高考数学专题复习练习第6讲 抛物线

高考数学专题复习练习第6讲 抛物线

第6讲 抛物线 一、选择题 ‎1．抛物线x2＝(‎2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析 根据分析把抛物线方程化为x2＝－2y，则焦参数p＝－a，‎ 故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－.‎ 答案　D ‎2．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析 ∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)．‎ 答案 C ‎3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝ (　　)．‎ A. B. C．－ D．－ 解析　由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则||＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.‎ 答案　D ‎4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 ‎(　　)．‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 解析　∵－＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.‎ 答案　D ‎5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)．‎ A．18 B．‎24 C．36 D．48‎ 解析　如图，设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)．‎ ‎∵当x＝时，|y|＝p，‎ ‎∴p＝＝＝6.‎ 又P到AB的距离始终为p，‎ ‎∴S△ABP＝×12×6＝36.‎ 答案　C ‎6．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是 (　　)．‎ A. B. C．2 D.－1‎ 解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l 的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．‎ 解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.‎ 答案　y2＝4x ‎8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.‎ 解析 过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，‎ ‎∴∠MNP＝，即∠NMF＝.‎ 答案 ‎9．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米．水位下降‎1米后，水面宽________米．‎ 解析　如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为‎2‎米．‎ 答案　2 ‎10．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.‎ 解析　设过抛物线焦点的直线为y＝k，联立得，整理得，k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得，k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得，12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．‎ ‎(1)求a与b；‎ ‎(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．‎ 解　(1)由e＝＝ ＝，得＝.‎ 又由原点到直线y＝x＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b＝，则a＝.‎ ‎(2)法一　由c＝＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)．‎ 设M(x，y)，则P(1，y)．‎ 由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的轨迹方程为y2＝－4x，该曲线为抛物线．‎ 法二　因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.‎ ‎12．已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设＝λ.‎ ‎(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；‎ ‎(2)若λ∈，求|PQ|的最大值．‎ 思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系，然后求最值．‎ ‎(1)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．‎ ‎∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，‎ ‎∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，‎ ‎∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，‎ ‎∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，‎ ‎∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)‎ ‎＝λ＝λ，‎ ‎∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.‎ ‎(2)由(1)知x2＝，x1＝λ，‎ 得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16，‎ ‎∵y1y2>0，∴y1y2＝4，‎ 则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2‎ ‎＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)‎ ‎＝2＋4－12‎ ‎＝2－16，‎ λ∈，λ＋∈，‎ 当λ＋＝，即λ＝时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.‎ ‎13．设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．‎ ‎(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；‎ ‎(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ 解　(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.‎ 由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝ p.‎ 因为△ABD的面积为4 ，所以|BD|·d＝4 ，‎ 即·2p· p＝4 ，解得p＝－2(舍去)或p＝2.‎ 所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.‎ ‎(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.‎ 由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|.‎ 所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.‎ 当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.‎ 由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，‎ 解得b＝－.‎ 因为m的纵截距b1＝，＝3，‎ 所以坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ ‎14．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．‎ ‎(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．‎ 解　(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．‎ ‎∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.‎ 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.‎ ‎(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，‎ 则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，‎ ‎∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.‎ 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y＝4x1，①‎ y＝4x2，②‎ ‎∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．‎ ‎∴y1＋y2＝－4.‎ 由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，‎ ‎∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．‎