2012年山东高考试题（文数解析版）

2012年山东高考试题（文数解析版）

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 数学（文科）‎ ‎【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。‎ ‎2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。‎ ‎3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 第I卷（共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i ‎ 答案：A 考点：复数的运算。值得注意的是.‎ 解析：因为z(2-i)=11+7i，所以，分子分母同时乘以，‎ 得 ‎（2） 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA）B为 A {1,2,4} B {2,3,4}‎ C {0,2,4} D {0,2,3,4}‎ 答案：C 考点：集合运算 解析：。答案选C。‎ ‎(3)函数的定义域为（ ）‎ A B C D ‎ 答案：B 考点：求函数的定义域，对指对幂函数性质的考察。‎ 解析：函数式若有意义需满足条件：‎ ‎ 取交集可得：。答案：B.‎ ‎（4）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 ‎ (A)众数　　　(B)平均数　　　(C)中位数　　　(D)标准差 答案：D 考点：求样本方差、标准差 解析： A样本的平均数为86，B样本的平均数为88‎ A样本的方差为 A样本的标准差为2‎ B样本的方差为 B样本的标准差为2,，两者相等 ‎（5）设命题：函数的最小正周期为 ；命题q：函数 的图象关于直线 对称.则下列判断正确的是 ‎　　(A)p为真 (B) q为假 (C) p q为假 (D)p q 为真 答案：C 考点：主要考点是常用逻辑用语，三角函数的周期性和对称性，但是这个题目中对三角函数的考察是相当简单的。‎ 解析：命题：求它的周期：，很明显命题是一个假命题。‎ ‎ 命题q：函数的图像我们是很熟悉的，它关于对称，所以命题q也是假命题。‎ 那么假命题的非是真的，两个假命题的或且都是假的。所以选C ‎（6）设变量满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是 ‎（A）（B）（C） （D）‎ 答案：A 考点：线性规划。‎ 解析：画出平面区域，阴影部分就是约束条件约束的区域。而依据斜率的大小可知3x=y 的大致位置。可知对于z=3x-y中z与截距有关，平移即可得到不同的截距，最值分别在和处取得。带入点即可。‎ ‎（8）函数的最大值与最小值之和为 ‎ (A)　　　(B)0　　　(C)－1　　　(D)‎ 答案：A 考点：三角函数图像与性质 解析:，函数定义域为[0,9],所以，根据三角函数图像 最大值为，最小值为，最大值与最小值之和为　　‎ ‎（9）圆与圆的位置关系为 （ ）‎ ‎（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）相离 答案：B 考点：圆的外置关系 解析：通过求出两圆心的距离为：<5，因此选B ‎(10)函数的图像大致为 答案：D 考点：函数图像 解析：本题为已知函数解析式，求函数图象的问题。对于判断函数图象，我们平时最常用的方法是看：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、正负性、极值点。显然此函数为奇函数，排除A选项；对于函数在区间上为负值，而函数为正值，排除B选项；通过C、D两个选项可以看出，两个选项的主要区别是在时C选项分别趋于正无穷，而我们知道在时，函数正负交替的，而函数都为正值，因此选D。‎ ‎(11)已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 ‎ (A) 　(B) 　　(C)　　(D)‎ 答案：D 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知，此题应注意C2的焦点在y轴上，即（0，p/2）到直线的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。‎ ‎(12)设函数，.若的图像与的图像有且仅有两个不同的公共点A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当a<0时，x1+x2<0,y1+y2>0‎ B. 当a<0时, x1+x2>0, y1+y2<0‎ C.当a>0时，x1+x2<0, y1+y2<0‎ D. 当a>0时，x1+x2>0, y1+y2>0‎ 答案：B 考点：数形结合、解三次方程（分解因式）、导数求极值 解析：‎ 法一，数形结合，由图形可以猜出答案；‎ 法二，，则，令因为图像有两个公共点，所以必然有一个极值为0，又，所以 解得所以令可得 令可得 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。‎ ‎（13）如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为___________ ‎ ‎ ‎ 答案：‎ 考点：空间多面体的体积 解析：求的体积，显然为定值，也就是说三棱锥的地面面积与三棱锥的高都为定值，因此，我们需要找底面三角形的面积为定值，三角形的面积为（为定值），而E点到底面的高正合适为正方体的高为1（为定值），因此体积为 ‎(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃‎ ‎)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于‎22.5℃‎的城市个数为11，则样本中平均气温不低于‎25.5℃‎的城市个数为＿＿＿＿.‎ 答案：9‎ 考点：频率分布直方图 解析：利用组距和频率的关系，通过比例关系可直接解决。‎ 平均气温低于‎22.5℃‎的频率为0.10+0.12=0.22，频数为11；‎ 不低于‎25.5℃‎的频率为0.18，频数=9‎ (15) 若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿＿.‎ 答案：‎ 考点：指数函数、一次函数性质 解析：　当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.‎ ‎（16）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________。‎ 答案：‎ 考点：考查转化化归能力、弧度制、诱导公式等 解析：如图所示设Q（2,1）P在x轴的射影为A，Q在x轴的射影为B，过Q做PA的垂线，垂足为F则有题意可知=2弧度所以|QF|=，|PF|=，所以P 另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分。‎ ‎（17）在的内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求证成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若求的面积.‎ 解析：（Ⅰ）证明：在中，由于 ‎ 所以 因此 ‎ 又 所以 因此 由正弦定理可得 即成等比数列 ‎（Ⅱ）解：因为，所以 由余弦定理得 又因为所以 故的面积 ‎(18)(本小题满分12分)‎ 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.‎ ‎(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ ‎(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.‎ ‎(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.‎ ‎(19) (本小题满分12分)‎ 如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，‎ 求证：∥平面.‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前5项和为105，且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和 解析（1）【求通项公式】由已知得：‎ 解得,‎ 所以通项公式为.‎ ‎(II)【等比数列求和】由，得，‎ 即. ∵，‎ ‎∴是公比为49的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎（21）（本小题满分13分）‎ 如图，椭圆M：的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为8。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆M有两个不同的交点P，Q，与矩形有两个不同的交点S，T。求的最大值及取得最大值时的值。‎ 解析：（Ⅰ）设椭圆M的半焦距为c，由题意知 所以 。‎ 因此，椭圆M的方程为。‎ ‎（Ⅱ）由 整理得 ‎，‎ 由 ‎ 得 ‎ 设，‎ 则 ，‎ 所以 ‎ ‎ =‎ ‎ = （）。‎ 线段CD的方程为，线段AD的方程为 (1) 不妨设点S在AD边上，T在CD边上，可知，，。‎ 所以 ，‎ 因此 。‎ 令 ，‎ 则 ‎ 所以 ‎ 由于 ，‎ 所以 ，‎ 因此 当 即时，取得最大值，此时。‎ ‎（2）不妨设点S在AB边上，T在CD边上，此时。‎ 因此 ，此时 ，‎ 所以 当时，取得最大值。‎ ‎（3）不妨设点S在AB边上，T在BC边上，，‎ ‎ 由椭圆和矩形的对称性知 的最大值为，此时。‎ ‎（22）（本小题13分）.‎ 已知函数曲线在点处的切线与轴平行。‎ 考点：导数，几何意义，单调性。‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 所以 ‎ 由（Ⅱ） ‎ 求导得 ‎ 所以 当 ‎ 当 所以 当 又 当 所以 当 综上所述结论成立。‎