写出圆的参数方程.消去直线参数方程的参数，求得直线的普通方程.（2）利用圆的参数方程，设出曲线上任意一点的坐标，并求得到直线的距离.将转为，根据三角函数最值的求法，求得的最大值与最小值.‎ ‎【详解】解：曲线：，可得，所以，‎ 即：，‎ 曲线的参数方程，，为参数．‎ 直线：（是参数）．‎ 消去参数，可得：．‎ ‎（2）曲线上任意一点到的距离为．‎ 则，其中为锐角，且．‎ 当时，取得最大值，最大值为．‎ 当时，取得最小值，最小值为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查极坐标方程转为直角坐标方程，考查参数方程和普通方程互化，考查点到直线的距离公式，考查三角函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，‎ ‎（1）若时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的图象与轴围成的三角形面积小于6，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法分类讨论的数学思想，求得不等式的解集.（2）先用零点分段法去绝对值，将转化为分段函数的形式，求得的图象与轴三个交点的坐标，由此求得所围成三角形面积的表达式，根据面积小于列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，化为：，①，‎ 当时，①式化为：，解得：，‎ 当时，①式化为：，解得，‎ 当时，①式化为：，无解，‎ ‎∴的解集是；‎ ‎（2）由题设可得：‎ ‎∴函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为：‎ ‎，，，‎ ‎∴，‎ 由题设可得：，解得：，‎ 故的范围是．‎ ‎【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查三角形的面积公式和一元二次不等式的的解法，属于中档题.‎ ‎ ‎