2019版一轮复习理数通用版第一单元 集合与常用逻辑用语
第一单元 集合与常用逻辑用语
第 1 课 集__合
[过双基]
1．集合的含义及表示
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：
确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集 N*或 N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言 符号语言 记法
基
本
关
系
子集
集合 A 的元素都是集合
B 的元素
x∈A⇒x∈B A⊆B 或 B⊇A
真子集
集合 A 是集合 B 的子
集，且集合 B 中至少有
一个元素不属于 A
A⊆B，且∃x0∈
B，x0∉A
A B 或 B A
相等
集合 A，B 的元素完全
相同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集
合．空集是任何集合 A
的子集
∀x，x∉∅，
∅⊆A
∅
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集
属于集合 A 且属于集合 B
的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
并集
属于集合 A 或属于集合 B
的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
补集
全集 U 中不属于集合 A 的
元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A} ∁UA
4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合 A 是其本身的子集，即 A⊆A；
(2)子集关系的传递性，即 A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.
1．(2018·江西临川一中期中)已知集合 A＝{2,0,1,8}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，
则集合 B 中所有的元素之和为( )
A．2 B．－2
C．0 D. 2
解析：选 B 若 k2－2＝2，则 k＝2 或 k＝－2，当 k＝2 时，k－2＝0，不满足条件，当
k＝－2 时，k－2＝－4，满足条件；若 k2－2＝0，则 k＝± 2，显然满足条件；若 k2－2＝1，
则 k＝± 3，显然满足条件；若 k2－2＝8，则 k＝± 10，显然满足条件．所以集合 B 中的元
素为－2，± 2，± 3，± 10，所以集合 B 中的元素之和为－2，故选 B.
2．(2018·河北武邑中学期中)集合 A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}，则 B＝ y|6
y ∈N*，y∈A 中
元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解 析 ： 选 D A ＝ {x|x2 － 7x<0 ， x ∈ N*} ＝ {x|0
4，即 c＝4.
答案：4
集合的基本运算
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等
式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能
力.
常见的命题角度有：
1求交集或并集；
2交、并、补的混合运算；
3集合运算中的参数范围；
4集合的新定义问题.
角度一：求交集或并集
1．(2017·山东高考)设函数 y＝ 4－x2的定义域为 A，函数 y＝ln(1－x)的定义域为 B，则
A∩B＝( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：选 D 由题意可知 A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故 A∩B＝{x|－2≤x<1}．
2．(2017·浙江高考)已知集合 P＝{x|－10}，B＝{x|x2－x－2<0}，则 A∩(∁UB)＝( )
A．(0,2] B．(－1,2]
C．[－1,2] D．[2，＋∞)
解析：选 D 因为 A＝{x|x>0}，B＝{x|－11} D．A∩B＝∅
解析：选 A ∵集合 A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，
∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选 A.
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选 C 因为 B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－13}，则 A∩B＝( )
A．{x|－20}，则 A∪B＝( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，3)
C．(0,3) D．(－1,3)
解析：选 A 因为集合 A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－10}，所以 A∪B＝{x|x>
－1}．
5．(2017·全国卷Ⅱ)设集合 A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若 A∩B＝{1}，则 B＝
( )
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
解析：选 C 因为 A∩B＝{1}，所以 1∈B，所以 1 是方程 x2－4x＋m＝0 的根，所以 1
－4＋m＝0，m＝3，方程为 x2－4x＋3＝0，解得 x＝1 或 x＝3，所以 B＝{1,3}．
6．设集合 A＝{－1,0,1}，集合 B＝{0,1,2,3}，定义 A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，
则 A*B 中元素的个数是( )
A．7 B．10
C．25 D．52
解析：选 B 因为 A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
所以 A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
由 x∈A∩B，可知 x 可取 0,1；
由 y∈A∪B，可知 y 可取－1,0,1,2,3.
所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：
x y －1 0 1 2 3
0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3)
所以 A*B 中的元素共有 10 个．
7．(2017·吉林一模)设集合 A＝{0,1}，集合 B＝{x|x>a}，若 A∩B 中只有一个元素，则实
数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．[0,1)
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
解析：选 B 由题意知，集合 A＝{0,1}，集合 B＝{x|x>a}，画出数轴(如
图所示)．若 A∩B 中只有一个元素，则 0≤a<1，故选 B.
8．设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P－Q＝{x|x∈P，且 x∉Q}，如果 P＝{x|log2x<1}，Q
＝{x||x－2|<1}，那么 P－Q＝( )
A．{x|03}．
当 B＝∅时，则 m≥1＋3m，得 m≤－1
2
，满足 B⊆∁RA，
当 B≠∅时，要使 B⊆∁RA，须满足 m<1＋3m，
1＋3m≤－1
或 m<1＋3m，
m>3，
解得 m>3.
综上所述，m 的取值范围是 －∞，－1
2 ∪(3，＋∞)．
14．记函数 f(x)＝ 2－x＋3
x＋1
的定义域为 A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定
义域为 B.
(1)求 A；
(2)若 B⊆A，求实数 a 的取值范围．
解：(1)由 2－x＋3
x＋1
≥0，得x－1
x＋1
≥0，
解得 x<－1 或 x≥1，
即 A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
(2)由(x－a－1)(2a－x)>0，
得(x－a－1)(x－2a)<0，
∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)，
∵B⊆A，∴2a≥1 或 a＋1≤－1，即 a≥1
2
或 a≤－2，
∵a<1，∴1
2
≤a<1 或 a≤－2，
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－2]∪
1
2
，1 .
1．已知定义域均为{x|0≤x≤2}的函数 f(x)＝ x
ex－1
与 g(x)＝ax＋3－3a(a>0)，设函数 f(x)
与 g(x)的值域分别为 A 与 B，若 A⊆B，则 a 的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1,2]
C．[0,2] D．[1，＋∞)
解析：选 B 因为 f′(x)＝1－x
ex－1
，所以 f(x)＝ x
ex－1
在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减函
数，
又因为 f(1)＝1，f(0)＝0，f(2)＝2
e
，所以 A＝{x|0≤x≤1}；
由题意易得 B＝[3－3a,3－a]，
因为[0,1]⊆[3－3a,3－a]，
所以 3－3a≤0 且 3－a≥1，解得 1≤a≤2.
2．设集合 A＝{(x1，x2，x3，x4)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4}，那么集合 A 中满足条件“x21＋
x22＋x23＋x24≤4”的元素个数为( )
A．60 B．65
C．80 D．81
解析：选 D 由题意知，每一个元素都有 3 种取法，所以元素的个数为 34＝81.
第 2 课 命题及其关系__充分条件与必要条件
[过双基]
1．命题
概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句
特点 (1)能判断真假；(2)陈述句
分类 真命题、假命题
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命
题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4.
3．充要条件
若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p
的必要条件
p 成立的对象的集合为 A，q 成
立的对象的集合为 B
p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q⇒/p A 是 B 的真子集
集合与
充要条件
p 是 q 的必要不充分条件 p⇒/q 且 q⇒p B 是 A 的真子集
p 是 q 的充要条件 p⇔q A＝B
p 是 q 的既不充分也不必
要条件 p⇒/q 且 q⇒/p A，B 互不包含
1．命题“若 a>b，则 ac>bc”的逆否命题是( )
A．若 a>b，则 ac≤bc B．若 ac≤bc，则 a≤b
C．若 ac>bc，则 a>b D．若 a≤b，则 ac≤bc
解析：选 B 由逆否命题的定义可知，答案为 B.
2．已知命题 p：对于 x∈R，恒有 2x＋2－x≥2 成立；命题 q：奇函数 f(x)的图象必过原点，
则下列结论正确的是( )
A．p∧q 为真 B．(綈 p)∨q 为真
C．p∧(綈 q)为真 D．(綈 p)∧q 为真
解析：选 C 由指数函数与基本不等式可知，命题 p 是真命题；当函数 f(x)＝1
x
时，是奇
函数但不过原点，则可知命题 q 是假命题，所以 p∧(綈 q)是真命题，故选 C.
3．已知 p：x>1 或 x<－3，q：x>a，若 q 是 p 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是
( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选 A 法一：设 P＝{x|x>1 或 x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为 q 是 p 的充分不必要条
件，所以 Q P，因此 a≥1.
法二：令 a＝－3，则 q：x>－3，则由命题 q 推不出命题 p，此时 q 不是 p 的充分条件，
排除 B、C；同理，取 a＝－4，排除 D，选 A.
4．已知命题 p：x≠π
6
＋2kπ，k∈Z；命题 q：sin x≠1
2
，则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B 令 x＝5π
6
，则 sin x＝1
2
，即 p⇒/ q；当 sin x≠1
2
时，x≠π
6
＋2kπ或5π
6
＋2kπ，
k∈Z，即 q⇒p，因此 p 是 q 的必要不充分条件．
[清易错]
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是
只否定命题的结论．
2．易忽视 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B⇒/A)与 A 的充分不必要条件是 B(B⇒A
且 A⇒/B)两者的不同．
1．“若 x，y∈R 且 x2＋y2＝0，则 x，y 全为 0”的否命题是( )
A．若 x，y∈R 且 x2＋y2≠0，则 x，y 全不为 0
B．若 x，y∈R 且 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为 0
C．若 x，y∈R 且 x，y 全为 0，则 x2＋y2＝0
D．若 x，y∈R 且 xy≠0，则 x2＋y2＝0
解析：选 B 原命题的条件：x，y∈R 且 x2＋y2＝0，
结论：x，y 全为 0.否命题是否定条件和结论．
即否命题：“若 x，y∈R 且 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为 0”．
2．设 a，b∈R，函数 f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则 f(x)>0 恒成立是 a＋2b>0 成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A 充分性：因为 f(x)>0 恒成立，
所以 f0＝b>0，
f1＝a＋b>0，
则 a＋2b>0，即充分性成立；
必要性：令 a＝－3，b＝2，则 a＋2b>0 成立，但是，f(1)＝a＋b>0 不成立，即 f(x)>0 不
恒成立，则必要性不成立．
所以答案为 A.
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
四种命题的相互关系及真假判断 5 年 1 考 与复数有关的命题的真假判断
充分条件、必要条件 未考查
命题的相互关系及真假性
[典例] (1)(2018·西安八校联考)已知命题 p：“正数 a 的平方不等于 0”，命题 q：“若
a 不是正数，则它的平方等于 0”，则 q 是 p 的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
(2)原命题为“若an＋an＋1
2
0”是“S4
＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设α：1≤x≤3，β：m＋1≤x≤2m＋4，m∈R，若α是β的充分条件，则 m 的取值范围
是________．
[解析] (1)因为{an}为等差数列，所以 S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝
10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以 d>0⇔S4＋S6>2S5.
(2)若α是β的充分条件，则α对应的集合是β对应集合的子集，则 m＋1≤1，
2m＋4≥3，
解得－
1
2
≤m≤0.
[答案] (1)C (2)
－1
2
，0
[方法技巧]
充要条件的 3 种判断方法
定义法 直接判断若 p 则 q，若 q 则 p 的真假
等价法
即利用 A⇒B 与綈 B⇒綈 A；B⇒A 与綈 A⇒綈 B；A⇔B 与綈 B
⇔綈 A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运
用等价法
集合法
即设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件
或 q 是 p 的必要条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件，
若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件
[即时演练]
1．(2016·四川高考)设 p：实数 x，y 满足 x>1 且 y>1，q：实数 x，y 满足 x＋y>2，则 p
是 q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A ∵ x>1，
y>1，
∴x＋y>2，即 p⇒q.
而当 x＝0，y＝3 时，有 x＋y＝3>2，但不满足 x>1 且 y>1，即 q ⇒/ p．故 p 是 q 的充分
不必要条件．
2．已知 m，n∈R，则“mn <0”是“抛物线 mx2＋ny＝0 的焦点在 y 轴正半轴上”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 C 若“mn<0”，则 x2＝－n
my 中的－n
m>0，所以“抛物线 mx2＋ny＝0 的焦点在
y 轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线 mx2＋ny＝0 的焦点在 y 轴正半轴上”，
则 x2＝－n
my 中的－n
m>0，即 mn <0，则“mn <0”成立，故是充要条件.
根据充分、必要条件求参数的范围
根据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层
次考查．
此类题的解决方法一般有两种：
(1)直接法：先求出 p，q 为真命题时所对应的条件，然后表示出綈 p 与綈 q，把綈 p 与
綈 q 所对应的关系转化为綈 p 与綈 q 所对应集合之间的关系，列出参数所满足的条件求解；
(2)等价转化法，把綈 p，綈 q 的关系转化为 p，q 的关系．
[典例] (2018·安徽黄山调研)已知条件 p：2x2－3x＋1≤0，条件 q：x2－(2a＋1)x＋a(a
＋1)≤0.若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是________．
[解析] 由 2x2－3x＋1≤0，得1
2
≤x≤1，
∴条件 p 对应的集合 P＝ x|1
2
≤x≤1 .
由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得 a≤x≤a＋1，
∴条件 q 对应的集合为 Q＝{x|a≤x≤a＋1}．
法一：用“直接法”解题
綈 p 对应的集合 A＝ x|x>1 或 x<1
2 ，
綈 q 对应的集合 B＝{x|x>a＋1 或 x1，
∴0≤a≤1
2.
即实数 a 的取值范围是 0，1
2 .
法二：用“等价转化法”解题
∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，
∴根据原命题与逆否命题等价，得 p 是 q 的充分不必要条件．
∴p⇒q，即 P Q⇔
a<1
2
，
a＋1≥1
或
a≤1
2
，
a＋1>1，
解得 0≤a≤1
2.即实数 a 的取值范围是 0，1
2 .
[答案] 0，1
2
[方法技巧]
根据充分、必要条件求参数范围的 2 个注意点
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后
根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的
关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现
漏解或增解的现象．
[即时演练]
1．(2018·安阳调研)已知 p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2
－4≤0，x∈R，m∈R}．若 p 是綈 q 的充分条件，则实数 m 的取值范围是________．
解析：∵A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，∴∁RB＝{x|xm＋2}．∵
p 是綈 q 的充分条件，∴A⊆∁RB，∴m－2>3 或 m＋2<－1，∴m>5 或 m<－3.
答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)
2．若“x2>1”是“x1，得 x<－1，或 x>1，
又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以 a≤
－1，即 a 的最大值为－1.
答案：－1
1．(2014·全国卷Ⅱ)函数 f(x)在 x＝x0 处导数存在．若 p：f′(x0)＝0；q：x＝x0 是 f(x)的
极值点，则( )
A．p 是 q 的充分必要条件
B．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件
C．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件
D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件
解析：选 C 当 f′(x0)＝0 时，x＝x0 不一定是 f(x)的极值点，比如，y＝x3 在 x＝0 时，
f′(0)＝0，但在 x＝0 的左右两侧 f′(x)的符号相同，因而 x＝0 不是 y＝x3 的极值点．
由极值的定义知，x＝x0 是 f(x)的极值点必有 f′(x0)＝0.综上知，p 是 q 的必要条件，但
不是充分条件．
2．(2017·天津高考)设θ∈R，则“|θ－ π
12|< π
12
”是“sin θ<1
2
”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A 法一：由|θ－ π
12|< π
12
，得 0<θ<π
6
，
故 sin θ<1
2.由 sin θ<1
2
，得－7π
6
＋2kπ<θ<π
6
＋2kπ，k∈Z，推不出“|θ－ π
12|< π
12
”．
故“|θ－ π
12|< π
12
”是“sin θ<1
2
”的充分而不必要条件．
法二：|θ－ π
12|< π
12
⇒0<θ<π
6
⇒sin θ<1
2
，而当 sin θ<1
2
时，取θ＝－π
6
，|－π
6
－ π
12|＝π
4> π
12.
故“|θ－ π
12|< π
12
”是“sin θ<1
2
”的充分而不必要条件．
3．(2016·北京高考)设 a，b 是向量，则“| a |＝|b|”是“|a＋b |＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 D 若|a|＝|b|成立，则以 a，b 为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b 表示
的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，
从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以 a，b 为邻边的平行四边形为矩形，
而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”
是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
4．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A cos 2α＝0 等价于 cos2α－sin2α＝0，即 cos α＝±sin α.由 cos α＝sin α可得到
cos 2α＝0，反之不成立，故选 A.
5．(2015·重庆高考)“x＞1”是“log 1
2
(x＋2)＜0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 B ∵x＞1⇒log 1
2
(x＋2)＜0，log 1
2
(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴“x＞1”
是“log 1
2
(x＋2)＜0”的充分而不必要条件．
一、选择题
1．命题“若α＝π
4
，则 tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠π
4
，则 tan α≠1 B．若α＝π
4
，则 tan α≠1
C．若 tan α≠1，则α＝π
4 D．若 tan α≠1，则α≠π
4
解析：选 D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可．
所以逆否命题为：若 tan α≠1，则α≠π
4.
2．在命题“若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、
否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
解析：选 D 对于原命题：“若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠
∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，
则抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集非
空时，可以有 a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选 D.
3．“直线 y＝x＋b 与圆 x2＋y2＝1 相交”是“0e，a－ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≤1 B．a<1
C．a≥1 D．a>1
解析：选 B 由题意知∀x>e，a1，所以 a≤1，故答案为 B.
5．a2＋b2＝1 是 asin θ＋bcos θ≤1 恒成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A 因为 a2＋b2＝1，所以设 a＝cos α，b＝sin α，则 asin θ＋bcos θ＝sin(α＋θ)≤1
恒成立；当 asin θ＋bcos θ≤1 恒成立时，只需 asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)≤ a2＋b2≤1
即可，所以 a2＋b2≤1，故不满足必要性．
6．若向量 a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B 若“a⊥b”，则 a·b＝(x－1，x)·(x＋2，x－4)＝(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝2x2
－3x－2＝0，则 x＝2 或 x＝－1
2
；若“x＝2”，则 a·b＝0，即“a⊥b”，所以“a⊥b”是“x
＝2”的必要不充分条件．
7．在△ABC 中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B 在△ABC 中，当 A＝B 时，sin A－sin B＝cos B－cos A 显然成立，即必要
性成立；当 sin A－sin B＝cos B－cos A 时，则 sin A＋cos A＝sin B＋cos B，两边平方可得
sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝π
2
，即充分性不成立．则在△ABC 中，“sin A－sin B＝
cos B－cos A”是“A＝B”的必要不充分条件．
8．设 m，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是( )
A．当 n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件
B．当 m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当 m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D．当 m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
解析：选 C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A 正确；显然，当 m⊂α时，
“m⊥β”⇒“α⊥β”；当 m⊂α时，“α⊥β”⇒/ “m⊥β”，故 B 正确；当 m⊂α时，“m∥
n”⇒/ “n∥α”， n 也可能在平面α内，故 C 错误；当 m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，反
之不成立，故 D 正确．
二、填空题
9．“若 a≤b，则 ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题
的个数是________．
解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
答案：2
10．下列命题正确的序号是________．
①命题“若 a>b，则 2a>2b”的否命题是真命题；
②命题“a，b 都是偶数，则 a＋b 是偶数”的逆否命题是真命题；
③若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件；
④方程 ax2＋x＋a＝0 有唯一解的充要条件是 a＝±1
2.
解析：①否命题“若 2a≤2b，则 a≤b”，由指数函数的单调性可知，该命题正确；②由
互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题；由互为逆否命题可知，③是真命题；④方程
ax2＋x＋a＝0 有唯一解，则 a＝0 或 Δ＝1－4a2＝0，
a≠0，
求解可得 a＝0 或 a＝±1
2
，故④是假命
题．
答案：①②③
11．已知集合 A＝ x|1
2<2x<8，x∈R ，B＝{x|－13，即 m>2.
答案：(2，＋∞)
12．给出下列四个结论：
①若 am20，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆命题为真命题；
④命题“若 m2＋n 2＝0，则 m＝0 且 n＝0”的否命题是“若 m2＋n2≠0，则 m≠0 且
n≠0”；
⑤对空间任意一点 O，若满足 OP―→＝3
4 OA―→＋1
8 OB―→＋1
8 OC―→，则 P，A，B，C 四点一定共
面．
其中真命题的为________．(填序号)
解析：①命题“若 x2－3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题为“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”，
故①正确；
②x＝4⇒x2－3x－4＝0；由 x2－3x－4＝0，解得 x＝－1 或 x＝4.
∴“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分不必要条件，故②正确；
③命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆命题为“若方程 x2＋x－m＝0 有实
根，则 m>0”，是假命题，如 m＝0 时，方程 x2＋x－m＝0 有实根，故③错误；
④命题“若 m2＋n2＝0，则 m＝0 且 n＝0”的否命题是“若 m2＋n2≠0，则 m≠0 或
n≠0”，故④错误；
⑤∵3
4
＋1
8
＋1
8
＝1，∴对空间任意一点 O，若满足 OP―→＝3
4 OA―→＋1
8 OB―→＋1
8 OC―→，则 P，A，
B，C 四点一定共面，故⑤正确．
答案：①②⑤
2．已知 p：－x2＋4x＋12≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．
(1)若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为________；
(2)若“綈 p”是“綈 q”的充分条件，则实数 m 的取值范围为________．
解析：由题知，p 为真时，－2≤x≤6，q 为真时，1－m≤x≤1＋m，
令 P＝{x|－2≤x≤6}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)∵p 是 q 的充分不必要条件，∴P Q，
∴ 1－m≤－2，
1＋m>6
或 1－m<－2，
1＋m≥6，
解得 m≥5，
∴实数 m 的取值范围是[5，＋∞)．
(2)∵“綈 p”是“綈 q”的充分条件，∴“p”是“q”的必要条件，
∴Q⊆P，∴
1－m≥－2，
1＋m≤6，
m>0，
解得 0y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；
③p∧(綈 q)；④(綈 p)∨q 中，真命题的是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选 C 当 x>y 时，－x<－y，故命题 p 为真命题，从而綈 p 为假命题．
当 x>y 时，x2>y2 不一定成立，故命题 q 为假命题，从而綈 q 为真命题．
故①p∧q 为假命题；②p∨q 为真命题；③p∧(綈 q)为真命题；④(綈 p)∨q 为假命题．
2．若命题 p：对任意 x∈R，总有 2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则在下列
命题中真命题的是( )
A．p∧(綈 q) B．(綈 p)∧(綈 q)
C．(綈 p)∧q D．p∧q
解析：选 A 由指数函数的性质可知，命题 p 是真命题，则命题綈 p 是假命题；
显然，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，即命题 q 是假命题，命题綈 q 是真命题．
所以命题 p∧(綈 q)是真命题．
3．命题“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定为( )
A．∃x0∈R，x20＋x0＋1≥0 B．∃x0∈R，x20＋x0＋1<0
C．∀x∈R，x2＋x＋1≤0 D．∀x∈R，x2＋x＋1<0
解析：选 B 原命题∀x∈R，x2＋x＋1≥0 为全称命题，
所以原命题的否定为：∃x0∈R，x20＋x0＋1<0.
4．若命题 p：∃x0，y0∈Z，x20＋y20＝2 018，则綈 p 为( )
A．∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 018
B．∃x0，y0∈Z，x20＋y20≠2 018
C．∀x，y∈Z，x2＋y2＝2 018
D．不存在 x，y∈Z，x2＋y2＝2 018
解析：选 A 原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈 p：∀x，y∈Z，x2＋y2≠2
018.
[清易错]
1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再
写出命题的否定．
2．p 或 q 的否定易误写成“綈 p 或綈 q”；p 且 q 的否定易误写成“綈 p 且綈 q”．
1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )
A．全等三角形的面积不一定都相等
B．不全等三角形的面积不一定都相等
C．存在两个不全等三角形的面积相等
D．存在两个全等三角形的面积不相等
解析：选 D 命题是省略量词的全称命题，易知选 D.
2．已知命题 p：∀x<1，都有 log1
2x<0，命题 q：∃x0∈R，使得 x20≥2x0 成立，则下列命
题是真命题的是( )
A．p∨(綈 q) B．(綈 p)∧(綈 q)
C．p∨q D．p∧q
解析：选 C 由题知，命题 p 为假，q 为真，则 p∨q 为真，选 C.
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
简单的逻
辑联结词
未考查
全称量词、存在量词 5 年 2 考
线性规划与量词命题的判断，特
称命题的否定
含逻辑联结词的命题的真假判断
[典例] 已知命题 p：∃x0∈R，使 x20＋2x0＋5≤4；命题 q：当 x∈ 0，π
2 时，f(x)＝sin x
＋ 4
sin x
的最小值为 4，下列命题是真命题的是( )
A．p∧q B．(綈 p)∧(綈 q)
C．(綈 p)∧q D．p∧(綈 q)
[解析] 令 x＝－1，可得 x2＋2x＋5≤4 成立，故命题 p 是真命题；令 sin x＝t，因为 x
∈ 0，π
2 ，所以 05，即 f(x)>5，故命题 q 是假命题，因此綈 p 是假命题，綈 q 是真命题，所以 p∧(綈 q)
是真命题．
[答案] D
[方法技巧]
1．“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断命题 p，q 的真假；
(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式命题的真假．
2．复合命题真假判断常用的方法
(1)直接法：即判断出 p，q 的真假，再判断复合命题的真假．
(2)特殊值法：从题干出发通过选取特殊情况代入，作出判断．特殊情况可能是特殊值、
特殊函数、特殊点、特殊位置、特殊向量等．
(3)数形结合法：根据题设条件作出研究问题的有关图形，利用图形作出判断，从而确定
正确答案．
[即时演练]
1．已知命题 p：∀x∈(0，＋∞)，sin x＝x＋1
x
，命题 q：∃x0∈R，πx0<1，则下列命题为
真命题的是( )
A．p∧(綈 q) B．(綈 p)∧(綈 q)
C．(綈 p)∧q D．p∧q
解析：选 C 法一：命题 p：∀x∈(0，＋∞)，sin x＝x＋1
x
，令 x＝1，则 sin 1<1＋1，故
命题 p 是假命题，因此命题綈 p 是真命题；命题 q：∃x0∈R，πx0<1，令 x＝－1，则π－1<1，
命题 q 是真命题，命题綈 q 是假命题，故命题(綈 p)∧q 是真命题．
法二：因为 x∈(0，＋∞)，所以 sin x∈[－1,1]，x＋1
x
≥2 x·1
x
＝2，则 sin x0，对一切 x∈R 恒成立；命题 q：函数 f(x)＝(3
－2a)x 是增函数，若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，则实数 a 的取值范围为________．
解析：p 为真：Δ＝4a2－16<0，解得－21，解得 a<1.
∵p 或 q 为真，p 且 q 为假，∴p，q 一真一假．
当 p 真 q 假时，
－21
C．∀x∈R，sin x≥1 D．∃x0∈R，sin x0>1
解析：选 D 由于全称命题的否定是特称命题，且命题 p 是全称命题，所以命题綈 p 为
∃x0∈R，sin x0>1.
角度二：全称命题、特称命题的真假判断
2．下列命题为假命题的是( )
A．∀x∈R,3x>0
B．∃x0∈R，lg x0＝0
C．∀x∈ 0，π
2 ，x>sin x
D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝ 3
解析：选 D 由指数函数的性质可知，∀x∈R,3x>0 成立，故 A 是真命题；令 x0＝1，则
lg x0＝0，故 B 是真命题；令 f(x)＝x－sin x，f′(x)＝1－cos x>0，即函数 f(x)＝x－sin x 在 0，π
2
上是增函数，所以 f(x)>f(0)＝0，所以 x>sin x，故 C 是真命题；因为 sin x0 ＋cos x0 ＝
2sin x0＋π
4 ≤ 2，故 D 是假命题．
[方法技巧]
1．全称命题真假的判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)
成立．
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x＝x0，使 p(x0)
不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立
即可，否则这一特称命题就是假命题．
根据命题的真假求参数的取值范围
[典例] 若∃x0∈
1
2
，2 ，使得 2x20－λx0＋1<0 成立是假命题，则实数λ的取值范围是
( )
A．(－∞，2 2] B．(2 2，3]
C. 2 2，9
2 D．{3}
[解析] 因为∃x0∈
1
2
，2 ，使得 2x20－λx0＋1<0 成立是假命题，所以∀x∈
1
2
，2 ，使
得 2x2－λx＋1≥0 恒成立是真命题，即∀x∈
1
2
，2 ，使得λ≤2x＋1
x
恒成立是真命题，令 f(x)
＝2x＋1
x
，则 f′(x)＝2－ 1
x2
，当 x∈
1
2
， 2
2 时，f′(x)<0，当 x∈
2
2
，2 时，f′(x)>0，所以
f(x)≥f
2
2 ＝2 2，则λ≤2 2.
[答案] A
[方法技巧]
根据命题真假求参数的 3 步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
[即时演练]
1．已知 a>0，且 a≠1，命题 p：函数 y＝loga(x＋1)在 x∈(0，＋∞)内单调递减，命题 q：
曲线 y＝x2＋(2a－3)x＋1 与 x 轴交于不同的两点．若“p∨q”为假，则 a 的取值范围为( )
A. 1，5
2 B.
－∞，1
2 ∪ 1，5
2
C.
1
2
，5
2 D.
1
2
，1 ∪
5
2
，＋∞
解析：选 A 当 01 时，函数
y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．若 p 为假，则 a>1.曲线 y＝x2＋(2a－3)x＋1 与
x 轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4>0，即 a<1
2
或 a>5
2.若 q 为假，则 a∈
1
2
，5
2 .若使“p∨
q”为假，则 a∈(1，＋∞)∩
1
2
，5
2 ，即 a∈ 1，5
2 .
2．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则 k 的取值范围是________．
解析：“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当 k＝0 时，则有－1<0；当 k≠0 时，
则有 k<0 且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－42n，则綈 p 为( )
A．∀n∈N，n 2>2n B．∃n∈N，n 2≤2n
C．∀n∈N，n 2≤2n D．∃n∈N，n 2＝2n
解析：选 C 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈 p(x)”，所以命题“∃n∈N，
n 2>2n”的否定是“∀n∈N，n 2≤2n”，故选 C.
3．(2017·山东高考)已知命题 p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题 q：若 a>b，则 a2>b2.下列命
题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧綈 q
C．綈 p∧q D．綈 p∧綈 q
解析：选 B 当 x>0 时，x＋1>1，因此 ln(x＋1)>0，即 p 为真命题；取 a＝1，b＝－2，
这时满足 a>b，显然 a2>b2 不成立，因此 q 为假命题．由复合命题的真假性，知 B 为真命题．
4．(2014·重庆高考)已知命题 p：对任意 x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1 是方程 x＋2＝0 的
根．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧綈 q B．綈 p∧q
C．綈 p∧綈 q D．p∧q
解析：选 A 命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，所以命题綈 q 为真命题，所以 p∧綈
q 为真命题，选 A.
5．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题 p：∀x∈R,2x<3x；命题 q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命
题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈 p∧q
C．p∧綈 q D．綈 p∧綈 q
解析：选 B 容易判断当 x≤0 时 2x≥3x，命题 p 为假命题，分别作出函数 y＝x3，y＝1
－x2 的图象，易知命题 q 为真命题．根据真值表易判断綈 p∧q 为真命题．
6．(2015·山东高考)若“∀x∈ 0，π
4 ，tanx≤m”是真命题，则实数 m
的最小值为________．
解析：∵0≤x≤π
4
，∴0≤tan x≤1，
又∵∀x∈ 0，π
4 ，tan x≤m，故 m≥1，
即 m 的最小值为 1.
答案：1
一、选择题
1．下列命题为真命题的是( )
A．若 ac>bc，则 a>b B．若 a2>b2，则 a>b
C．若1
a>1
b
，则 abc，当 c<0 时，有 ab2，不一定有 a>b，如
(－3)2>(－2)2，但－3<－2，选项 B 错误；若1
a>1
b
，不一定有 a－1
3
，但 2>－3，选项
C 错误；若 a< b，则( a)2<( b)2，即 alg x 成立；
命题 p2：不存在 x∈(0,1)，使不等式 log2xlg 10，故命题 p1 为真命题；由对数函数的性质
知，p2 为假命题，p3 为真命题；p4 中取 x＝4 不等式不成立，故选 A.
3．(2018·石家庄一模)命题 p：若 sin x>sin y，则 x>y；命题 q：x2＋y2≥2xy.下列命题为
假命题的是( )
A．p 或 q B．p 且 q
C．q D．綈 p
解析：选 B 取 x＝π
3
，y＝5π
6
，可知命题 p 是假命题；由(x－y)2≥0 恒成立，可知命题 q
是真命题，故綈 p 为真命题，p 或 q 是真命题，p 且 q 是假命题．
4．(2018·唐山模拟)已知命题 p：∃x0∈N，x300
C．∀x>0,5x>3x
D．∃x0∈(0，＋∞)，
1
2 x0<
1
3 x0
解析：选 D 令 x0＝1
e
，则 ln x0＝－1<0，故 A 正确；由指数函数的性质可知，B、C 正
确．因此答案为 D.
6．(2018·河北六校联考)命题 p：∃a0∈ －∞，－1
4 ，使得函数 f(x)＝|x＋ a0
x＋1|在
1
2
，3
上单调递增；命题 q：函数 g(x)＝x＋log2x 在区间
1
2
，＋∞ 上无零点．则下列命题中是真命
题的是( )
A．綈 p B．p∧q
C．(綈 p)∨q D．p∧(綈 q)
解析：选 D 设 h(x)＝x＋ a
x＋1.当 a＝－1
2
时，函数 h(x)在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上为
增函数，且 h
1
2 ＝1
6>0，则函数 f(x)在
1
2
，3 上必单调递增，即 p 是真命题；∵g
1
2 ＝－1
2<0，
g(1)＝1>0，∴g(x)在
1
2
，＋∞ 上有零点，即 q 是假命题，故选 D.
7．命题 p：“∃x0∈ 0，π
4 ，sin2x0＋cos 2x00”的否定是“∃x0∈R，ex0>0”
B．命题“已知 x，y∈R，若 x＋y≠3，则 x≠2 或 y≠1”的逆否命题是真命题
C．“x2＋2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立”
D．命题“若 a＝－1，则函数 f(x)＝ax2＋2x－1 只有一个零点”的逆命题为真命题
解析：选 B A：命题的否定是“∃x0∈R，ex0≤0”，∴A 错误；B：逆否命题为“已知
x，y∈R，若 x＝2 且 y＝1，则 x＋y＝3”，易知为真命题，∴B 正确；C：分析题意可知，
不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故 C 错误；D：若函数 f(x)＝ax2＋2x－1 只有一
个零点，则：①a＝0，符合题意；②a≠0，Δ＝4＋4a＝0，a＝－1，故逆命题是假命题，∴D
错误．
二、填空题
9．命题“∀x∈R，cos x≤1”的否定是____________________．
答案：∃x0∈R，cos x0>1
10．给出下列命题：
①∀x∈R，x2＋1>0；②∀x∈N，x2≥1；
③∃x0∈Z，x30<1；④∃x0∈Q，x20＝3；
⑤∀x∈R，x2－3x＋2＝0；⑥∃x0∈R，x20＋1＝0.
其中所有真命题的序号是________．
解析：①显然是真命题；②中，当 x＝0 时，x2<1，故②是假命题；③中，当 x＝0 时，
x3<1，故③是真命题；④中，对于任意的 x∈Q，x2＝3 都不成立，故④是假命题；⑤中，只
有当 x＝1 或 x＝2 时，x2－3x＋2＝0 才成立，故⑤是假命题；⑥显然是假命题．综上可知，
所有真命题的序号是①③.
答案：①③
11．已知命题 p：x2＋2x－3>0，命题 q： 1
3－x>1，若“(綈 q)∧p”为真，则 x 的取值范
围是________．
解析：命题 p：x>1 或 x<－3；
由 1
3－x>1，求解可得命题 q：21 或 x<－3，
解得 x≥3 或 x<－3，
所以 x 的取值范围是(－∞，－3)∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，－3)∪[3，＋∞)
12．给定两个命题，p：对任意实数 x 都有 ax2＋ax＋1>0 恒成立；q：关于 x 的方程 x2
－x＋a＝0 有实数根；如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题，则实数 a 的取值范围是________．
解析：对任意实数 x 都有 ax2＋ax＋1>0 恒成立⇒a＝0 或 a>0
Δ＝a2－4a<0
⇒0≤a<4；
关于 x 的方程 x2－x＋a＝0 有实数根⇒1－4a≥0⇒a≤1
4
；
若 p 真 q 假，则有 0≤a<4，且 a>1
4
，∴1
40，使函数 f(x)＝ax2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题 q：
“存在 a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数 a 的
取值范围．
解：若 p 为真，则对称轴 x＝－－4
2a
＝2
a
在区间(－∞，2]的右侧，即2
a
≥2，∴01，即 a>2 时，函数 f(t)＝t2－at＋2 在[－1,1]上是减函数，
所以 f(1)＝3－a≥0，则 2
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