甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题 含解析

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题 含解析

兰州一中2019-2020-01学期高二年级9月月考试题 数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若，，，且，则下列不等式一定成立是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用不等式的性质或者举反例逐一分析得解.‎ ‎【详解】对于选项A,所以，所以该选项错误；‎ 对于选项B, 所以，所以该选项正确；‎ 对于选项C,不一定大于零，所以该选项错误；‎ 对于选项D,，所以，所以该选项错误.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查不等式的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2.在中，角所对的边分别为，若，则此三角形（ ）‎ A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理求，与比较的大小，判断B能否取相应的锐角或钝角.‎ ‎【详解】由及正弦定理，得，，B可取锐角；当B为钝角时，，由正弦函数在递减，，可取.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.‎ ‎3.不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分式不等式和高次不等式的解法解不等式得解.‎ ‎【详解】由题得所以 所以 所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查分式不等式和高次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a11+a13＝9，则S17＝（　　）‎ A. 51 B. ‎57 ‎C. 42 D. 39‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知求出的值，再利用等差数列的性质求.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.已知数列满足，，则的值为（ ）‎ A. 2 B. ‎-3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过列举找到数列的周期，再利用数列的周期求值.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以数列的周期为4，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查递推数列和数列的周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6.若不等式ax2+ax﹣1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为（　　）‎ A. 0≤a≤4 B. ﹣4＜a＜‎0 ‎C. ﹣4≤a＜0 D. ﹣4≤a≤0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论和时，求出不等式的解集为时实数的取值范围．‎ ‎【详解】时，不等式化为，解集为实数集；‎ 时，应满足，‎ 所以，‎ 解得；‎ 综上，实数的取值范围是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了含有字母系数的不等式恒成立问题和二次不等式的恒成立问题，是基础题．‎ ‎7.某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了3km，此时发现离出发点恰好‎3km，那么x的值为（　　）‎ A. 3 B. ‎6 ‎C. 3或6 D. 4或6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值．‎ ‎【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达，‎ 则，，，，‎ 由正弦定理可得：，即，‎ ‎．‎ 或，‎ ‎（1）若，则，为直角三角形，‎ ‎，‎ ‎（2）若，则，为等腰三角形，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎8.若关于x的不等式（m+1）x2﹣mx﹣1＞0的解集为（1，2），则m＝（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据韦达定理得到方程组，再解方程组即得m的值.‎ ‎【详解】由题得，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式解集的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（　　）‎ A. 1 B. ﹣‎1 ‎C. 2019 D. ﹣2019‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 即，‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎10.在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2ABBD，sinC，则（　　）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中，由余弦定理可求，然后结合同角平方关系可求 ‎，在中，由正弦定理，可求即得解.‎ ‎【详解】由题意可设，，‎ 中由余弦定理可得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 中，由正弦定理可得，，‎ ‎，‎ 则，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式.‎ ‎11.在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知 ．由此可知，所以在中最大的是．‎ ‎【详解】由于 ， ‎ 所以可得． 这样， 而 ， 所以在在中最大的是． 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.‎ ‎12.已知的内角，，的对边分别是，，，且，若的外接圆半径为，则的周长的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正弦定理与余弦定理化简条件得C，再根据正弦定理得c，最后根据余弦定理求最大值，由三角形三边关系确定范围，即得的周长的取值范围.‎ ‎【详解】因为，所以，，，,‎ 因此.即,因为,所以,选B.‎ ‎【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝3，c＝7，C=60°，则边长b＝_________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理得到b的方程，解方程即得解.‎ ‎【详解】由余弦定理得，‎ 即，‎ 所以b=8或-5（舍）.‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），则an＝____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用项和公式求解即可.‎ ‎【详解】由题得，‎ 两式相减得，即，‎ n=1时，，‎ 所以数列{an}从第2项起是等比数列，所以，‎ 所以数列的通项为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎15.已知数列满足 ，则数列的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得到该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都是4，再求数列的通项得解.‎ ‎【详解】因，‎ 所以该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都是4，‎ 当n为奇数时，，‎ 当n为偶数时，.‎ 故数列的通项为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎16.在中，已知，，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的值利用余弦定理得到的一个关系式；再将化切为弦得到第二个的关系式，两式联立消去，从而得到的关系式，化简可得的值，即为的值.‎ ‎【详解】由余弦定理可得：，则；‎ 又因为，所以，化简得；‎ 两式联立消得，则 ，解得；‎ 由正弦定理可知：.‎ ‎【点睛】解三角形的问题中，出现了有关正切的条件，要注意将其转化为正、余弦的形式去处理，因为这对后面去使用正、余弦定理会更加的便捷.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知数列{an}的前n项和Sn满足：当n∈N*时，Sn≠0；当n＞1时，an+2SnSn﹣1＝0，且a1＝1．‎ ‎（1）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）设bn，求{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用项和公式整理得（常数），即证数列{}是等差数列．（2）利用第一问的结论得到，求出bn，再利用裂项相消求和得解.‎ ‎【详解】证明：（1）数列{an}的前n项和Sn满足：当n∈N*时，Sn≠0；‎ 当n＞1时，an+2SnSn﹣1＝0，‎ 则：Sn﹣Sn﹣1+2Sn﹣1Sn＝0，整理得（常数）．‎ 所以数列{}是等差数列．‎ ‎（2）由于数列{}是等差数列且a1＝1．‎ 所以，‎ 整理得，‎ 所以bn 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的证明和等差数列通项的应用，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎18.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，面积为2，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.‎ 试题解析：（1），∴，∵，‎ ‎∴，∴，∴；‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎19.已知关于的一元二次不等式，其中．‎ ‎（）若不等式的解集是，求，值．‎ ‎（）求不等式的解集．‎ ‎【答案】(1)，．(2)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意结合不等式的解集得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得，；‎ ‎(2)不等式即，分类讨论可得：‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为，‎ 当时，不等式的解集为．‎ 试题解析：‎ ‎（）∵不等式的解集是，‎ ‎∴，‎ 解得，．‎ ‎（）∵，，‎ ‎∴，‎ 当，即时，不等式为，‎ 则不等式的解集是，‎ 当，即时，不等式的解集为，‎ 当，即时，不等式的解集为，‎ 综上所述，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为，‎ 当时，不等式的解集为．‎ 点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据 ‎(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．‎ ‎(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．‎ ‎(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．‎ ‎20.设等差数列的公差为d ,前n项和为Sn，等比数列的公比为q，已知 ，‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和Tn .‎ ‎【答案】（1） ， ；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件解方程组求出，即得数列与的通项公式.(2)利用错位相减求数列的前n项和Tn .‎ ‎【详解】（1），即 ‎，又 ‎，即 ，‎ ‎， ,‎ ‎ ， .‎ ‎（2）由（1）可得 ‎ ‎ ①‎ ‎②‎ ‎①-②得：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差等比数列通项求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎21.如图，在平面四边形ABCD中，CD＝1，BC＝2，∠C＝120°‎ ‎（1）求cos∠CBD的值；‎ ‎（2）若AD＝4，cos∠ABC，求∠A大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由余弦定理求出BD，再利用余弦定理求cos∠CBD的值.(2)先求出sin∠ABD的值，再利用正弦定理求解.‎ ‎【详解】（1）∵在△BCD中，CD＝1，BC＝2，∠C＝120°．‎ ‎∴由余弦定理可得：BD2＝BC2+CD2﹣2BD•CD•cosC＝4+1﹣2×2×1×（），‎ ‎∴BD，∴cos∠CBD.‎ ‎（2）由（1）可得sin∠CBD，‎ ‎∵cos∠ABC，∴sin∠ABC，‎ ‎∴sin∠ABD＝sin（∠ABC﹣∠CBD）＝sin∠ABCcos∠CBD﹣cos∠ABCsin∠CBD ‎，‎ 由正弦定理可得，即sinA，‎ ‎∴A或A，‎ ‎∵BD＜AD，∴A．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎22.已知数列{an}中，a1＝2，n（an+1﹣an）＝an+1，n∈N*．‎ ‎（1）设bn ＝,求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若对于任意的t∈[0，1]，n∈N*，不等式2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题得，再利用累加法求数列{bn}的通项公式.(2)由题得3≤﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3，即得2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，接着 设f（t）＝2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[0，1]，得不等式组，解之得解.‎ ‎【详解】(1)根据题意，数列{an}中，n（an+1﹣an）＝an+1，‎ ‎∴nan+1﹣（n+1）an＝1，‎ ‎∴，‎ ‎∴，（n≥2）‎ ‎∴（）+（）+…+（a2﹣a1）+a1，‎ ‎＝（）+（）+…+（1）+2＝3‎ ‎∴bn ＝3.‎ ‎(2)∵2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，且33，‎ ‎∴3≤﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3‎ ‎∴2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，‎ 设f（t）＝2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[0，1]，‎ ‎∴，即，‎ 解得a≤﹣1或a≥3.‎ ‎【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.‎