2021版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1-2充要条件全称量词与存在量词练习苏教版
1.2 充要条件、全称量词与存在量词
考点一 充分条件、必要条件及充要条件的判断
【典例】1.(2019·浙江高考)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2019·天津高考)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解题导思】
序号
联想解题
1
由a+b的范围求ab的范围,联想到基本不等式
2
由不等式的解集,想到用集合法判断
【解析】1.选A.当a>0,b>0时,a+b≥2,则当a+b≤4时,有2≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;
当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立,
综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
2.选B.由x2-5x<0可得解集为A={x|0
cos x
C.∃x∈R,x2+x=-2
D.∀x∈(0,+∞),ex>x+1
2.命题“∀x>0,>0”的否定是 ( )
A.∃x≥0,≤0 B.∃x>0,0≤x≤1
C.∀x>0,≤0 D.∀x<0,0≤x≤1
3.(2019·武汉模拟)命题“∃x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是 ( )
A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1
B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1
C.∃x∈(0,+∞),ln x≠x-1
D.∃x∉(0,+∞),ln x=x-1
【解题导思】
序号
联想解题
1
由全称命题正确,想到对所有实数都成立,由存在性命题正确,想到只要存在一个实数让命题成立即可
2
由全称命题的否定,想到换量词,否结论
3
由存在性命题的否定,想到换量词,否结论
【解析】1.选D.∀x∈R,均有sin2+cos2=1,故A是假命题;
当x∈时,sin x≤cos x,故B是假命题;
因为方程x2+x+2=0对应的判别式Δ=1-8<0,
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所以x2+x+2=0无解,
所以∃x∈R,x2+x=-2是假命题,故C是假命题;
令f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1,
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0恒成立,
则f(x)为增函数,故f(x)>f(0)=0,
即∀x∈(0,+∞),ex>x+1.
2.选B.因为>0,
所以x<0或x>1,
所以>0的否定是0≤x≤1,
所以命题的否定是“∃x>0,0≤x≤1”.
3.选A.改变原命题中的两个地方即可得其否定,∃改为∀,否定结论,即ln x≠x-1.
1.全称命题、存在性命题的真假判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可.
(2)要判断一个存在性命题是真命题,只要在限定集合M中找到一个x0,使p(x0)成立即可,否则,这一存在性命题就是假命题.
2.对全称(存在性)命题进行否定的两步操作
(1)转换量词:找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词.
(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.
1.已知命题“∃x>0,使2x(x-a)>1”,则这个命题的否定是 ( )
A.∀x>0,使2x(x-a)>1
B.∀x>0,使2x(x-a)≤1
C.∀x≤0,使2x(x-a)≤1
D.∀x≤0,使2x(x-a)>1
2.下列命题中,真命题是 ( )
A.∀x∈R,x2-x-1>0
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B.∀α,β∈R,sin(α+β)0,使2x(x-a)≤1.
2.选D.因为x2-x-1=-≥-,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sin α+sin β,所以B是假命题.x2-x+1=+≥,所以C是假命题.当α=β=时,有sin(α+β)=cos α+cos β,所以D是真命题.
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