2019-2020学年重庆市重庆一中高一上学期10月第一次考试数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市重庆一中高一上学期10月第一次考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市重庆一中高一上学期10月 第一次考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C.‎ ‎【考点】 集合的运算 ‎【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎2．若，则等于（ ）．‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】采用换元法：令，将用表示出来，然后即可得到的解析式，则可求.‎ ‎【详解】‎ 令，所以，‎ 所以，所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 已知的解析式，求解的解析式时，可采用换元法处理：令，将所有的用的形式表示，即可得到的解析式，由此可得的解析式.‎ ‎3．设全集，集合，，则下列运算关系正确的是（ ）．‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别求解出集合中表示元素的范围，则集合可知，然后对选项逐个判断即可，注意每个集合中的表示元素是哪一个.‎ ‎【详解】‎ 因为中，所以，所以；‎ 因为中，所以，所以；‎ A．，错误；‎ B．因为，所以，错误；‎ C．，正确；‎ D．因为，所以，错误；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交并补混合运算对错的判断，难度一般.用描述法表示的集合一定要注意其表示元素是哪一个.‎ ‎4．下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）．‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】A，B可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C利用以及平移的思路去判断；D根据的图象的对称性判断.‎ ‎【详解】‎ A．在上是减函数，不符合；‎ B．在上是减函数，在上是增函数，不符合；‎ C．可认为是向左平移一个单位所得，所以在上是增函数，符合；‎ D．图象关于轴对称，且在上是增函数，在上是减函数，不符合；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）一次函数、反比例函数的单调性直接通过的正负判断；‎ ‎（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；‎ ‎（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.‎ ‎5．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）．‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先确定二次函数的对称轴和开口方向，分类讨论区间为增、减区间的情况，然后对所求的的范围取并集.‎ ‎【详解】‎ 因为的对称轴为且开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减；‎ 当为单调增区间时，，所以，‎ 当为单调减区间时，，所以，‎ 综上：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据二次函数的单调区间求解参数范围，难度一般.研究二次函数的单调性首先要确定好二次函数的对称轴和开口方向.‎ ‎6．若函数的定义域是，则函数的定义域是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求的定义域转化为求与分式定义域的交集.‎ ‎【详解】‎ 由函数的定义域是可知要使有意义，则，解得，所以有意义的条件是 ，解得或 ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 对于抽象函数定义域的求解，（1） 若已知函数的定义域为，则复合函数 的定义域由不等式 .‎ ‎（2）若复合函数 的定义域为，则函数的定义域为在上的值域.‎ ‎7．已知集合，集合，则下列，集合关系正确的是（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】将每个集合中的表示元素变形，，，分析与对应的取值关系从而确定出间的集合关系.‎ ‎【详解】‎ 对于集合，对于集合，‎ 又因为可以取到一切整数，只能取到奇数，且整数包含奇数，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 判断集合间的关系时，从集合的表示元素入手，当集合的表示元素所表示的数具有一定特点的时候，可以从数学的大小、正负、类型（整数、分数、奇数、偶数等）去判断.‎ ‎8．已知函数为上的减函数，则满足的的集合为（ ）．‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎【答案】A ‎【解析】根据是上的减函数，得到与的大小关系，由此解出满足条件的的集合.‎ ‎【详解】‎ 因为是上的减函数，且，所以，‎ 解得：或，所以的集合为：或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 解函数值之间的不等式，可利用单调性将函数值关系转变为自变量之间的关系，从而求解出自变量的范围.‎ ‎9．已知不等式对任意的恒成立的 的取值集合为，不等式对任意的恒成立的取值集合为，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将转化为的一次不等式求得集合A;分离参数，解出m 的范围即可求得集合B,即可判断集合间的关系求解 ‎【详解】‎ 令，则关于的一次函数必单调，则 ，解得或，即 ‎ 又 对任意的恒成立 又 单调递减，故 ，故 ，即 综上 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合间的关系，不等式恒成立问题，考查分离参数法的运用，考查一次函数的单调性，解题的关键是求出函数的最大值 ‎10．函数的最大值为（ ）．‎ A. B.‎ C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求解函数定义域，然后分析等式发现：，由此可通过换元法令来构造二次函数求解最大值，注意取等号条件.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，即定义域为；‎ 设且，又因为，所以，‎ 所以，当且仅当时有最大值，当 时，，所以满足；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用换元法求解函数的最值，难度一般.使用换元法后要注意到新函数定义域，同时要注意与用换元法求解函数解析式作对比.‎ ‎11．设函数，若互不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（ ）．‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析题意，将问题转化为：方程有三个解，，，此时可利用数形结合思想分析的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设有三个解，，，不妨令，作出和图象如图所示：‎ 因为顶点坐标为，所以；‎ 由图象可知：关于对称，所以；‎ 令，，令，，所以；‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合的思想，难度较难.通过数形结合，可将抽象的函数零点个数或者方程根的数目转化为直观的函数图象的交点个数.常见数形结合思想的应用角度：‎ ‎（1）确定方程根或者函数零点数目；‎ ‎（2）求解参数范围；‎ ‎（3）求解不等式的解集；‎ ‎（4）研究函数的性质.‎ ‎12．已知当，表示不超过的最大整数，则称为取整函数，也叫高斯函数，例如，，若定义在上的函数的图象关于轴对称，且当，，则方程的解得和为（ ）．‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先分析，根据的图象关于轴对称得到时解析式，由此作出与的解析式，计算出交点横坐标即为方程的解，然后求和.‎ ‎【详解】‎ 因为为整数，所以，‎ 又因为函数的图象关于轴对称且，所以是偶函数，‎ 当时，，，所以，‎ 作出与图象如下图：（红色的点为交点）‎ 当时，令，解得：（舍）；令，解得：（舍）；‎ 当时，令，解得：（舍）；令，解得：（舍）；‎ 综上：所有解的和为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的综合应用，着重考察了数形结合思想，难度较难. ‎ ‎（1）高斯函数的本质是一个分段函数；‎ ‎（2）数形结合的方法巧妙的将方程解的问题转换为函数图象的交点问题，更便于直观观察和求解.除此之外数形结合思想还可以用于：解不等式、求参数范围、研究函数性质等.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则______．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】先判断所在定义域，得到，然后根据所在定义域得到的计算结果，按照此方法直到结果为实数为止.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 分段函数的函数值计算，计算之前先判断自变量所处的定义域，根据符合的定义域对应的函数去计算函数值.‎ ‎14．函数的值域是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】采用换元法令，利用对勾函数的单调性去求解的值域.‎ ‎【详解】‎ 令，所以，‎ 由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，，时，，所以值域为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 形如的对勾函数单调性：‎ ‎（1）在和上单调递增；‎ ‎（2）在和上单调递减.‎ ‎15．已知函数在区间上的最大值与最小值的差是9，则实数的值__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的对称轴为，开口向上，又，则，‎ 所以在区间单调递增，‎ 则，，‎ 所以，则。‎ ‎16．函数的定义域用表示，则使对于任何均成立的实数的集合是_______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 若，即，则，定义域 ，而当时，，故不合条件，换言之，。若有两个实根、，则由题设即知、都是分母的根，此时题设的等价条件是 解之得.‎ 若无实根，则题设的等价条件是 解之得 或.‎ 综上所述，实数的集合是。‎ 故答案为：‎ 三、解答题 ‎17．已知二次函数的最大值是4，且不等式的解集为．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）解关于的不等式．‎ ‎【答案】（1）；（2）或或 ‎【解析】‎ ‎（1）设出二次函数解析式，根据最大值以及不等式解集对应的端点值为方程解列出方程组求解出即可；‎ ‎（2）将分式不等式先转化为整式形式，采用数轴穿根法求解高次可因式分解不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设 由题意得，，，‎ 所以．‎ ‎（2）且且，‎ 解得或或．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）一元二次不等式的解集对应的端点值为对应一元二次方程的根；‎ ‎（2）求解可因式分解的高次不等式的解集，采用数轴穿根法可快速得到解集（如图案例）：形如的不等式，首先将依次表示在数轴上，从数轴的右上方起用一条曲线依次连接，当某一点对应的因式的次数为奇次时则穿过数轴，若为偶次时则选择穿而不过，再根据不等式的符号写出解集.‎ ‎18．已知函数，‎ ‎（1）证明函数的单调性；‎ ‎（2）求函数的最小值和最大值.‎ ‎【答案】（1）为增函数，证明见解析；（2）最小值，最大值为.‎ ‎【解析】（1）运用单调性的定义，注意设值、作差和变形，定符号和下结论等步骤；（2）运用函数在上是增函数，计算即可得到所求最值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，则 ‎，∴ ‎ ‎∴ ，即， ∴ 在上是增函数.‎ ‎（2）由（1）可知 在上是增函数，‎ ‎∴最小值，最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性的判断和证明以及应用，考查定义法的运用和最值的求法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎19．已知集合，集合为函数的定义域．‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）将集合中不等式因式分解，然后判断端点值大小写出解集；根据根号下被开方数大于等于零求解出定义域即为集合，再根据列出不等式，求解出的范围；‎ ‎（2）利用（1）中的已求解出的集合，先根据求解出的范围，然后对此范围取补集即为时的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎∵，∴或．‎ 而，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎（2）设，则，‎ 故时，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据集合的交集、并集结果求解参数范围，难度一般.根据已知集合间运算结果求解参数范围较麻烦时，可采用“正难则反”的思维去从反面考虑；‎ ‎20．设，函数．‎ ‎（1），试求时，的值域；‎ ‎（2）设，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）先通过不等式求解出集合即为取值范围，然后根据得到对称轴方程从而确定出的值，利用配方法求解出二次函数的值域；‎ ‎（2）将写成分段函数的形式，利用分段点与对称轴的关系进行分类讨论，求解每段范围下对应的最小值表示，最后将结果写成分段函形式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由可得．‎ 由可得二次函数的对称轴，所以．‎ 故．‎ 当时，，．‎ 所以的值域为．‎ ‎（2）令 ‎（Ⅰ）当时 时，；‎ 时，当时，；‎ 当时，．‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，；‎ 当时，．‎ ‎（Ⅱ）当时 时，‎ 时，．‎ ‎∵‎ ‎∴当时，．‎ 综上，的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）已知二次函数的两个函数值相等：即可确定出二次函数对称轴；‎ ‎（2）求解含参数的二次函数的最值，可将参数范围与二次函数的对称轴联系在一起，通过对参数分类：大于等于对称轴的对应值、小于对称轴的对应值，进行最值求解.‎ ‎21．设函数，函数.‎ ‎（1）若函数的单调递减区间和函数的单调递增区间相同，求实数a的值；‎ ‎（2）对于给定的负数a，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立，求的表达式.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）函数的单调递减区间和函数的单调递增区间相同，可得 ‎（2），讨论函数的最大值为 与5的关系即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是，‎ 根据条件有，‎ ‎∴；‎ ‎（2），，（∵），‎ 即函数的图象的顶点位于y轴的右方，的最大值为 ‎①若，即时，‎ 则是方程的较大的根，‎ 由，解得；‎ ‎②若，即时，‎ 则是方程的较小的根，‎ 由，解得 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的图象与性质，考查分类讨论的思想方法，属于中档题.‎ ‎22．设关于 x 的一元二次方程 的两个根为 α、β（α < β）.‎ ‎（1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：；‎ ‎（2）设，在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为和， .求的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）4‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）由条件得，.‎ 不妨设，则 ‎.‎ 故.‎ ‎（2）依据题意，.‎ 所以，.‎ 故.‎ 又任取，且，则.‎ 由（1）知，，即，在区间上是增函数.‎ 故.‎ ‎.‎ 当且仅，即，亦即t = 0时取等号.‎ 故的最小值为4.‎