2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

‎2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高二上学期期中考试数学(理科）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．‎ 1、 命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形 D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形 2、 已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则﹁p为 ‎ A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1‎ C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1 D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1‎ ‎3已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于 ‎ A．－1 B．1 C．3 D．7‎ ‎4、“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝ ‎ A．2　　　　　　　B．3 C．4 D．9‎ 6． 抛物线的焦点到直线的距离是 A． B．2 C． D．1‎ ‎7、命题：若，则；命题：．下列命题为假命题的是 A． B． C． D． ‎ ‎8、已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为 ‎ A． B．2 C．或2 D．或 ‎ ‎9.已知数列是各项均为正数的等差数列，其前9项和，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎10、在焦距为的椭圆中，是椭圆的两个焦点，则 “”是“椭圆上至少存在一点，使得”的 A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎11.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A．(1，＋∞) B．(1,2] C． D．(1,3]‎ 二、 填空题： 本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程是____．‎ ‎14. 若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎15. 已知为椭圆是椭圆的两个焦点，则：的最小值为_________‎ ‎16、下列四种说法：‎ ‎①命题“∀x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；‎ ‎②命题“在数列中，若数列为等比数列,则”的逆命题为真命题；‎ ‎③若“”为真命题，则“”也为真命题 ‎④设，且(其中，，为正实数)，则的取值范围是 其中正确的说法是________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17．（10分）已知a>0，a≠1，设p：函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．‎ ‎18.(12分)已知点, ,直线相交于点,且它们的斜率之积为.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹方程;‎ ‎（Ⅱ）若点,求的最小值.‎ 19. ‎(12分)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，‎ 且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项；‎ ‎(2)令，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎20．（12分）已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点．‎ ‎21.(12分)在等比数列{an}中，an>0 ( ),公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设 ，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值.‎ ‎22.(12分)设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率 为，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．‎ 石嘴山市三中高二年级第一学期期中数学(理科）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1、命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是(　　)‎ A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形 D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形 答案：C　‎ 2、 已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则﹁p为 ‎ A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1‎ C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1 D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1‎ 答案：B　‎ ‎3已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于 ‎ A．－1 B．1 C．3 D．7‎ 答案B.∵a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝33－35＝－2， ∴a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.‎ ‎4、“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎5.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝ ‎ A．2　　　　　　　B．3 C．4 D．9‎ 答案：B 6． 抛物线的焦点到直线的距离是 A． B．2 C． D．1‎ ‎【答案】D【解析】由可得其焦点坐标，根据点到直线的距离公式可得 ‎．故选D．‎ ‎7、已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为 ‎ A． B．2 C．或2 D．或 ‎ ‎【答案】【解析】C 故答案为：或2．‎ ‎8、命题：若，则；命题：．下列命题为假命题的是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎9.已知数列是各项均为正数的等差数列，其前9项和，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎10、在焦距为的椭圆中，是椭圆的两个焦点，则 “”是“椭圆上至少存在一点，使得”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎11.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 （ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D【解析】由题意得， ，则为奇函数且在 上单调递增，不等式对任意实数恒成立，则在恒成立，分离参数，又因为（当且仅当时，取等号），则，故选D.‎ ‎12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A．(1,3] B．(1,2] C． D．(1，＋∞)‎ ‎【答案】A【解析】，当且仅当，即时取等号．这时．由，得，即，得，‎ 二、 填空题： 本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程是________．‎ ‎【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程为，知，它的一个焦点是，知，因此，，故双曲线的方程是．‎ ‎14. 若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－∞，－1]　‎ ‎15. 已知为椭圆是椭圆的两个焦点，则：的最小值为_________‎ 解 故的最小值是8‎ ‎16、下列四种说法：‎ ‎①命题“∀x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；‎ ‎②命题“在数列中，若数列为等比数列,则”的逆命题为真命题；‎ ‎③若“”为真命题，则“”也为真命题 ‎④设，且(其中，，为正实数)，则的取值范围是 其中正确的说法是________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17．（10分）已知a>0，a≠1，设p：函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．‎ 解　对于命题p：当01时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p为真命题，那么01.‎ 对于命题q：如果函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，‎ 那么Δ＝(2a－3)2－4>0，‎ 即4a2－12a＋5>0⇔a<，或a>.‎ 又∵a>0，所以如果q为真命题，那么0.‎ 如果q为假命题，那么≤a<1，或1.‎ ‎∴a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．‎ ‎18．已知点, ,直线相交于点,且它们的斜率之积为.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹方程;‎ ‎（Ⅱ）若点,求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）设,则,且 因为,即,且 所以点的轨迹方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,点的轨迹方程是双曲线 所以.‎ 所以为双曲线的右焦点,设双曲线的左焦点为,‎ 因为在第一象限，所以若最小,则在双曲线的右支上.‎ 由双曲线的定义知,则,‎ 所以 因为两点之间线段最短,所以连接,则直线与双曲线的交点即为 所以.‎ 所以的最小值为.‎ ‎19．（12分）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项；‎ ‎(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)由已知得解得a2＝2.‎ 设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，‎ 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.‎ 解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.‎ 故数列{an}的通项为an＝2n－1.‎ ‎(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，‎ 由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2.‎ 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln 2.‎ 故Tn＝ln 2.‎ ‎20．（12分）已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点．‎ ‎【答案】（1）y2＝4x；【解析】（1）由题意得|MF|＝4＋＝5，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝4．由，得y＝±4．‎ ‎∴|AB|＝8，∴＝4，∴以AB为直径的圆过原点．‎ 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)(k≠0)．‎ 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，得k2x2－(4＋8k2)x＋16k2＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝16．‎ ‎ ，‎ ‎∴．又，∴OA⊥OB，‎ ‎∴以AB为直径的圆必过原点．‎ 综上可知，以AB为直径的圆必过原点．‎ ‎21. （12分）在等比数列{an}中，an>0 (n∈N )，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值.‎ 解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，‎ ‎∴a＋2a3a5＋a＝25，‎ 又an>0，∴a3＋a5＝5.‎ 又a3与a5的等比中项为2，‎ ‎∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，‎ ‎∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.‎ ‎∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.‎ ‎(2)bn＝log2an＝5－n，‎ ‎∴bn＋1－bn＝－1，‎ ‎∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，‎ ‎∴Sn＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴当n≤8时，>0；‎ 当n＝9时，＝0；‎ 当n>9时，<0.‎ ‎∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大.‎ ‎22．（12分）设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的焦距为，由已知得，又由，可得．‎ 由,从而，．所以，椭圆的方程为．‎ ‎（2）设点的坐标为，点的坐标为，由题意，，‎ 点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，‎ 从而，即．‎ 易知直线的方程为，由方程组消去，可得．‎ 由方程组，消去，可得．由，‎ 可得，两边平方，整理得，解得，或．‎ 当时，，不合题意，舍去；‎ 当时，，，符合题意．所以，的值为．‎