【数学】2020届一轮复习人教版（理）第7章第2讲空间几何体的表面积与体积作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第7章第2讲空间几何体的表面积与体积作业

A组　基础关 ‎1．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是(　　)‎ A．2＋ B．2＋ C．4＋ D．4＋ 答案　A 解析　由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体的体积V＝×π×12×1＋×()2×2＝2＋.‎ ‎2．早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为(　　)‎ A．1.2 B．1.6‎ C．1.8 D．2.4‎ 答案　B 解析　由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，利用体积及已知线段长度即可求出x.故其体积为(5.4－x)×3×1＋π×2×x＝16.2－3x＋πx＝12.6，又π＝3，故x＝1.6.故选B.‎ ‎3．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为(　　)‎ A. B． ‎ C. D．2‎ 答案　B 解析　设圆锥的底面半径为r，‎ ‎∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，‎ ‎∴圆锥的母线长为3r，‎ 又∵圆锥的表面积为π，∴πr(r＋3r)＝π，‎ 解得r＝，l＝，故圆锥的高h＝＝.‎ ‎4．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(　　)‎ A．9 B． C．18 D．27‎ 答案　A 解析　根据三视图可知，几何体是一个三棱锥A－BCD，三棱锥的外面是长、宽、高为6,3,3的长方体，∴几何体的体积V＝××6×3×3＝9.‎ ‎5．(2018·日照一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B． C． D． 答案　A 解析　该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等．由图可知，球的半径为2，则V＝πr3＝.故选A.‎ ‎6．(2018·江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为(　　)‎ A．6＋4＋2 B．8＋4 C．6＋6 D．6＋2＋4 答案　A 解析　直观图是四棱锥P－ABCD，如图所示，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝×2×2＝2，S△PBC＝×2×2×sin60°＝2，S四边形ABCD＝2×2＝4，因此所求棱锥的表面积为6＋4＋2.故选A.‎ ‎7．(2017·衡水中学三调)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为(　　)‎ A.＋ B．3＋或＋ C．2＋ D．＋或2＋ 答案　B 解析　设正方体的棱长为a，依题意得，×＝，解得a＝1.由三视图可知，该几何体的直观图有以下两种可能，图1对应的几何体的表面积为＋，图2对应的几何体的表面积为3＋.故选B.‎ ‎8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．‎ 答案　7‎ 解析　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.‎ 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.‎ ‎9．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．‎ 答案　 解析　如图，设A1C1∩B1D1＝O1，‎ ‎∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，‎ ‎∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥平面AB1D1，交线为AO1，‎ 在平面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1＝，AO1＝3，由A1O1·A1A＝h·AO1，可得A1H＝.‎ ‎10．我国古代数学经典名著《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biē nào)．若三棱锥P－ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，且该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为________．‎ 答案　 解析　根据题意，三棱锥P－ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，如图所示，可得∠PAB＝∠PAC＝∠ABC＝∠PBC＝90°.易知PC为外接球的直径，设外接球的半径为R.又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则R2＝＝6，则BC＝ ＝4，则该鳖臑的体积为××2×4×2＝.‎ B组　能力关 ‎1．(2018·山西五校3月联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(　　)‎ A．5000立方尺 B．5500立方尺 C．6000立方尺 D．6500立方尺 答案　A 解析　该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE－GHF割补成高为EF，底面积为S＝×3×1＝平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．故选A.‎ ‎2．(2018·汕头一模)已知一个四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，其中a＋b＝10，则该四棱锥的高的最大值为(　　)‎ A．3 B．2 C．4 D．2‎ 答案　C 解析　如图所示，由题意知，平面PAD⊥平面ABCD，‎ 且点P到AD的距离为x，‎ 当x最大时，四棱锥的体积最大，‎ 因为PA＋PD＝10>6，‎ 所以点P的轨迹为一个椭圆，‎ 由椭圆的性质得，当a＝b时，x取得最大值4，‎ 即该四棱锥的高的最大值为4.‎ ‎3．某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如图(2)所示，其中O′A′＝O′B′＝2，O′C′＝，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．36＋12 B．24＋8 C．24＋12 D．36＋8 答案　C 解析　由俯视图的直观图可得该几何体的底面是边长为4的等边三角形，由正视图与侧视图可得该几何体是高为6的三棱锥(如图所示的三棱锥P－ABC)，其中PB⊥底面ABC，所以该几何体的表面积S＝×42＋2××4×6＋×4×＝24＋12，故选C.‎ ‎4．(2018·安徽皖江最后一卷)某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为(　　)‎ A．11π B．12π C．13π D．14π 答案　A 解析　由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A－BCD，外接球球心O在过CD中点E且垂直于平面BCD的直线l上，又点O到A，D距离相等，∴点O又在线段AD的垂直平分面α上，故O是直线l与面α的交点，可知O是直线l与直线MN的交点(M，N分别是左侧正方体对棱的中点)，‎ ‎∴OE＝NE＝，OD＝，‎ 故三棱锥A－BCD外接球的半径R＝，表面积为S＝11π.‎ ‎5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．‎ 答案　40π 解析　因为母线SA，SB所成角的余弦值为，所以母线SA，SB所成角的正弦值为，因为△SAB的面积为5，设母线长为l，所以×l2×＝5，所以l2＝80，‎ 因为SA与圆锥底面所成角为45°，‎ 所以底面圆的半径为lcos＝l，‎ 因此，圆锥的侧面积为πrl＝πl2＝40π.‎ ‎6．如图所示，等腰三角形ABC的底边AB＝6，高CD＝3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积，求V(x)的最大值．‎ 解　因为PE⊥EF，PE⊥AE，EF∩AE＝E，‎ 所以PE⊥平面ABC.‎ 因为CD⊥AB，FE⊥AB，‎ 所以EF∥CD，所以＝，‎ 即＝，所以EF＝，‎ 所以S△ABC＝×6×3＝9，‎ S△BEF＝×x×＝x2，‎ 所以V(x)＝×x ‎＝x(00，V(x)单调递增；‎ 当6

查看更多