高中数学讲义微专题62 点线面位置关系

高中数学讲义微专题62 点线面位置关系

微专题 62 点线面位置关系的判定 一、基础知识 （一）直线与直线位置关系： 1、线线平行的判定 （1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行 （2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该 直线平行 （3）面面平行性质： 2、线线垂直的判定 （1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直 直线与平面位置关系： （2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直 （二）直线与平面的位置关系 1、线面平行判定定理： （1）若平面外的一条直线 与平面 上的一条直线平行，则 （2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行 2、线面垂直的判定： （1）若直线 与平面 上的两条相交直线垂直，则 （2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直 （3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直 （三）平面与平面的位置关系 1、平面与平面平行的判定： （1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行 （2）平行于同一个平面的两个平面平行 2、平面与平面垂直的判定 如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直 （四）利用空间向量判断线面位置关系 1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量 平面：法向量 l  l ∥ l  l  2、向量关系与线面关系的转化： 设直线 对应的法向量为 ，平面 对应的法向量为 （其中 在 外） （1） ∥ ∥ （2） （3） ∥ （4） （5） （6） 3、有关向量关系的结论 （1）若 ，则 平行+平行→平行 （2）若 ，则 平行+垂直→垂直 （3）若 ，则 的位置关系不定。 4、如何用向量判断位置关系命题真假 （1）条件中的线面关系翻译成向量关系 （2）确定由条件能否得到结论 （3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假 二、典型例题： 例 1：已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，现给出下列命题： ①若 ，则 ； ②若 ，则 ； ③若 ，则 ； ④若 ，则 ． 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 ,a b ,a b  ,  ,m n  ,a b ,  a b  a b a b a b    a a   m a a m   ∥ m n    ∥ ∥ m n     ,a b b c   ∥ ∥ a c ∥ ,a b b c   ∥ a c  ,a b b c     ,a c  ,  ,m n , , ,m n m n     ∥ ∥  ∥ ,m    m  ,m m  ∥   ,m n m ∥ n ∥ 思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①中 不一定相交。所以 无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面 垂直。而②中 不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设 对应法向量为 ，直线 方向向量为 ，则条件转换为： ，可推得 ，即 ，③ 正确；④为线面平行判定，要求 在 外，所以④错误；综上只有 1 个命题正确 答案：B 例 2：已知 是不同的直线， 是不同的平面，以下命题正确的是（ ） ①若 ∥ ， ，则 ∥ ； ②若 ， ∥ ，则 ； ③若 ∥ ，则 ∥ ； ④若 ， ∥ ， ∥ ，则 ； A．②③ B．③④ C．②④ D．③ 思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题 ① 两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平 行，例如在正方体中在平面 和平面 中，虽然 ，但两个平面不平行，所以①错误 ② 例如：平面 ∥平面 ， ，但 与 不垂直，所以②错误 ③ 考虑利用向量帮助解决： ，所以可以推 断 ，所以可得 ∥ ④ 考虑利用向量解决： ，由垂直关系不 能推出 ，所以④错误 答案：D ,m n m ,  ,m n  m a ,a m a n   ∥ m n    n  , ,m n l ,  m n ,m n     ,m n    l m ， l n , ,m n     m n   m  n  m n ABCD 1 1CC D D 1 1AB C D∥ ABCD 1 1 1 1A B C D BD AC BD 1 1A B , ,m m n n               ∥ ∥ ∥ ∥ m n ∥ m n , ,m m n n                  ∥ ∥ m n  A1 B1 A B C D C1D1 例 3：对于直线 和平面 ， 的一个充分条件为（ ） A. B. C. D. 思路：求 的充分条件，即从 A,B,C,D 中选出能判定 的条件，A 选项：例如正方体中的平面 和平面 可知虽然 平面 ， 平面 ，但这两个 平面不平行。B 选项：也可利用 A 选项的例子说明无法推出 ， C 选 项 可 用 向 量 模 型 进 行 分 析 ： ，所以可得： ，即 ；D 选项可利 用 A 选项的例子： ，可知 平面 ， 平面 ，但 这两个平面不平行，综上所述，只有 C 为 的一个充分条件 答案：C 例 4：给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 思路：分别判断四个命题：① 必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可 判定两平面平行，所以①错误；② 该命题为面面垂直的判定，正确；③ 空间中垂直同一条 直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；④ 可用反证法确定，假设该 直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛 盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是②和④ 答案：D ,m n ,   ∥ , , ,m n m n     ∥ ∥ , ,m n m n ∥ ∥ ∥ , ,m n m n  ∥ , ,m n m n     ∥  ∥ ABCD 1 1CDD C AB∥ 1 1CDD C 1 1C D ∥ ABCD  ∥ , ,m n m n m m n n            ∥ ∥ ∥ ∥   ∥  ∥ 1,m BC n CC  ,m n m  1 1CDD C n  ABCD  ∥ A1 B1 A B C D C1D1 例 5：已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法中正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ∥ ， ∥ 则 ∥ C．若 ， ，则 ∥ D．若 ∥ ， ，则 思路：A 选项若直线与平面垂直，则直线与这个平面上的所有直线均垂直，所以 A 正确 B 选项可用向量判断， ∥ ， ∥ ，由 ， 无法判断出 的关系，所以不能推出 ∥ ；C 选项并没有说明直线 是否在平面 上，所以结论不 正确；D 选项也可用向量判断， ∥ ， ，同理由 无法判断 的情况，所以无法推断出 ，综上所述：A 正确 答案：A 例 6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（ ） ① 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异 面线段的中点连线平行于这两个平面；③ 直线 平面 ，直线 ，则 ；④ 是异面直线，则存在唯一的平面 ，使它与 都平行且与 距离相等 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 答案：D 思路：① 到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧， 如果是同侧，则两点所在直线与平面平行，如果异侧，则直线 与平面相交，且交点为这两点的中点。②正确，证明如下： 如图，平面 ，且 分别为 的中点，过 作 交 于 ，连接 ，设 是 的中点 平面 ③ 命题中没有说明直线 是否在 上，所以不正确；④正确，设 为异面直线 的公垂 m n  m  n  m n m  n  m n m  m n n  m  m n n  m  m    n  n    m   n   ,m n  m n n  m  m    m n m n    ,m m n    ,n   n  m   n m n ∥ ,a b  ,a b ,a b , , , ,A C B D    ∥ ,E F ,AB CD C CG AB∥  G ,BG GD H CG ,EH BG HF GD ∥ ∥ ,EH HF  ∥ ∥  ∥ EHF ∥  ,EF EF  ∥ ∥ n  AB ,a b 线段， 为 中点，过 作 的平行线 ，从而由 确定的平面与 平行且与 的距离相等。所以该平面即为所求。 答案：D 例 7：下列命题正确的个数是（ ） ① 若直线 上有无数个点不在平面 内，则 ∥ ② 若直线 ∥ ，则与平面 内的任意一条直线都平行 ③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ④ 若直线 ∥ ，则与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 思路：① “无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点”，即使直线与平面相交，直 线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确；② 若 ∥ ，说明 与 没有公共点，所以 与 上任意一条直线 都没有公共点，但即使 无公共点， 的位置关系不只是有平行， 还有可能异面，所以②不正确；③ 线面平行的前提是直线在平面外，而命题③中没有说明 “另一条”直线是否在平面上，所以③不正确；命题④可由②得知， 与 上任意一条直线 都没有公共点，命题④正确，综上所述，正确的有 1 个 答案：B 例 8：直线 为两异面直线，下列结论正确的是（ ） A. 过不在 上的任何一点，可作一个平面与 都平行 B. 过不在 上的任何一点，可作一个直线与 都相交 C. 过不在 上的任何一点，可作一个直线与 都平行 D. 过 有且只有一个平面与 平行 思路：A 选项中，如果 点与 确定的平面与 平行，则此平面只和 平行， 在此平面上， 所以这样的 是无法作出符合条件的平面；B 选项由 A 所构造出的平面可得，若过 的直线 与 相交，则 也在该平面上，所以 与 无公共点；若过 的直线 与 相交，则无法与 相 交，综上所述对于这样的 点无法作出符合条件的直线；C 选项如果过 的直线与 均平行， 则由平行公理可知 ，与已知条件矛盾，所以 C 错误；D 选项，如果 异面，则过 只 能做出一个平面与 平行。在 上取 两点分别作 的平行线 ，则 所唯一确定的 平面和 平行，且 在此平面上。所以 D 正确 E AB E ,a b ,a b ,a b ,a b ,a b l  l  l   l   l  l  l  m ,l m ,l m l  m ,a b ,a b ,a b ,a b ,a b ,a b ,a b a b P a b b a P P l a l l b P l b a P P ,a b a b∥ ,a b a b a ,A B b ,c d ,c d b a 答案：D 例 9：设 是两条异面直线， 是空间任意一点，则下列命题正确的是（ ） A. 过 点必存在平面与两异面直线 都垂直 B. 过 点必存在平面与两异面直线 都平行 C. 过 点必存在直线与两异面直线 都垂直 D. 过 点必存在直线与两异面直线 都平行 思路：A 选项，若平面与 均垂直，则推得 ，与 异面矛盾；B 选项如果 点位于 某条直线上，则平面无法与该直线平行；C 选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲 平移至共面，过 的直线只需与这个平面线面垂直，即和 都垂直，所以 C 正确；D 选项如 果直线与 均平行，则由平行公理可得 ，与 异面矛盾。所以 C 正确 答案：C 例 10：设 是不同的直线， 是不重合的平面，则下列命题不正确的是（ ） A. 若 ∥ ， ∥ ， 在 外，则 ∥ B. 若 ，则 C. 若 ∥ ，则 ∥ D. 若 ，且 ，则 ∥ 思路：A 选项可通过向量来判断： ，由此可得： ，因 为 在 外，所以可判定 ∥ ，A 正确；B 选项设 ，则 上所有点的 投影落在 中， 上所有点的投影落在 中，因为 ，所以 上所有点的投影均在 的交点上，即 ，所以 B 正确；C 选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，第三个平 面与这两个平面相交，则交线平行，所以 C 正确；D 选项中若 A,C 位于 同侧，则命题成立； 但如果位于 两侧，则满足条件的 与 相交。故不正确 答案：D ,l m P P ,l m P ,l m P ,l m P ,l m ,l m l m∥ ,l m P ,l m P ,l m ,l m l m∥ ,l m , ,l m n , ,   m n m  n  n  , , l        l   , ,l m       l m , , , ,A C B D AB CD       ∥ AB CD   ,m n m n m m      ∥ ∥ ∥ n   n  n  ,m n        m  n l   l ,m n l      三、历年好题精选 1、（2016，山东胶州高三期末）设 为不同的平面， 为不同的直线，则 的 一个充分条件为（ ） A. B. C. D. 2、给出下面四个命题： ①“直线 ∥直线 ”的充要条件是“ 平行于 所在的平面”； ②“直线 ⊥平面 α 内所有直线”的充要条件是“ ⊥平面 ”； ③“直线 ， 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 ， 不相交”； ④“平面 ∥平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线三点到 的距离相等”． 其中正确命题的序号是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 3 、（ 2016 ， 大 连 二 十 中 期 中 考 试 ） 已 知 三 个 互 不 重 合 的 平 面 ， 且 ，给出下列命题（ ） ① 若 ，则 ② 若 ，则 ③ 若 ，则 ④ 若 ，则 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4、（江西中南五校联考）已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命 题中正确的是（ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 5、（2016，宁波高三期末）已知平面 与平面 交于直线 ,且直线 ,直线 ,则下 列命题错误的是 （ ） A．若 ，且 与 不垂直，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，且 与 不平行，则 D．若 ， ，则 6、（2016，上海闸北 12 月月考）已知 是两条不同直线， 是两个不同平面，给出下列 四个命题： , ,   , ,m n l m  , ,l m l      , ,m        , ,m       , ,n n m     a b a b l l  a b a b     , ,   , ,a b c          ,a b a c  b c a b P a c P ,a b a c    a b∥ a c∥ ,m n , ,   , , / /       则 / / , , , / /m n m n     则 / / , , , / /m n m n     则 / / , / / , / /m n m n 则   l a  b  ,a b   b l a l   b l a b a b b l a l   a l b l   ,m n ,  ① 若 垂直于同一平面，则 与 平行 ② 若 平行于同一平面，则 与 平行 ③ 若 不平行，则在 内不存在与 平行的直线 ④ 若 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面 其中真命题的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 7、设 为两条直线， 为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若 ，则 B. ∥ ∥ ， ∥ ，则 ∥ C. 若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ D. 若 ∥ ，则 8、（2015，广东文）若直线 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与 平面 的交线，则下列命题正确的是（ ） A. 至少与 中的一条相交 B. 与 都相交 C. 至多与 中的一条相交 D. 与 都不相交 9、（2014，辽宁）已知 表示两条不同的直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ， ，则 ,    ,m n m n ,    ,m n m n ,a b ,  , ,a b a b      a ,b    a b a ,b  a b   a ,   a  1 2,l l 1l  2l  l   l 1 2,l l l 1 2,l l l 1 2,l l l 1 2,l l ,m n  m ∥ n ∥ m n∥ ,m n   m n ,m m n  n ∥ m ∥ m n n  习题答案： 1、答案：D 解析：A 选项若 不在 上，则无法判定 ；B 选项：若 ，则 ，所以无法 判定；C 选项，如果 来两两垂直，则无法判定 ；D 选项，如果 ， 则 ，再由 可判定 2、答案：D 解析：① 若 平行于 所在的平面，则 的关系为平行或异面，所以不是充要条件； ② 由线面垂直定义可知：直线 ⊥平面 当且仅当直线 ⊥平面 α 内所有直线，所以②正确；③ 中若直线 不相交，则可能平行。所以不能得到“直线 ， 为异面直线”，③错误；④ 若 平面 ∥平面 ，则 内所有点到 的距离相等，当 内存在不共线三点到 的距离相等， 则两平面可能相交，这三点位于 的两侧。所以“ 内存在不共线三点到 的距离相等”是 “平面 ∥平面 ”的必要不充分条件 3、答案：C 解析：当三个平面两两相交，交线平行或交于一点，所以若 ，则三条交线交于一点， 即 ，若 ，则三条交线平行， ，所以②④正确；当三条交线交于一点时， ，则 夹角不确定，所以①错误；若 ，因为 均在 上，所以可 知 ，综上所述，②③④正确 4、答案：C 解析：A 选项：垂直同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，所以 A 错误 B 选项：在正方体中，右侧面的棱与底面上的棱平行，但是这两个面不平行，所以 B 错误 C 选项：将条件转化为向量： ，可推出 ，即 ，C 正确 D 选项：若直线 上，也满足题目条件，但 不平行 5、答案：D 解析：A 选项：可知 在 上的投影为 ，若 与 不垂直，且 与 不垂直，则由三垂线定理 可推得 不垂直，与已知矛盾，所以 A 正确 m  m   ∥ m ∥ , ,   m  ,n n    ∥ m  m  a b ,a b l  l ,a b a b            a b P a c P a b∥ a c∥ ,a b a c  ,b c ,a b a c  ,b c  a  , ,m n m n      ∥ ∥ ∥   ∥  ∥ n  ,n  a  l a l b l ,a b B 选项：由 ， 可得 ，所以 C 选项：由 不平行可知 ，因为 ，由面面垂直判定定理可得 D 选项：两个平面上的直线与交线垂直并不能判定两个平面垂直，故 D 错误 6、答案：D 解析：① 正方形的三个侧面两两垂直，所以垂直于同一平面的两平面不一定平行，①错误 ②正方形上底面的直线均与下底面平行，但这些直线不一定平行，②错误 ③正方形的下底面与侧面不平行，但是底面平行于交线的直线与侧面平行，③错误 ④ 考虑其逆否命题为“若 与 垂直同一平面，则 平行”为真命题，所以原命题为真命 题，④正确 综上所述，正确的只有④ 7、答案：A 解析：利用空间向量判断， 对应的方向向量记为 ， 对应的法向量记为 A：条件转化为 ，所以 A 正确 B: 条件转化为 ，无法得到 ∥ C: ∥ ， ∥ 只能得到 ，无法推出 ∥ D: 条件转化为： ，无法推出 所以只有 A 正确 8、答案：A 解析： 至少与 中的一条相交，考虑反证法，若 与 都不相交，因为 与 分别共 面，所以 ，则 平行，与已知矛盾。所以原命题成立 9、答案：B 解析：A 选项，平行于同一个平面的两条直线可以有各种位置关系，A 错误 B 选项，符合线面垂直的定义，即若直线与平面垂直，则与该平面上任意一条直线均垂直，所 以 B 正确 C 选项，直线 可以在平面 上，所以不正确 D 选项，正方形上底面的相互垂直的两条棱均与底面平行，所以不正确   b l b  b a , , ,a b b l a l  b  b    m n ,m n ,a b ,a b  ,  ,   , ,a b a b            ∥ ∥ , , ,a b a b                  ∥ a b a ,b  a b ,a a ∥ ∥   ,a        a  l 1 2,l l l 1 2,l l l 1 2,l l 1 2,l l l l∥ ∥ 1 2,l l n  综上所述：B 正确