2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

哈师大附中2017-2018年度高二下学期期中考试 数学（理科）试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）‎ ‎1. 复数的虚部为（ ） A. B. C.4 D. 3‎ ‎ ‎ ‎2. 命题“若，则 ”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有（ ）‎ ‎ A.0个 B. 2个 C.3个 D. 4个 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从三所中学抽取60名教师进行调查，已知 三所学校分别有180,270,90名教师，则从学校中应抽取的人数为 （ ）‎ ‎ A.10 B.12 C.18 D. 24‎ ‎4. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则 ， 的值分别为（ ）‎ ‎ A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8‎ ‎ ‎ 5. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表及公式算得：，参照附表得到的正确结论是 （ ）‎ ‎.841‎ ‎ A. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”‎ ‎ B. 在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”‎ ‎ C. 在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”‎ ‎ D. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”‎ ‎6. 已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输 入的 ， 分别为 ，，执行该程序框图（图中“”表示 除以 的余数，例：），则输出的 等于 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 8. 如图所示的程序框图中，若输出的是 ，则①处应填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 命题“，”的否定是 （ ）‎ ‎ A. ，B. ，‎ ‎ C. ，D. ，‎ ‎10.已知椭圆过点，当取得最小值时，椭圆的离心率为 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.用数学归纳法证明 的第二步从到成立时，左边增加的项数是（ ）‎ A . B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12.已知双曲线:的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎ 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在内的概率为，估计这次考试分数不超过分的人数为 ．‎ ‎14. 给出下列等式：‎ ‎ ‎ ‎ 由以上等式推出一个一般结论：对于  ．‎ ‎ ‎ ‎15.已知命题，使；命题的解集是．下列结论：‎ ‎①命题“”是假命题； ②命题“”是假命题； ③命题“”是真命题；④命题“”是真命题．其中正确的是　 　．（填所有正确命题的序号）‎ ‎16.已知圆，圆，直线分别过圆心，且与圆 相交于,与圆相交于,是椭圆上的任意一动点，则的最小值为 .‎ 三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线过点且与曲线交于两点，若直线的倾斜角为，求的值．‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题12分）设．‎ ‎（1）若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设（1）中最大值为，均为正实数，当时，求证：．‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎19. （本小题12分）为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表所示（（吨）为买进蔬菜的数量，（天）为销售天数）：‎ ‎（1）根据上表数据在所给坐标系中绘制散点图，并用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）根据（1）中的计算结果，该蔬菜商店准备一次性买进25吨，预计需要销售多少天？‎ ‎（参考数据和公式：，‎ ‎ ，．）‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题12分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下 频率分布直方图．‎ ‎（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；‎ ‎（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用表示身高在180以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题12分）已知椭圆 ‎（1）若椭圆的离心率为，求的值；‎ ‎（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎22.（本小题12分）已知抛物线的准线经过椭圆的左焦点,点为椭圆的左顶点，且椭圆短轴的一个端点与其两焦点构成一个直角三角形.‎ ‎ （1）求抛物线和椭圆的标准方程； ‎ ‎ （2）设为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点, 直线(为椭圆的右焦点)交抛物线于两点，过作的垂线，交轴于点, 直线交椭圆于另一点，直线 交抛物线于两点，(ⅰ)求证：为定值.(ⅱ)求的面积的最大值.‎ 哈师大附中2017-2018年度高二下学期期中考试（答案） ‎ 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）‎ ‎1. 复数的虚部为（ D ）‎ ‎ A. B. C.4 D.3‎ ‎ ‎ ‎2. 命题“若，则 ”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有（ B ）‎ ‎ A.0个 B. 2个 C.3个 D. 4个 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从三所中学抽取60名教师进行调查，已知 三所学校分别有180,270,90名教师，则从学校中应抽取的人数为 （ A ）‎ ‎ A.10 B.12 C.18 D. 24‎ ‎4. 如图所示中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则 ， 的值分别为（ C ）‎ ‎ ‎ ‎ A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8‎ ‎ ‎ ‎5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表并由公式算得：，‎ ‎ 参照附表得到的正确结论是 （ C ）‎ ‎ A. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”‎ ‎ B. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”‎ ‎ C. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”‎ ‎ D. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”‎ ‎6. 已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是（ A ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．‎ 若输入的 ， 分别为 ，，执行该程序框图（图中“”表示 ‎ 除以 的余数，例：），则输出的 等于 （ C ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 阅读如图所示的程序框图，若输出的是 ，则①处应填 （ B ）‎ ‎ ‎ A. B. C.D. ‎ ‎9. 命题“，”的否定是 （ B ）‎ ‎ A. ， B. ，‎ ‎ C. ， D. ，‎ ‎10.已知椭圆过点，当取得最小值时，椭圆的离心率为 （ D ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 用数学归纳法证明的第二步从到成立时，左边增加的项数是（ A ）‎ A . B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12. 已知双曲线:的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ B ）‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎ 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在内的概率为，估计这次考试分数不超过分的人数为 150 ．‎ ‎14. 给出下列等式：‎ ‎ ‎ ‎ 由以上等式推出一个一般结论：对于．‎ ‎ ‎ ‎15.已知命题，使，命题的解集是．下列结论：‎ ‎①命题“”是假命题； ②命题“”是假命题；‎ ‎③命题“”是真命题；④命题“”是真命题．‎ 其中正确的是 ② ③ ．（填所有正确命题的序号）‎ ‎16.已知圆，圆，直线圆分别过圆心，且与圆相交于,与圆相交于,是椭圆上的任意一动点，则的最小值为 6 .‎ ‎ ‎ 三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题10分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线过点且与曲线交于两点，若直线的倾斜角为，求的值．‎ ‎ ‎ 解：(1) 由 消去 ，得 ， 则曲线 为椭圆． (2) 由直线 的倾斜角为 ， 可设直线 的方程为 （其中 为参数）， 代入 ，得 ， 所以 ，从而 ．‎ ‎18. （本小题12分）‎ 设．‎ ‎（1）若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设的最大值为，均为正实数，当时，求证：．．‎ ‎【答案】解（1）﹣5≤|x+1|﹣|x﹣4|≤5．，‎ 由于f（x）≤﹣m2+6m的解集为R，‎ ‎∴﹣m2+6m≥5，即1≤m≤5．‎ ‎（2）由（1）得m的最大值为5，∴3a+4b+5c=5‎ 由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 故a2+b2+c2≥．（当且仅当a=，b=c=时取等号）‎ ‎19. （本小题12分）‎ 为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表所示（（吨）为买进蔬菜的质量，（天）为销售天数）：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 参考公式：，．‎ ‎（1）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；‎ ‎ ‎ ‎（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程；‎ ‎（3）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进25吨，则预计需要销售多少天．‎ ‎ ‎ 解：（1） 散点图如图所示：‎ ‎ （2） 依题意，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 所以 ，‎ 所以回归直线方程为 ．‎ ‎ （3） 由（Ⅱ）知，当 时，．‎ 即若一次性买进蔬菜 吨，则预计需要销售 天．‎ ‎ ‎ ‎20. （本小题12分）‎ 从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，理得到如下频率分布直方图．‎ ‎ ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；‎ ‎（3）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用表示身高在180以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1） 根据题意得：．‎ 解得 ．‎ ‎ （2） 设样本中男生身高的平均值为 ，则 ‎ ‎ 所以估计该市中学全体男生的平均身高为 ．‎ ‎ （3） 从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在 以上的概率约为 ．‎ 由已知得，随机变量 的可能取值为 ，，，．‎ 所以 ；；；．‎ 随机变量 的分布列为 ‎ ‎ 因为 ，所以 ．‎ ‎21. （本小题12分）‎ ‎ 已知椭圆 ‎（1）若椭圆的离心率为，求的值；‎ ‎（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（1） 因为 ，，所以 ．‎ 又 ，所以有 ，‎ 得 ．‎ ‎ （2） 若存在点 ，使得 ，[]‎ 则直线 和 的斜率存在，‎ 分别设为 ，，且满足 ．‎ 依题意，直线 的斜率存在，‎ 故设直线 的方程为 ．‎ 由 ‎ 得 ．‎ 因为直线 与椭圆 有两个交点，‎ 所以 ．‎ 即 ，‎ 解得 ．‎ 设 ，，‎ 则 ，，‎ ‎ ，．‎ 令 ，‎ 即 ，‎ 即 ，‎ 当 时，，‎ 所以 ，‎ 化简得，，‎ 所以 ．‎ 当 时，检验也成立．‎ 所以存在点 ，‎ 使得 ．‎ ‎22. （本小题12分）‎ 已知抛物线的准线经过椭圆的左焦点,且椭圆短轴的一个端点与两焦点构成一个直角三角形，为椭圆的左顶点.‎ ‎ (1)求抛物线和椭圆的标准方程； ‎ ‎ (2)设为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点, 直线(为椭圆的右焦点)交抛物线于两点，过作的垂线，交轴于点, 直线交椭圆于另一点，直线交抛物线于两点，‎ ‎(ⅰ)求证：为定值.‎ ‎(ⅱ)求的面积的最大值.‎ 解：（1）依题意所以 抛物线方程为，椭圆方程为………………………………….4分 ‎（2）(ⅰ)由已知直线斜率存在且为正数，‎ 设直线方程为，则点，‎ 又，故直线的斜率分别为 直线的方程为直线 直线的方程为直线 设 由得，‎ ‎，‎ 同理 为定值……………………………………………………………………8分 ‎(ⅱ)由得 同理， ‎ 可知点关于原点对称，即直线过原点 当且仅当即时取等号，此时的最大值为...............12分 ‎ ‎ ‎ ‎