2015龙岩1月份质检理数试卷

2015龙岩1月份质检理数试卷

龙岩市一级达标校2014-2015学年第一学期期末高三教学质量检查 数学（理科）试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1、已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、把一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，则事件“”的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3、抛物线的准线方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4、某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5、甲、乙两位同学在高二次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列正确的是（ ）‎ A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 ‎6、阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）‎ A．计算数列前项的和 B．计算数列前项的和 C．计算数列前项的和 D．计算数列前项的和 ‎7、下列结论正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”是真命题 B．若函数可导，且在处有极值，则 C．向量，的夹角为钝角的充要条件是 D．命题“，”的否定是“，”‎ ‎8、已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ）‎ A．对 B．对 C．对 D．对 ‎10、若关于的函数（）的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）‎ ‎11、已知随机变量服从正态分布，，则 ．‎ ‎12、过双曲线（，）的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段（为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎13、某老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：‎ 请甲同学计算的数学期望，尽管“”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断定这两个“”处的数值相同，据此，该同学给出了正确答案 ‎ ．‎ ‎14、在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，则的最大值为 ．‎ ‎15、已知实数，满足，，，，记的最大值为．给出下列命题：‎ ①若，使得，则；‎ ②，，使得；‎ ③，，使得．‎ 其中错误的命题有 ．（写出所有错误命题的序号）‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎16、（本小题满分13分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：‎ 求，，的值及函数的表达式；‎ 将函数的图象向左平移个单位，可得到函数的图象，求函数在区间的最小值．‎ ‎17、（本小题满分13分）已知椭圆（）的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率．‎ 求椭圆的标准方程；‎ 若直线（）与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆．若圆与轴相切，求直线被圆所截得的弦长．‎ ‎18、（本小题满分13分）我国东部某风景区内住着一个少数民族部落，该部落拟投资万元用于修复和加强民俗文化基础设施．据测算，修复好部落民俗文化基础设施后，任何一个月（每月均按天计算）中第天的游客人数近似满足（单位：千人），第天游客人均消费金额近似满足（单位：元）．‎ 求该部落第天的日旅游收入（单位：千元，，）的表达式；‎ 若以一个月中最低日旅游收入金额的%作为每一天应回收的投资成本，试问该部落至少经过几年就可以收回全部投资成本．‎ ‎19、（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，，是棱中点．‎ 求证：平面；‎ 设点是线段上一动点，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．‎ ‎20、（本小题满分14分）已知函数（）．‎ 设，求证：当时，；‎ 若函数恰有两个零点，（）．‎ 求实数的取值范围；‎ 已知存在，使得，试判断与的大小，并加以证明．‎ ‎21、（本小题满分14分）‎ 本题有、、三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．‎ ‎（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知线性变换把点变成了点，把点变成了点．‎ 求变换所对应的矩阵；‎ 求直线在变换的作用下所得到像的方程．‎ ‎（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为（为常数），圆的参数方程为（为参数）．‎ 求直线的直角坐标方程和圆的普通方程；‎ 若圆心关于直线的对称点亦在圆上，求实数的值．‎ ‎（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知（，，）．‎ 求的最小值；‎ 若对满足条件的一切实数，，恒成立，求实数的取值范围．‎ 龙岩市一级达标校2014～2015学年第一学期期末高三教学质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则.‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ ‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题：本涂考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.‎ ‎1-5 CADBD 6-10 CBBBB 二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.‎ ‎11．0.16 12． 13．3 14． 15．③‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由可得 : ……2分 由可得:‎ 又 ‎ ‎ ……6分 ‎（Ⅱ）由的图象向左平移个单位 得的图象, ……8分 ‎ ……10分 时, ‎ ‎ ……13分 注：若用运算，请参照给分.‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为抛物线的焦点坐标为，所以 ………2分 又椭圆的离心率，所以 所以椭圆方程为： ……5分 ‎（Ⅱ）由题意知，圆心为线段中点，且位于轴的正半轴，故设的坐标为 因为圆与轴相切，不妨设点在第一象限，又，所以 ‎ 解得 ……8分 圆心,半径 圆的方程为： ……10分 又圆心到直线的距离 所以，直线被圆所截得的弦长为：‎ ‎ ………13分 ‎18.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）当时，……2分 当时，‎ ‎ …4分 综上， ……6分 ‎（Ⅱ）当时，（当且仅当时取等号） ……8分 当时，‎ ‎∵在上为减函数，‎ ‎∴ ……10分 于是（千元），即日最低收入为1550千元.‎ 该村一年可收回的投资资金为=5580（千元）=（万元），‎ 两年可收回的投资资金为（万元），‎ 三年可收回的投资资金为=1674（万元）.‎ ‎∴至少经过3年可以收回全部投资成本. ……13分 ‎19.（本小题满分13分）‎ 解：（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 则 设平面PCD的法向量是，则 即 令，则，于是 ‎∵，∴，‎ ‎∴AM//平面PCD ……5分 ‎（2）因为点是线段上的一点，可设 又面PAB的法向量为 设与平面所成的角为 则 ‎ 时， 即时，最大，……10分 ‎20. （本小题满分14分）‎ 解：（I）当时，设 则，‎ 当时，；当时，.‎ 因此，函数在上单调递增，在上是单调递减 得，即. …………4分 ‎（II）（i）由得.‎ 当时则在上是单调递增，‎ 因此函数至多只有一个零点，不符合题意. …………5分 当时，由得 因此，在上是单调递增，在上是单调递减，‎ 所以.‎ 一方面，当从右边趋近于0时，；‎ 当时，‎ 因此， …………6分 另一方面，由得，即 因此，‎ 很明显在上是单调递增且 根据题意得，‎ 即方程有且只有一个大于1的正实数根.‎ 设，由得解得 所以，实数的取值范围是 ………………9分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：（1）（Ⅰ）解：设，依题意得：‎ ‎，‎ 所以，所以，所以 ……3分 ‎（Ⅱ）由得 所以，代入得，即 所以所求直线方程为 …………7分 ‎（2）（Ⅰ）由得 所以直线的直角坐标方程为 圆的普通方程为 …………3分 ‎（Ⅱ）圆的圆心的坐标，依题意，圆心到直线的距离为1，‎ 所以，解得或 …………7分 ‎（3）（Ⅰ）因为且 所以，即的最小值为 …………3分 ‎（Ⅱ）因为的最小值为,‎ 所以 所以 所以，即的取值范围为. …………7分