2018-2019学年福建省福州八县一中高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年福建省福州八县一中高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 福建省福州八县一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．不等式的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求解二次不等式的解集即可.‎ ‎【详解】‎ 一元二次方程的根为，‎ 据此可得：不等式的解集为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次不等式的解法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．在中，若，则角A是（ ）‎ A． 钝角 B． 直角 C． 锐角 D． 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理确定∠A的大小即可.‎ ‎【详解】‎ 由结合正弦定理可得：，则 结合余弦定理有：，故∠C为钝角，则角A是锐角.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎3．对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论和两种情况确定实数k的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，不等式即，该不等式不恒成立，‎ 当时，满足题意时应该有：，求解不等式可得：，‎ 综上可得，实数取值范围是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 对于恒成立问题，常用到以下两个结论：‎ ‎(1)k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；‎ ‎(2)k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.‎ ‎4．设，给出下列三个结论：①；②；③．其中所有的正确结论的序号是 ( )‎ A． ①③ B． ①② C． ②③ D． ①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意逐一分析所给的说法是否正确即可.‎ ‎【详解】‎ 逐一分析所给的不等式：‎ 由于，故，结合可得，说法①正确；‎ 由于，故幂函数在区间上单调递减，结合可得，说法②正确；‎ 由于，故，‎ 对数函数单调递减，故，说法③错误.‎ 综上可得：所有的正确结论的序号是①②.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的性质，对数函数的单调性，幂函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )‎ A． 0 B． 5 C． -3 D． -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.‎ ‎【详解】‎ 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，‎ 联立直线方程：，可得点的坐标为：，‎ 据此可知目标函数的最大值为：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎6．已知等比数列{an}的前n项和，则 r=( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合 等比数列前n项和公式的特点求解r的值即可.‎ ‎【详解】‎ 很明显数列的公比不为1，则：，‎ 结合前n项和公式的特点可得：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7．已知满足条件，，的的个数有两个，则x的取值范围是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得满足题意时有：，‎ 据此可得：x的取值范围是.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用，三角形解的个数的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．设是等差数列,下列结论中一定成立的是（ ）‎ A． 若，则 B． 若，则 C． 若，则 D． 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合等差数列的性质证明结论的正确性或者给出反例即可.‎ ‎【详解】‎ 逐一考查所给的选项：‎ 等差数列：满足，但是不满足 ，选项A说法不一定成立；‎ 等差数列：满足，但是不满足 ，选项B说法不一定成立；‎ 等差数列：满足，但是不满足 ，选项C说法不一定成立；‎ ‎ 若，则，由均值不等式的结论可得：，‎ 当且仅当时等号成立，由于，故，选项D说法一定成立.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A． 60 B． 50 C． 40 D． 20+log2 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合等比数列的性质和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 由等比数列的性质可得：，‎ 则，‎ 结合对数的运算法则可得：‎ ‎ .‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．‎ ‎10．如图，一艘船上午10：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午11：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距9n mile,则此船的航速是（ ）‎ A． 16 n mile/h B． 18 n mile/h C． 32 n mile/h D． 36 n mile/h ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用正弦定理求得AB的长度，然后求解船速即可.‎ ‎【详解】‎ 在△ABS中，由正弦定理可得：，‎ 则，则此船的航速是 n mile/h 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 解三角形应用题的一般步骤：‎ ‎(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．‎ ‎(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．‎ ‎(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.‎ ‎11．等差数列{an}中，，,且，为其前n项之和，则使的最大正整数是（ ）‎ A． 198 B． 199 C． 200 D． 201‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合等差数列的性质和等差数列前n项和公式确定最大正整数即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，则，‎ 结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质可知：‎ ‎，‎ 而，‎ 据此可得使的最大正整数是199.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．中，三个内角的对边分别为，若成等差数列，且，则（ ）‎ A． B． C． 2 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合正弦定理和余弦定理确定的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，即，‎ 由可得：，‎ 由余弦定理有：，‎ 将代入上式：，‎ 整理可得：，则.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．公差为2的等差数列中，成等比数列，则的前项和为__________.‎ ‎【答案】170‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得数列的首项，然后求解其前项和即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，即：，‎ 数列的公差为2，则，解得：，‎ 的前项和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比中项的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14．∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则角B= _________________,‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合面积公式和余弦定理首先求得的值，然后确定∠B的大小即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 即，则：.‎ ‎【点睛】‎ 在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.‎ ‎15．设，若关于的不等式在恒成立，则的取值范围为_______________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分离系数，然后结合二次函数的性质确定的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 不等式即，‎ 由于二次函数开口向下，对称轴为，‎ 故函数在处取得最大值，‎ 结合恒成立的结论可得的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 对于恒成立问题，常用到以下两个结论：‎ ‎(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；‎ ‎(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.‎ ‎16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为，则___________________ ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合数列的性质和等差数列求和公式确定的值即可.‎ ‎【详解】‎ 将所给的数列分组，‎ 第1组为：，第2组为：，第3组为：，，‎ 则数列的前n组共有项，‎ 由于，故数列的前63组共有2016项，‎ 数列的第2017项为，数列的第2018项为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在△中，角所对的边分别为，已知，，．‎ ‎(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由三角形余弦定理，将已知条件代入可得到的值；（2）由正弦定理，将已知数据代入可得到的值．‎ 试题解析：（1）由余弦定理，得，∴‎ ‎（2）∵∴，由正弦定理，，‎ 考点：正余弦定理解三角形 ‎18．设函数，其中 ．‎ ‎(1)若不等式的解集为，求实数值．‎ ‎(2)当时，解关于x的不等式．‎ ‎【答案】（1）；（2）答案见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可知1与5为方程的两根，据此求解实数的值即可；‎ ‎(2)a=3时，，解方程得，据此分类讨论确定不等式的解集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由于不等式的解集为，‎ 所以1与5为方程的两根，‎ ‎ ，‎ 即，‎ 解得．‎ ‎(2)a=3时，，解方程得，‎ 由于1-=，‎ 所以当时，此时不等式的解集为，‎ 当时，此时不等式的解集为，‎ 当时，此时不等式的解集为．‎ 综上，当时，不等式解集为，‎ 当时，不等式解集为，‎ 当时，不等式解集为 .‎ ‎【点睛】‎ 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎ ‎19．已知数列是等比数列，，是和的等差中项.‎ ‎(1)求数列的前n项和；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意首先求得数列的公比和首项，然后利用前n项和公式确定数列的前n项和即可；‎ ‎（2）结合(1)的结果可知．利用错位相减法求解数列的前项和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的公比为，‎ 因为，所以，．‎ 因为是和的等差中项，‎ 所以．‎ 即，‎ 化简得．‎ 因为公比，所以．‎ 所以,‎ 所以数列的前n项和=.‎ ‎（2）因为，‎ 所以．‎ 所以． ‎ 则，①‎ ‎ ，②‎ ‎①- ②得 ‎=‎ ‎= ， ‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．‎ ‎20．如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200．‎ ‎(1)求线段BD的长与圆的面积．‎ ‎ (2)求四边形ABCD的周长的最大值．‎ ‎【答案】（1），圆的面积为；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合圆的内接四边形的性质求得各角的角度值，然后在中应用余弦定理求得BD的值，最后结合正弦定理确定圆的半径即可求解圆的面积；‎ ‎(2)解法一：设∠CBD=θ，那么00<θ<600，结合正弦定理得到周长关于的函数解析式，利用三角函数的性质确定周长的最大值即可；‎ 解法二：设，，在中应用余弦定理得和均值不等式到x+y的范围，最后确定周长的范围即可，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由于四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠BCD+∠BAD=1800，‎ 由题设知∠BCD=1200，所以∠BAD=600，‎ 在中由余弦定理得，‎ ‎．‎ ‎ ．‎ 由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎ ．‎ ‎(2)解法一：设∠CBD=θ，那么00<θ<600，‎ 在中有正弦定理得，‎ ‎ ，，‎ 四边形ABCD的周长=5+ =，‎ 由于00<θ<600，所以600<θ+600<1200，‎ 所以θ+600=900，即所以θ=300时，四边形ABCD的周长取得最大值．‎ 解法二：设，，在中由余弦定理得，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎．‎ ‎．‎ 四边形ABCD的周长，当且仅当时上式取等号，‎ 四边形ABCD的周长最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 求三角形周长的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.‎ ‎21．闽越水镇是闽侯县打造闽都水乡文化特色小镇核心区，该小镇有一块1800平方米的矩形地块，开发商准备在中间挖出三个矩形池塘养闽侯特色金鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植柳树，形成柳中观鱼特色景观．假设池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为平方米．‎ ‎(1)试用表示a及；‎ ‎(2)当取何值时，才能使得最大？并求出的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合边长关系确定a,S关于x的函数关系即可，注意实际问题中函数的定义域；‎ ‎(2)由题意结合均值不等式的结论确定S取得最大值时x的值和S的最大值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题图形知，3a＋6＝x，‎ ‎∴.‎ 则总面积S＝·a＋2a ‎＝a＝‎ ‎＝1 832－，‎ 即．‎ ‎(2)由S＝1 832－，‎ 得S≤1 832－2‎ ‎＝1 832－2×240＝1 352(平方米)．‎ 当且仅当＝，此时，x＝45.‎ 即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米．‎ ‎【点睛】‎ 解函数应用题的一般程序：‎ 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；‎ 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；‎ 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；‎ 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；‎ 第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．‎ ‎22．定义为n个正数的“均倒数”．已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）设数列的前n项和为，若4<对一切恒成立试求实数m的取值范围．‎ ‎(3)令，问：是否存在正整数k使得对一切恒成立，如存在求出k值，否则说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）存在正整数k=10使得对一切恒成立．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意首先确定数列的前n项和，然后利用前n项和与通项公式的关系求解数列的通项公式即可；‎ ‎(2)首先裂项求和求得，然后结合前n项和的范围得到关于m的不等式，求解不等式即可确定实数m的取值范围；‎ ‎(3)解法一：计算的值，确定取得最大值时的n的取值即可求得实数k的值；‎ 解法二：由题意可知，满足题意时有，据此求解实数k的范围，结合k为正整数即可求得实数k的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设数列的前n项和为，‎ 由于数列{an}的前n项的“均倒数”为，‎ 所以，‎ ‎=，‎ 当，‎ 当，‎ ‎（对当成立），‎ ‎．‎ ‎(2)==，‎ ‎==，‎ ‎<对一切恒成立，‎ ‎，‎ 解之得，‎ 即m的取值范围是．‎ ‎(3)解法一：=，‎ 由于=，‎ 时，时，‎ 时取得最大值，‎ 即存在正整数k=10使得对一切恒成立．‎ 解法二：=，‎ 假设存在正整数k使得则为数列中的最大项，‎ 由得，‎ ‎，‎ 又，‎ k=10，‎ 即存在正整数k=10使得对一切恒成立．‎ ‎【点睛】‎ ‎“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎