【数学】2020届一轮复习人教A版复数代数形式的加减运算及其几何意义作业

【数学】2020届一轮复习人教A版复数代数形式的加减运算及其几何意义作业

‎2020届一轮复习人教A版 复数代数形式的加减运算及其几何意义 作业 ‎1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　)‎ A.-2 B.4 C.3 D.-4‎ 解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.‎ 答案:B ‎2.若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1),在第三象限.‎ 答案:C ‎3.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA‎,‎OB对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD对应的复数是(　　)‎ A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i 解析:依题意有CD‎=BA=OA-‎OB,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即CD对应的复数为4-2i,故选D.‎ 答案:D ‎4.已知复数z满足|z|-z=3-i,则z=(　　)‎ A.-‎4‎‎3‎+i B.-‎4‎‎3‎-i C.-‎3‎‎4‎-i D.-3+4i 解析:设z=a+bi(a,b∈R),所以|z|=a‎2‎‎+‎b‎2‎.‎ 因为|z|-z=3-i,‎ 所以a‎2‎‎+‎b‎2‎-a-bi=3-i,‎ 所以a‎2‎‎+‎b‎2‎‎-a=3,‎‎-b=-1,‎解得a=-‎4‎‎3‎,‎b=1.‎ 所以z=-‎4‎‎3‎+i,选A.‎ 答案:A ‎5.在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z-i|,则z所对应的点Z的集合构成的图象是(　　)‎ A.圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线 解析:设z=x+yi(x,y∈R),‎ ‎∵|z+1|=|x+yi+1|=‎(x+1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎,‎ ‎|z-i|=|x+yi-i|=x‎2‎‎+(y-1‎‎)‎‎2‎,‎ ‎∴‎(x+1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎=‎x‎2‎‎+(y-1‎‎)‎‎2‎.‎ ‎∴x+y=0.‎ ‎∴z的对应点Z的集合构成的图象是第二、四象限角平分线.‎ 答案:B ‎6.在复平面内,O是原点,OA‎,OC,‎AB对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则BC对应的复数为　　　　　　. ‎ 解析: BC‎=OC-OB=‎OC-(OA‎+‎AB),对应的复数为3+2i-(-2+i+1+5i)=(3+2-1)+(2-1-5)i=4-4i.‎ 答案:4-4i ‎7.已知f(z+i)=3z-2i,则f(i)=　　　　　. ‎ 解析:设z=a+bi(a,b∈R),则f[a+(b+1)i]=3(a+bi)-2i=3a+(3b-2)i,令a=0,b=0,则f(i)=-2i.‎ 答案:-2i ‎8.已知z是复数,|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=　　　　. ‎ 解析:设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0,‎ 又∵|z|=3,∴b=3,∴z=3i.‎ 答案:3i ‎9.已知z1=‎3‎‎2‎a+(a+1)i,z2=-3‎3‎b+(b+2)i(a,b∈R),且z1-z2=4‎3‎,求复数z=a+bi.‎ 解:z1-z2=‎3‎‎2‎a+(a+1)i‎-‎-3‎3‎b+(b+2)i=‎‎3‎‎2‎a+3‎3‎b+(a-b-1)i,‎ 所以‎3‎‎2‎a+3‎3‎b=4‎3‎,a-b-1=0,‎ 解得a=2,b=1,故z=2+i.‎ ‎10.如图,已知复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A,B,C,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.‎ 解:设正方形的第四个点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),‎ 法一:AD‎=OD-‎OA对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,‎ BC‎=OC-‎OB对应的复数为(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.‎ 因为AD‎=‎BC,所以(x-1)+(y-2)i=1-3i,‎ 即x-1=1,y-2=-3,解得x=2,y=-1,‎ 故点D对应的复数为2-i.‎ 法二:因为点A与点C关于原点对称,‎ 所以原点O为正方形的中心,‎ 于是(-2+i)+(x+yi)=0,‎ 故x=2,y=-1,故点D对应的复数为2-i.‎ 二、B组 ‎1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是OA‎,‎OB,则复数z1-z2=(　　)‎ A.-1+2i B.-2-2i C.1+2i D.1-2i 解析:由题意,知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i,故选B.‎ 答案:B ‎2.若复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为(　　)‎ A.2 B.4 C.4‎2‎ D.16‎ 解析:由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,于是2x+4y=2x+22y≥2‎2‎x+2y=2‎2‎‎3‎=4‎2‎,当且仅当x=2y=‎3‎‎2‎时,2x+4y取得最小值4‎2‎.‎ 答案:C ‎3.若复数z满足z-1=cos θ+isin θ,则|z|的最大值为　　　　　. ‎ 解析:因为z-1=cos θ+isin θ,所以z=(1+cos θ)+isin θ,‎ 故|z|=‎(1+cosθ‎)‎‎2‎+sin‎2‎θ‎=‎2+2cosθ≤‎‎2+2‎=2,即|z|的最大值为2.‎ 答案:2‎ ‎4.已知实数x,y满足条件x-y+5≥0,‎x+y≥0,‎x≤3,‎z=x+yi(i为虚数单位),则|z-1+2i|的最大值与最小值之和为　　　　　. ‎ 解析:作出不等式组x-y+5≥0,‎x+y≥0,‎x≤3‎对应的可行域,如图中阴影部分所示.‎ ‎|z-1+2i|表示可行域中的点到点(1,-2)的距离.‎ 根据图象,得最小值为点(1,-2)到直线x+y=0的距离,最大值为点(1,-2)到点(3,8)的距离,‎ 即|z-1+2i|min=‎|1-2|‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎,|z-1+2i|max=‎(1-3‎)‎‎2‎+(-2-8‎‎)‎‎2‎=2‎26‎,‎ 故|z-1+2i|min+|z-1+2i|max=‎2‎‎2‎+2‎26‎.‎ 答案:‎2‎‎2‎+2‎‎26‎ ‎5.在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.‎ ‎(1)求AB‎,AC,‎BC对应的复数;‎ ‎(2)判断△ABC的形状.‎ 解:(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,‎ 所以OA‎,OB,‎OC对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),‎ 所以OA=(1,0),OB=(2,1),OC=(-1,2).‎ 于是AB‎=OB-‎OA=(1,1),AC‎=OC-‎OA=(-2,2),‎ BC‎=OC-‎OB‎=(-3,1).‎ 即AB对应的复数为1+i,AC对应的复数为-2+2i,BC对应的复数为-3+i.‎ ‎(2)因为|AB|=‎1+1‎‎=‎‎2‎,|AC|=‎(-2‎)‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎‎=‎‎8‎,|BC|=‎(-3‎)‎‎2‎+1‎‎=‎‎10‎,‎ 所以|AB|2+|AC|2=10=|BC|2,‎ 又因为|AB|≠|AC|,‎ 故△ABC是以角A为直角的直角三角形.‎ ‎6.导学号40294025已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=‎3‎,求|z1-z2|.‎ 解:法一:在复平面内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量OZ‎1‎‎,‎OZ‎2‎,如图,则z1+z2对应向量OZ,z1-z2对应向量Z‎2‎Z‎1‎.由题意|OZ‎1‎|=1,|OZ‎2‎|=1,|OZ|=‎3‎,可得∠OZ1Z=120°,∴∠Z2OZ1=60°,‎ ‎∴在△Z2OZ1中,|Z‎2‎Z‎1‎|=1,即|z1-z2|=1.‎ 法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).则由题意,知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.‎ ‎∴2(ac+bd)=1.‎ ‎∵|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1+1-1=1,∴|z1-z2|=1.‎