高考数学专题复习练习：考点规范练24

高考数学专题复习练习：考点规范练24

考点规范练24　平面向量的概念及线性运算 ‎　考点规范练B册第16页　 ‎ 基础巩固 ‎1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a‎|a|‎‎=‎b‎|b|‎成立的充分条件是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|‎ 答案C 解析由a‎|a|‎表示与a同向的单位向量,b‎|b|‎表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.‎ ‎2.在△ABC中,AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD=(　　)‎ A.‎2‎‎3‎b+‎1‎‎3‎c B.‎5‎‎3‎c-‎2‎‎3‎b C.‎2‎‎3‎b-‎1‎‎3‎c D.‎1‎‎3‎b+‎2‎‎3‎c 答案A 解析如图,可知AD‎=AB+BD=AB+‎2‎‎3‎(AC-‎AB)=c+‎2‎‎3‎(b-c)=‎2‎‎3‎b+‎1‎‎3‎c.故选A.‎ ‎3.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值是(　　)‎ A.-2 B.-1 C.1 D.2‎ 答案B 解析∵BC=a+b,CD=a-2b,‎ ‎∴BD‎=BC+‎CD=2a-b.‎ 又A,B,D三点共线,∴AB‎,‎BD共线.‎ ‎∴AB=λBD,即2a+pb=λ(2a-b).‎ ‎∴2=2λ,p=-λ.∴λ=1,p=-1.‎ ‎4.‎ 如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=(　　)‎ A.a-‎1‎‎2‎b B.‎1‎‎2‎a-b C.a+‎1‎‎2‎b D.‎1‎‎2‎a+b 答案D 解析连接CD(图略),由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且CD‎=‎1‎‎2‎AB=‎‎1‎‎2‎a,所以AD‎=AC+‎CD=b+‎1‎‎2‎a.‎ ‎5.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP=2OA‎+‎BA,则(　　)‎ A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 答案B 解析因为2OP=2OA‎+‎BA,所以2AP‎=‎BA.‎ 所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.‎ ‎6.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且OA‎+OB+‎OC=0,则△ABC的内角A等于(　　)‎ A.30° B.60° C.90° D.120°‎ 答案B 解析由OA‎+OB+‎OC=0,知点O为△ABC的重心.‎ 又O为△ABC外接圆的圆心,‎ 所以△ABC为等边三角形,故A=60°.‎ ‎7.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM‎=‎AB+3AC,则△ABM与△ABC的面积比为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎ D.‎4‎‎5‎〚导学号74920469〛‎ 答案C 解析设AB的中点为D.由5AM‎=‎AB+3AC,‎ 得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD.‎ 如图所示,故C,M,D三点共线,且MD‎=‎‎3‎‎5‎CD,也就是△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为‎3‎‎5‎,选C.‎ ‎8.(2016天津河西一模)如图所示,在△ABC中,AD=DB,点F在线段CD上,设AB=a,AC=b,AF=xa+yb,则‎1‎x‎+‎‎4‎y+1‎的最小值为(　　)‎ A.6+2‎2‎ B.6‎‎3‎ C.6+4‎2‎ D.3+2‎2‎〚导学号74920470〛‎ 答案D 解析AF=xa+yb=2xAD+yAC.‎ ‎∵C,F,D三点共线,∴2x+y=1,‎ 即y=1-2x,其中x>0,y>0.‎ ‎∴‎1‎x‎+‎4‎y+1‎=‎1‎x+‎2‎‎1-x=‎x+1‎x-‎x‎2‎.‎ 令f(x)=x+1‎x-‎x‎2‎,得f'(x)=x‎2‎‎+2x-1‎‎(x-‎x‎2‎‎)‎‎2‎,‎ 令f'(x)=0得x=‎2‎-1(x=-‎2‎-1舍去).‎ 当0‎2‎-1时,f'(x)>0.‎ 故当x=‎2‎-1时,f(x)取得最小值f(‎2‎-1)=‎2‎‎(‎2‎-1)-(‎2‎-1‎‎)‎‎2‎=3+2‎2‎.‎ 故选D.‎ ‎9.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AC),则AB与AC的夹角为　　　　　. ‎ 答案90°‎ 解析由AO‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AC)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故AB与AC的夹角为90°.‎ ‎10.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足PA‎+BP+‎CP=0,AP=λPD,则实数λ的值为　　　　　. ‎ 答案-2‎ 解析如图所示,由AP=λPD,且PA‎+BP+‎CP=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此AP=-2PD,则λ=-2.‎ ‎11.‎ ‎(2016天津红桥一模)如图,在△ABC中,已知∠BAC=π‎3‎,AB=2,AC=4,点D为边BC上一点,满足AC+2AB=3AD,点E是AD上一点,满足AE=2ED,则BE=　　　　　. ‎ 答案‎2‎‎21‎‎9‎ 解析如图,延长AB到F,使AF=2AB,连接CF,则AC=AF.‎ 取CF的中点O,连接AO,‎ 则AC+2AB=2AO=3AD,‎ ‎∴A,D,O三点共线,∠BAC=π‎3‎,‎ ‎∴∠CAO=π‎6‎,且AO⊥CF,AC=4,‎ ‎∴AO=2‎3‎.∴AD=‎4‎‎3‎‎3‎.‎ 又AE=2ED,∴AE=2ED=‎2‎‎3‎AD=‎8‎‎3‎‎9‎.‎ 又AB=2,∠BAE=π‎6‎,‎ ‎∴在△ABE中,由余弦定理得BE2=4+‎64‎‎27‎-2×2×‎8‎‎3‎‎9‎‎×‎3‎‎2‎=‎‎28‎‎27‎.∴BE=‎2‎‎21‎‎9‎.‎ ‎12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若EF=λAB+μDC,则λ+μ=　　　　　. ‎ 答案1‎ 解析如图所示,因为E,F分别是AD与BC的中点,‎ 所以EA‎+‎ED=0,BF‎+‎CF=0.‎ 又因为AB‎+BF+FE+‎EA=0,‎ 所以EF‎=AB+BF+‎EA.①‎ 同理EF‎=ED+DC+‎CF.②‎ 由①+②得,2EF‎=AB+‎DC+(EA‎+‎ED)+(BF‎+‎CF)=AB‎+‎DC,所以EF‎=‎1‎‎2‎(AB+‎DC),所以λ=‎1‎‎2‎,μ=‎1‎‎2‎.‎ 所以λ+μ=1.‎ 能力提升 ‎13.已知在△ABC中,D是AB边上的一点,CD=λCA‎|CA|‎‎+‎CB‎|CB|‎,|CA|=2,|CB|=1,若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b B.‎1‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b ‎ C.‎1‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b D.‎2‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b 答案A 解析由题意知,CD是∠ACB的角平分线,‎ 故CD‎=CA+AD=CA+‎2‎‎3‎AB=CA+‎2‎‎3‎(CB-‎CA)‎ ‎=‎2‎‎3‎CB‎+‎1‎‎3‎CA=‎‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b,故选A.‎ ‎14.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若AO=xAB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,0) B.(0,+∞) ‎ C.(-1,0) D.(0,1)〚导学号74920471〛‎ 答案A 解析设BO=λBC(λ>1),‎ 则AO‎=AB+BO=‎AB+λBC=(1-λ)AB+λAC.‎ 又AO=xAB+(1-x)AC,‎ 所以xAB+(1-x)AC=(1-λ)AB+λAC.‎ 所以λ=1-x>1,得x<0.‎ ‎15.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c等于(　　)‎ A.a B.b C.c D.0‎ 答案D 解析因为a+b与c共线,所以a+b=λ1c.①‎ 又因为b+c与a共线,所以b+c=λ2a.②‎ 由①得b=λ1c-a.‎ 所以b+c=(λ1+1)c-a=λ2a,‎ 所以λ‎1‎‎+1=0,‎λ‎2‎‎=-1,‎即λ‎1‎‎=-1,‎λ‎2‎‎=-1.‎ 所以a+b+c=-c+c=0.‎ ‎16.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=‎1‎‎2‎AB,BE=‎2‎‎3‎BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　　. ‎ 答案‎1‎‎2‎ 解析因为DE‎=DB+BE=‎1‎‎2‎AB+‎2‎‎3‎BC=‎1‎‎2‎AB+‎2‎‎3‎(BA+‎AC)=-‎1‎‎6‎AB‎+‎‎2‎‎3‎AC,所以λ1=-‎1‎‎6‎,λ2=‎2‎‎3‎,所以λ1+λ2=‎1‎‎2‎.‎ ‎17.(2016河南许昌、新乡、平顶山三模)如图,在△ABC中,BD=2DC‎,‎AE=mAB‎,‎AF=nAC,m>0,n>0,则m+2n的最小值是　　　　　.〚导学号74920472〛 ‎ 答案3‎ 解析AD‎=AB+BD=AB+‎2‎‎3‎(AC-‎AB)‎ ‎=‎1‎‎3‎AB‎+‎2‎‎3‎AC=‎1‎‎3mAE+‎‎2‎‎3nAF.‎ ‎∵D,E,F三点共线,∴‎1‎‎3m‎+‎‎2‎‎3n=1.‎ ‎∵m>0,n>0,‎ ‎∴m+2n=(m+2n)‎‎1‎‎3m‎+‎‎2‎‎3n‎=‎1‎‎3‎+‎4‎‎3‎+‎2n‎3m+‎‎2m‎3n ‎≥‎5‎‎3‎+2‎2n‎3m‎·‎‎2m‎3n‎=‎‎5‎‎3‎+2×‎2‎‎3‎=3,‎ 当且仅当m=n时,等号成立.故m+2n的最小值为3.‎ 高考预测 ‎18.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|OB‎-‎OC|=|OB‎+‎OC-2OA|,则△ABC的形状为　　　　　　　　. ‎ ‎〚导学号74920473〛‎ 答案直角三角形 解析∵OB‎+‎OC-2OA‎=OB-OA+OC-OA=AB+AC,OB-OC=CB=AB-‎AC,∴|AB‎-‎AC|=|AB‎+‎AC|.‎ 故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.‎