陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期4月统测数学试题

陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期4月统测数学试题

大荔县2019—2020学年下学期（4月）高一统测试题 数学 一、选择题 ‎1.某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用较恰当的方法是（ ）‎ A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样 D. 分层抽样 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的定义可知，该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样．‎ ‎【详解】因为该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查抽样方法的选择，分层抽样主要适用于差异比较明显的样本．‎ ‎2.如图是根据变量x，y的观测数据(，)(i=1，2，3，...，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据散点图的整体趋势直接判断即可.‎ ‎【详解】解:由图③知,变量y随x的增大而减小,各点整体呈下降趋势,x与y有明显的负相关关系;‎ 由图④知,变量y随x的增大而增大,各点整体呈上升趋势,x与y有明显的正相关关系.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了由散点图的识别判断变量的相关关系,明确变量正负相关关系的概念是解题关键,属于基础题.‎ ‎3.国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目.已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测.现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图.下列描述正确的是（ ）‎ A. 甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐 B. 甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐 C. 乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐 D. 乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图所反映出数据的分布情况进行判断即可.‎ ‎【详解】通过茎叶图数据可知：‎ 甲品种的平均高度为：；‎ 乙品种的平均高度为：，所以乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但是乙品种的10株高度在分散，没有甲品种10株的高度集中，都集中在25左右，故乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了通过茎叶图比较平均数和方差的大小，属于基础题.‎ ‎4.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）‎ A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由样本的数字特征一一排除即可．‎ ‎【详解】A样本数据为：42,43,46,52,42,50，其平均数为：，众数为：42，中位数为：，‎ 由题可得，B样本数据为：34,35,38,44，34,42，其平均数为：，众数,34，中位数：，‎ 所以A、B两样本的下列数字特征：平均数，众数，中位数都不同.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了样本的数字特征，属于基础题．‎ ‎5. 为了让人们感受到丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33、25、28、26、25、31，如果该班有45名同学，那么根据提供的数据估计这周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约为 A. 900 B. ‎1080 ‎C. 1260 D. 1800‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知抽样数据可得平均数为（33+25+28+26+25+31）÷6=28个，‎ 据此可以估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋的数量约为28×45=l260个．‎ 故选C 考点：本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征．‎ 点评：用样本数字特征估计总体的数字特征，属于基础题．此题体现出数学的应用价值．‎ ‎6.如图所示，执行如图的程序框图，输出的S值是（ ）‎ A. 1 B. ‎10 ‎C. 19 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图依次计算得到答案.‎ ‎【详解】根据程序框图：；；，结束.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.‎ ‎7.若角终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用三角函数的定义，即可求出.‎ 详解：角终边经过点，则 ‎ 由余弦函数的定义可得 ‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题.‎ ‎8.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是我国古典小说四大名著．若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出所有情况，统计满足条件的情况，计算得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：共有{《西游记》《三国演义》}，{《西游记》《水浒传》}，{《西游记》《红楼梦》}，‎ ‎{《三国演义》《水浒传》}，{《三国演义》《红楼梦》}，{《水浒传》《红楼梦》}6中选择，‎ 满足条件的有3种选择，故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎9.已知角是第一象限角，则的终边位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一或第二象限 D. 第一或第二象限或轴的非负半轴上 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由象限角可得到角的范围,进而可求得的范围,即可得出的终边所在位置.‎ ‎【详解】∵由角是第一象限角,∴可得,‎ ‎∴.‎ 即终边位于第一或第二象限或轴的非负半轴上.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了象限角,熟练利用角的范围是解题的关键,属于基础题.‎ ‎10.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A. 2 B. ‎3 ‎C. 10 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.‎ ‎【详解】设阴影部分的面积是s，由题意得，选C.‎ ‎【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎11.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）‎ A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是红球 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解.‎ ‎【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.‎ B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.‎ C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.‎ D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”‎ ‎，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于‎4米的弧田.下列说法不正确的是（ ）‎ A. “弦”米，“矢”米 B. 按照经验公式计算所得弧田面积（）平方米 C. 按照弓形的面积计算实际面积为（）平方米 D. 按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据 )‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用解直角三角形可得AD，DO，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论．‎ ‎【详解】解：如图，由题意可得∠AOB，OA＝4，‎ 在Rt△AOD中，可得∠AOD，∠DAO，ODAO，‎ 可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AOsin42，‎ 可得弦＝2AD＝4，‎ 所以弧田面积（弦×矢+矢2）（42+22）＝4平方米．‎ 实际面积，‎ ‎．‎ 可得A，B，D正确；C错误．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13.考完数学需要两个小时，则时针走了____________弧度 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 时针每小时走,则两小时走,化为弧度制即可 ‎【详解】易知时针顺时针方向每小时走,则两小时走，‎ 故用弧度制表示为，‎ ‎∴时针走了，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查角度制与弧度制的转化,考查角度在实际生活中的应用,属于基础题 ‎14.将一个总体的100个个体编号为0，1，2，…，99，并依次将其分为10个组，组号为0，1，2，…，9．要用系统抽样法抽取一个容量为10的样本，如果在第0组（号码为0—9）随机抽取的号码为2，则在第4组（号码为40-49）抽取的号码为______．‎ ‎【答案】42‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样定义计算得到答案.‎ ‎【详解】在第0组（号码为0—9）随机抽取的号码为2，‎ 则在第4组（号码为40-49）抽取的号码为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了系统抽样，属于简单题.‎ ‎15.函数的最大值与最小值的和为______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算最大值和最小值，相加得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 当时，函数有最小值为；当时，函数有最小值为.‎ 故最大值与最小值的和为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的最值，属于简单题.‎ ‎16.哥德巴赫在1742年写给欧拉的信中提出了著名的哥德巴赫猜想，其内容是“任一大于2的偶数都可写成两个质数之和”，如.在大于10且小于30的所有质数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 大于10且小于30的所有质数为11，13，17，19，23，29，列举出所有满足题意的情况，根据古典概型求解.‎ ‎【详解】大于10且小于30的所有质数为11，13，17，19，23，29，‎ 通过列举可知任选两个数 有15种选法，其中，，所以和等于40的概率为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确找出大于10小于30的所有质数，利用列举法得出基本事件总数，利用古典概型求解.‎ 三、解答题 ‎17.已知辗转相除法的算法步骤如下：‎ 第一步：给定两个正整数，；‎ 第二步：计算除以所得的余数；‎ 第三步：，；‎ 第四步：若，则，的最大公约数等于；否则，返回第二步．‎ 请根据上述算法画出程序框图．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据辗转相除法的算法步骤画出程序框图得到答案.‎ ‎【详解】如图 ‎【点睛】本题考查了辗转相除法程序框图，意在考查学生对于程序框图的理解和掌握.‎ ‎18.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：‎ ‎（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；‎ ‎（2）补全频数分布直方图；‎ ‎（3）若成绩在75.5～85的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）234人.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算第二组的频数为，第三组的频率为，第四组的频数为：，频率为：，得到答案.‎ ‎（2）根据表格补全频数分布直方图得到答案.‎ ‎（3）计算成绩在75.5~85的学生频率为0.26，得到答案.‎ ‎【详解】（1）由已知样本容量为50，故第二组的频数为，第三组的频率为，‎ 第四组的频数为：，频率为：，‎ 故频率分布表为：‎ 分组 频数 频率 ‎50．～60．‎ ‎4‎ ‎0.8‎ ‎60.5～70.5‎ ‎8‎ ‎0.16‎ ‎70.5～80.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎80.5～90.5‎ ‎16‎ ‎0.32‎ ‎90.5～100.5‎ ‎12‎ ‎0.24‎ 合计 ‎50‎ ‎1.00‎ ‎（2）如图：‎ ‎（3）成绩在75.5~80的学生占70.5~80的学生的，因为成绩在70.5~80的学生频率为0.2，所以成绩在75.5~80的学生频率为0.1.‎ 成绩在80.5~85的学生占80.5~90的学生的，因为成绩在80.5~90的学生频率为0.32，所以成绩在80.5~85的学生频率为0.16‎ 所以成绩在75.5~85的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，‎ 所以该校获得二等奖的学生约为（人）.‎ ‎【点睛】本题考查了频数分布直方图，根据样本估计总体，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎19.一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎【答案】；；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设扇形的半径为，弧长为，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小.‎ ‎【详解】设扇形半径为，弧长为，则，即，‎ 扇形的面积，将上式代入得 ‎，‎ 所以当且仅当时，有最大值，‎ 此时，‎ 可得，‎ 所以当时，扇形的面积取最大值，最大值为 ‎【点睛】本题考查了扇形的弧长公式、面积公式以及二次函数的性质，需熟记扇形的弧长、面积公式，属于基础题.‎ ‎20.某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数与雾霾天数进行统计分析，得出下表数据．‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 附公式：‎ ‎，，，‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．‎ ‎【答案】（1）；（2）7天.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用公式计算得到，，得到答案.‎ ‎（2）将代入回归方程，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，求得，，，，‎ 代入回归系数的公式，求得，则，‎ 故线性回归方程为：.‎ ‎（2）由（1）可知，当时，，‎ 则可以预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.‎ ‎【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎21.已知．‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若是第四象限角，且，求的值．‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理求得函数的解析式．‎ ‎（2）利用诱导公式求得sinα的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosα，代入（1）中函数解析式求得答案．‎ ‎【详解】（l）．‎ ‎（2）由，得，‎ ‎∵是第四象限角，‎ ‎∴，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负．‎ ‎22.在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.‎ ‎（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？ ‎ ‎（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？‎ ‎（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？‎ ‎【答案】（1）0．05；（2）0．45；（3）1200.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为1个黄球2个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果.‎ ‎【详解】把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．‎ 从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.‎ ‎(1)事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P（E）==0．05.‎ ‎(2)事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P（F）==0．45.‎ ‎（3）事件G={摸出3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P（G）==0．1，假定一天中有100人次摸奖，‎ 由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次．‎ 则一天可赚，每月可赚1200元．‎ 考点：1．互斥事件的概率加法公式；2．概率的意义