【数学】2020届一轮复习（理）通用版4-3三角函数的图象和性质作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版4-3三角函数的图象和性质作业

‎4.3　三角函数的图象和性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.三角函数的图象及其变换 ‎①能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.‎ ‎②理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间‎-π‎2‎,‎π‎2‎内的单调性.‎ ‎③了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.‎ ‎④了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题 ‎2017课标Ⅰ,9,5分 三角函数的图象变换 诱导公式 ‎★★★‎ ‎2016课标Ⅲ,14,5分 三角函数的图象变换 两角和、差的 正弦公式与 辅助角公式 ‎2018课标Ⅱ,10,5分 三角函数的单调性 两角和的 余弦公式 ‎2.三角函数的性质及其应用 ‎2017课标Ⅲ,6,5分 余弦函数的 图象和性质 三角恒等变换 ‎2016课标Ⅰ,12,5分 三角函数的性质 分析解读　　通过分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大,命题呈现出如下几点:1.研究三角函数必须在定义域内进行,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数式化为一个角的一种函数的形式,再利用整体换元的思想,通过解不等式得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点,重点考查恒等变换及数形结合能力.一般分值为5分或12分.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　三角函数的图象及其变换 ‎1.(2018湖南永州第一次模拟,10)函数y=2cos‎2x+‎π‎6‎的部分图象是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 答案　A　‎ ‎2.(2017河南百校联考,6)已知:将函数f(x)=tanωx+‎π‎3‎(2<ω<10)的图象向右平移π‎6‎个单位后与f(x)的图象重合,则ω=(　　)‎ A.9 B.6 C.4 D.8‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018广东模拟考试(二),13)将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π‎3‎个单位长度,得到偶函数g(x)的图象,则φ的最大值是　　　　. ‎ 答案　- ‎π‎6‎ 考点二　三角函数的性质及其应用 ‎1.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)若f(x)为偶函数,且在‎0,‎π‎2‎上满足:对任意x10,则f(x)可以为(　　)‎ A. f(x)=cosx+‎‎5π‎2‎ B. f(x)=|sin(π+x)| ‎ C. f(x)=-tan x D. f(x)=1-2cos22x 答案　B　‎ ‎2.(2017河北石家庄一模,7)若函数f(x)=‎3‎sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于点π‎2‎‎,0‎对称,则函数f(x)在‎-π‎4‎,‎π‎6‎上的最小值是(　　)‎ A.-1 B.-‎3‎ C.-‎1‎‎2‎ D.-‎‎3‎‎2‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018陕西咸阳第二次模拟,11)已知点P‎3‎‎2‎‎,-‎‎3‎‎3‎‎2‎是函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象上的一个最低点,M,N是与点P相邻的两个最高点,若∠MPN=60°,则该函数的最小正周期是(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 答案　D　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　由三角函数图象确定函数解析式的方法 ‎1.(2016课标Ⅱ,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.y=2sin‎2x-‎π‎6‎ B.y=2sin‎2x-‎π‎3‎ C.y=2sinx+‎π‎6‎ D.y=2sinx+‎π‎3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2017广东深圳第二次调研,9)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎,x∈‎-π‎12‎,‎‎2π‎3‎的图象如图所示,若f(x1)=f(x2),且x1≠x2,则f(x1+x2)=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.1 B.‎2‎ C.‎3‎ D.2‎ 答案　A　‎ 方法2　三角函数的性质及其应用 ‎1.(2018河南六市第一次联考,5)已知函数f(x)=2sinωx+π‎6‎(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)‎|φ|<‎π‎2‎的图象的对称中心完全相同,则φ为(　　)‎ A.π‎6‎ B.-π‎6‎ C.π‎3‎ D.-‎π‎3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018福建永春一中、培元、季延、石光中学四校第二次联考,9)下列关于函数f(x)=sin x(cos x+sin x)的说法中,错误的是(　　)‎ A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)的图象关于点π‎8‎‎,0‎对称 C.f(x)的图象关于直线x=-π‎8‎对称 D.f(x)的图象向右平移π‎8‎个单位后得到一个偶函数的图象 答案　B　‎ ‎3.(2018广东省际名校联考(二),15)将函数f(x)=1-2‎3‎·cos2x-(sin x-cos x)2的图象向左平移π‎3‎个单位,得到函数y=g(x)的图象,若x∈‎-π‎2‎,‎π‎2‎,则函数g(x)的单调递增区间是　　　　　　. ‎ 答案　‎‎-‎5π‎12‎,‎π‎12‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　三角函数的图象及其变换 ‎1.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin‎2x+‎‎2π‎3‎,则下面结论正确的是(　　)‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π‎6‎个单位长度,得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎12‎个单位长度,得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π‎6‎个单位长度,得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎12‎个单位长度,得到曲线C2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-‎3‎cos x的图象可由函数y=sin x+‎3‎cos x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. ‎ 答案　‎2‎‎3‎π 考点二　三角函数的性质及其应用 ‎1.(2018课标Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.π‎4‎ B.π‎2‎ C.‎3π‎4‎ D.π 答案　A　‎ ‎2.(2017课标Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cosx+‎π‎3‎,则下列结论错误的是(　　)‎ A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=‎8π‎3‎对称 C.f(x+π)的一个零点为x=‎π‎6‎ D.f(x)在π‎2‎‎,π单调递减 答案　D　‎ ‎3.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤‎π‎2‎,x=-π‎4‎为f(x)的零点,x=π‎4‎为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在π‎18‎‎,‎‎5π‎36‎单调,则ω的最大值为(　　)‎ A.11 B.9 C.7 D.5‎ 答案　B　‎ ‎4.(2015课标Ⅰ,8,5分,0.698)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.kπ-‎1‎‎4‎,kπ+‎‎3‎‎4‎,k∈Z B.‎2kπ-‎1‎‎4‎,2kπ+‎‎3‎‎4‎,k∈Z C.k-‎1‎‎4‎,k+‎‎3‎‎4‎,k∈Z D.‎2k-‎1‎‎4‎,2k+‎‎3‎‎4‎,k∈Z 答案　D　‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　三角函数的图象及其变换 ‎1.(2018天津,6,5分)将函数y=sin‎2x+‎π‎5‎的图象向右平移π‎10‎个单位长度,所得图象对应的函数(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.在区间‎3π‎4‎‎,‎‎5π‎4‎上单调递增 B.在区间‎3π‎4‎‎,π上单调递减 C.在区间‎5π‎4‎‎,‎‎3π‎2‎上单调递增 D.在区间‎3π‎2‎‎,2π上单调递减 答案　A　‎ ‎2.(2016北京,7,5分)将函数y=sin‎2x-‎π‎3‎图象上的点Pπ‎4‎‎,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.t=‎1‎‎2‎,s的最小值为π‎6‎ B.t=‎3‎‎2‎,s的最小值为π‎6‎ C.t=‎1‎‎2‎,s的最小值为π‎3‎ D.t=‎3‎‎2‎,s的最小值为π‎3‎ 答案　A 考点二　三角函数的性质及其应用 ‎1.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f ‎5π‎8‎=2, f ‎11π‎8‎=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(　　)‎ A.ω=‎2‎‎3‎,φ=π‎12‎ B.ω=‎2‎‎3‎,φ=-‎‎11π‎12‎ C.ω=‎1‎‎3‎,φ=-‎11π‎24‎ D.ω=‎1‎‎3‎,φ=‎‎7π‎24‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cosωx-‎π‎6‎(ω>0).若f(x)≤fπ‎4‎对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎ ‎3.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)‎-π‎2‎<φ<‎π‎2‎的图象关于直线x=π‎3‎对称,则φ的值是　　　　. ‎ 答案　- ‎π‎6‎ ‎4.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sinωx-‎π‎6‎+sinωx-‎π‎2‎,其中0<ω<3.已知f π‎6‎=0.‎ ‎(1)求ω;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π‎4‎个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎上的最小值.‎ 解析　本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.‎ ‎(1)因为f(x)=sinωx-‎π‎6‎+sinωx-‎π‎2‎,‎ 所以f(x)=‎3‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎cos ωx-cos ωx ‎=‎3‎‎2‎sin ωx-‎3‎‎2‎cos ωx=‎‎3‎‎1‎‎2‎sinωx-‎3‎‎2‎cosωx ‎=‎3‎sinωx-‎π‎3‎.‎ 由题设知fπ‎6‎=0,所以ωπ‎6‎-π‎3‎=kπ,k∈Z.‎ 故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=‎3‎sin‎2x-‎π‎3‎,‎ 所以g(x)=‎3‎sinx+π‎4‎-‎π‎3‎=‎3‎sinx-‎π‎12‎.‎ 因为x∈‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎,所以x-π‎12‎∈‎-π‎3‎,‎‎2π‎3‎,‎ 当x-π‎12‎=-π‎3‎,即x=-π‎4‎时,g(x)取得最小值-‎3‎‎2‎.‎ C组　教师专用题组 考点一　三角函数的图象及其变换 ‎1.(2016课标Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π‎12‎个单位长度,则平移后图象的对称轴为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.x=kπ‎2‎-π‎6‎(k∈Z) B.x=kπ‎2‎+π‎6‎(k∈Z)‎ C.x=kπ‎2‎-π‎12‎(k∈Z) D.x=kπ‎2‎+π‎12‎(k∈Z)‎ 答案　B　‎ ‎2.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin‎2x-‎π‎3‎的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点(　　)‎ A.向左平行移动π‎3‎个单位长度 B.向右平行移动π‎3‎个单位长度 C.向左平行移动π‎6‎个单位长度 D.向右平行移动π‎6‎个单位长度 答案　D　‎ ‎3.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=‎2‎cos 3x的图象(　　)‎ A.向右平移π‎4‎个单位 B.向左平移π‎4‎个单位 C.向右平移π‎12‎个单位 D.向左平移π‎12‎个单位 答案　C　‎ ‎4.(2014辽宁,9,5分)将函数y=3sin‎2x+‎π‎3‎的图象向右平移π‎2‎个单位长度,所得图象对应的函数(　　)‎ A.在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递减 B.在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递增 C.在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上单调递减 D.在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上单调递增 答案　B　‎ ‎5.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是　　　　. ‎ 答案　7‎ ‎6.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin‎2x+‎π‎4‎的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是　　　　. ‎ 答案　‎‎3π‎8‎ ‎7.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π x π‎3‎ ‎5π‎6‎ Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎-5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为‎5π‎12‎‎,0‎,求θ的最小值.‎ 解析　(1)根据表中已知数据,‎ 解得A=5,ω=2,φ=- π‎6‎.‎ 数据补全如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π x π‎12‎ π‎3‎ ‎7π‎12‎ ‎5π‎6‎ ‎13‎‎12‎π Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)=5sin‎2x-‎π‎6‎.‎ ‎(2)由(1)知 f(x)=5sin‎2x-‎π‎6‎,得g(x)=5sin‎2x+2θ-‎π‎6‎.‎ 因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.‎ 令2x+2θ-π‎6‎=kπ,k∈Z,解得x=kπ‎2‎+π‎12‎-θ,k∈Z.‎ 由于函数y=g(x)的图象关于点‎5π‎12‎‎,0‎中心对称,‎ 令kπ‎2‎+π‎12‎-θ=‎5π‎12‎,k∈Z,解得θ=kπ‎2‎-π‎3‎,k∈Z.‎ 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π‎6‎.‎ 考点二　三角函数的性质及其应用 ‎1.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期(　　)‎ A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关 答案　B　‎ ‎2.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(‎3‎sin x+cos x)(‎3‎cos x-sin x)的最小正周期是(　　)‎ A.π‎2‎ B.π C.‎3π‎2‎ D.2π 答案　B　‎ ‎3.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π‎3‎,则φ=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎5π‎12‎ B.π‎3‎ C.π‎4‎ D.‎π‎6‎ 答案　D　‎ ‎4.(2015陕西,3,5分)‎ 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)‎ A.5 B.6 C.8 D.10‎ 答案　C　‎ ‎5.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=‎2π‎3‎时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)‎ A. f(2)< f(-2)< f(0) B. f(0)< f(2)< f(-2)‎ C. f(-2)< f(0)< f(2) D. f(2)< f(0)< f(-2)‎ 答案　A　‎ ‎6.(2012课标,9,5分)已知ω>0,函数f(x)=sinωx+‎π‎4‎在π‎2‎‎,π单调递减,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎‎,‎‎5‎‎4‎ B.‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎4‎ C.‎0,‎‎1‎‎2‎ D.(0,2]‎ 答案　A　‎ ‎7.(2017课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+‎3‎cos x-‎3‎‎4‎x∈‎‎0,‎π‎2‎的最大值是　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎8.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　,单调递减区间是　　　　. ‎ 答案　π;‎3‎‎8‎π+kπ,‎7‎‎8‎π+kπ(k∈Z)‎ ‎9.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间π‎6‎‎,‎π‎2‎上具有单调性,且fπ‎2‎=f‎2π‎3‎=-fπ‎6‎,则f(x)的最小正周期为　　　　. ‎ 答案　π ‎10.(2014上海,1,4分)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是　　　　. ‎ 答案　‎π‎2‎ ‎11.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-‎3‎),x∈[0,π].‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 解析　(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-‎3‎),a∥b,‎ 所以-‎3‎cos x=3sin x.‎ 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.‎ 于是tan x=-‎3‎‎3‎.‎ 又x∈[0,π],所以x=‎5π‎6‎.‎ ‎(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-‎3‎)=3cos x-‎3‎sin x=2‎3‎cosx+‎π‎6‎.‎ 因为x∈[0,π],所以x+π‎6‎∈π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,‎ 从而-1≤cosx+‎π‎6‎≤‎3‎‎2‎.‎ 于是,当x+π‎6‎=π‎6‎,即x=0时, f(x)取到最大值3;‎ 当x+π‎6‎=π,即x=‎5π‎6‎时, f(x)取到最小值-2‎3‎.‎ ‎12.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2‎3‎sin xcos x(x∈R).‎ ‎(1)求f ‎2π‎3‎的值;‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ 解析　本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.‎ ‎(1)由sin‎2π‎3‎=‎3‎‎2‎,cos‎2π‎3‎=-‎1‎‎2‎,‎ f‎2π‎3‎=‎3‎‎2‎‎2‎-‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎-2‎3‎×‎3‎‎2‎×‎-‎‎1‎‎2‎,‎ 得f‎2π‎3‎=2.‎ ‎(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-‎3‎sin 2x=-2sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得π‎2‎+2kπ≤2x+π‎6‎≤‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 解得π‎6‎+kπ≤x≤‎2π‎3‎+kπ,k∈Z.‎ 所以, f(x)的单调递增区间是π‎6‎‎+kπ,‎2π‎3‎+kπ(k∈Z).‎ ‎13.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=‎2‎sinx‎2‎cosx‎2‎-‎2‎sin2x‎2‎.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.‎ 解析　(1)因为f(x)=‎2‎‎2‎sin x-‎2‎‎2‎(1-cos x)‎ ‎=sinx+‎π‎4‎-‎2‎‎2‎,‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为-π≤x≤0,所以-‎3π‎4‎≤x+π‎4‎≤π‎4‎.‎ 当x+π‎4‎=-π‎2‎,即x=-‎3π‎4‎时, f(x)取得最小值.‎ 所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f‎-‎‎3π‎4‎=-1-‎2‎‎2‎.‎ ‎14.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-‎π‎6‎,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间‎-π‎3‎,‎π‎4‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)由已知,有 f(x)=‎1-cos2x‎2‎-‎1-cos‎2x-‎π‎3‎‎2‎=‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎cos2x+‎3‎‎2‎sin2x-‎1‎‎2‎cos 2x=‎3‎‎4‎sin 2x-‎1‎‎4‎cos 2x=‎1‎‎2‎sin‎2x-‎π‎6‎.‎ 所以, f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间‎-π‎3‎,-‎π‎6‎上是减函数,在区间‎-π‎6‎,‎π‎4‎上是增函数, f ‎-‎π‎3‎=-‎1‎‎4‎, f ‎-‎π‎6‎=-‎1‎‎2‎, f π‎4‎=‎3‎‎4‎,所以, f(x)在区间‎-π‎3‎,‎π‎4‎上的最大值为‎3‎‎4‎,最小值为-‎1‎‎2‎.‎ ‎15.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2x+‎π‎4‎.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA‎2‎=0,a=1,求△ABC面积的最大值.‎ 解析　(1)由题意知f(x)=sin2x‎2‎-‎‎1+cos‎2x+‎π‎2‎‎2‎ ‎=sin2x‎2‎-‎1-sin2x‎2‎=sin 2x-‎1‎‎2‎.‎ 由-π‎2‎+2kπ≤2x≤π‎2‎+2kπ,k∈Z,可得-π‎4‎+kπ≤x≤π‎4‎+kπ,k∈Z;‎ 由π‎2‎+2kπ≤2x≤‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z,可得π‎4‎+kπ≤x≤‎3π‎4‎+kπ,k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间是‎-π‎4‎+kπ,π‎4‎+kπ(k∈Z);‎ 单调递减区间是π‎4‎‎+kπ,‎3π‎4‎+kπ(k∈Z).‎ ‎(2)由fA‎2‎=sin A-‎1‎‎2‎=0,得sin A=‎1‎‎2‎,‎ 由题意知A为锐角,所以cos A=‎3‎‎2‎.‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,‎ 可得1+‎3‎bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+‎3‎,且当b=c时等号成立.‎ 因此‎1‎‎2‎bcsin A≤‎2+‎‎3‎‎4‎.‎ 所以△ABC面积的最大值为‎2+‎‎3‎‎4‎.‎ 评析　本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解三角形等基础知识和基本方法,对运算能力有较高要求.属中等难度题.‎ ‎16.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:‎ f(t)=10-‎3‎cosπ‎12‎t-sinπ‎12‎t,t∈[0,24).‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差;‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?‎ 解析　(1)f(t)=10-2‎3‎‎2‎cosπ‎12‎t+‎1‎‎2‎sinπ‎12‎t=10-2sinπ‎12‎t+‎π‎3‎,‎ 因为0≤t<24,所以π‎3‎≤π‎12‎t+π‎3‎<‎7π‎3‎,‎ ‎-1≤sinπ‎12‎t+‎π‎3‎≤1.‎ 于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.‎ 故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.‎ ‎(2)依题意知,当f(t)>11时,实验室需要降温.‎ 由(1)得f(t)=10-2sinπ‎12‎t+‎π‎3‎,‎ 故有10-2sinπ‎12‎t+‎π‎3‎>11,‎ 即sinπ‎12‎t+‎π‎3‎<-‎1‎‎2‎.‎ 又0≤t<24,因此‎7π‎6‎<π‎12‎t+π‎3‎<‎11π‎6‎,即100,-π‎2‎≤φ<‎π‎2‎的图象关于直线x=π‎3‎对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值;‎ ‎(2)若fα‎2‎=‎3‎‎4‎π‎6‎‎<α<‎‎2π‎3‎,求cosα+‎‎3π‎2‎的值.‎ 解析　(1)f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=‎2πT=2.‎ 又因为f(x)的图象关于直线x=π‎3‎对称,‎ 所以2·π‎3‎+φ=kπ+π‎2‎,k=0,±1,±2,….‎ 由-π‎2‎≤φ<π‎2‎得k=0,所以φ=π‎2‎-‎2π‎3‎=-π‎6‎.‎ ‎(2)由(1)得fα‎2‎=‎3‎sin‎2·α‎2‎-‎π‎6‎=‎3‎‎4‎,‎ 所以sinα-‎π‎6‎=‎1‎‎4‎.由π‎6‎<α<‎2π‎3‎得0<α-π‎6‎<π‎2‎,‎ 所以cosα-‎π‎6‎=‎1-sin‎2‎α-‎π‎6‎=‎1-‎‎1‎‎4‎‎2‎=‎15‎‎4‎.‎ 因此cosα+‎‎3π‎2‎=sin α=sinα-‎π‎6‎‎+‎π‎6‎ ‎=sinα-‎π‎6‎cosπ‎6‎+cosα-‎π‎6‎sinπ‎6‎ ‎=‎1‎‎4‎×‎3‎‎2‎+‎15‎‎4‎×‎1‎‎2‎=‎3‎‎+‎‎15‎‎8‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共50分)‎ ‎1.(2019届山东师范大学附中二模,5)设函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)在x=π‎6‎处取得最大值,则函数g(x)=cos(2x+φ)的图象(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.关于点π‎6‎‎,0‎对称 B.关于点π‎3‎‎,0‎对称 C.关于直线x=π‎6‎对称 D.关于直线x=π‎3‎对称 答案　A　‎ ‎2.(2019届四川攀枝花高三第一次统考,7)当x=θ时,函数f(x)=3sin x+4cos x取得最大值,则cos θ=(　　)‎ A.‎3‎‎5‎ B.‎4‎‎5‎ C.-‎3‎‎5‎ D.-‎‎4‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,9)函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,若将f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍后,再把得到的图象向左平移m(m>0)个单位,得到一个偶函数的图象,则m的值可能是(　　)‎ A.-π‎8‎ B.π‎8‎ C.‎3π‎8‎ D.‎π‎4‎ 答案　B　‎ ‎4.(2019届广东佛山顺德高三第二次教学质量检测,10)设函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π), f(0)=f‎2‎‎9‎π=-fπ‎3‎,且f(x)在π‎6‎‎,‎‎4π‎9‎上单调递减,则ω的值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.2 C.3 D.6‎ 答案　C　‎ ‎5.(2018河南郑州一模,6)若将函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)图象上的每一个点都向左平移π‎3‎个单位长度,得到g(x)的图象,若函数g(x)是奇函数,则函数g(x)的单调递增区间为(　　)‎ A.kπ-π‎4‎,kπ+‎π‎4‎(k∈Z) B.kπ+π‎4‎,kπ+‎‎3π‎4‎(k∈Z)‎ C.kπ-‎2π‎3‎,kπ-‎π‎6‎(k∈Z) D.kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎(k∈Z)‎ 答案　B　‎ ‎6.(2017山西长治二中等五校第四次联考,9)设k∈R,则函数f(x)=sinkx+‎π‎6‎+k的部分图象不可能为(　　)‎ 答案　D　‎ ‎7.(2018山西孝义一模,9)已知函数f(x)=2‎3‎sinωx‎2‎cosωx‎2‎+2cos2ωx‎2‎-1(ω>0)的最小正周期为π,当x∈‎0,‎π‎2‎时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)=(　　)‎ A.2 B.1 C.-1 D.-2‎ 答案　B　‎ ‎8.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,6)若函数f(x)=2asin(2x+θ)(0<θ<π),a是不为零的常数, f(x)在R上的值域为[-2,2],且在区间‎-‎5π‎12‎,‎π‎12‎上是单调减函数,则a和θ的值是(　　)‎ A.a=1,θ=π‎3‎ B.a=-1,θ=‎π‎3‎ C.a=1,θ=π‎6‎ D.a=-1,θ=‎π‎6‎ 答案　B　‎ ‎9.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺,8)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,点P、Q、R在f(x)的图象上,坐标分别为(-1,-A)、(1,0)、(x0,0),△PQR是以PR为底边的等腰三角形,将函数f(x)的图象向右平移5个单位后得到函数g(x)的图象,则关于g(x)的说法中不正确的是(　　)‎ A.g(x)是偶函数 B.g(x)在区间[0,4]上是减函数 C.g(x)的图象关于直线x=2对称 D.g(x)在[-1,3]上的最小值为-‎‎6‎ 答案　C　‎ ‎10.(2018广东东莞二调,10)已知函数f(x)=sin x+λcos x(λ∈R)的图象关于x=-π‎4‎对称,若把函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移π‎3‎个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴方程为(　　)‎ A.x=π‎6‎ B.x=‎π‎4‎ C.x=π‎3‎ D.x=‎‎11π‎6‎ 答案　D　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎11.(2018广东肇庆二模,14)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f‎-‎π‎3‎的值是　　　　. ‎ 答案　-‎‎ ‎‎6‎‎2‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎12.(2019届湖北重点高中联考协作体期中,19)已知函数f(x)=4tan xsinπ‎2‎‎-x·cosx+‎π‎3‎+‎3‎.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期;‎ ‎(2)讨论f(x)在区间‎-π‎3‎,‎π‎3‎上的单调性.‎ 解析　(1)f(x)的定义域为x|x≠π‎2‎+kπ,k∈Z.‎ f(x)=4tan xsinπ‎2‎-x·cosx+‎π‎3‎+‎‎3‎ ‎=4sin x‎1‎‎2‎cos x-‎3‎‎2‎sin x+‎‎3‎ ‎=2sin xcos x-2‎3‎sin2x+‎3‎=sin 2x-‎3‎(1-cos 2x)+‎‎3‎ ‎=sin 2x+‎3‎cos 2x=2sin‎2x+‎π‎3‎,‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)令z=2x+π‎3‎,易知y=2sin z的单调递增区间是‎-π‎2‎+2kπ,π‎2‎+2kπ,k∈Z,由-π‎2‎+2kπ≤2x+π‎3‎≤π‎2‎+2kπ,k∈Z,得-‎5π‎12‎+kπ≤x≤π‎12‎+kπ,k∈Z.‎ 设A=‎-π‎3‎,‎π‎3‎,B=x|-‎5π‎12‎+kπ≤x≤π‎12‎+kπ,k∈Z,‎ 易知A∩B=‎-π‎3‎,‎π‎12‎,‎ 所以当x∈‎-π‎3‎,‎π‎3‎时, f(x)在区间‎-π‎3‎,‎π‎12‎上单调递增,在区间π‎12‎‎,‎π‎3‎上单调递减.‎ ‎13.(2019届安徽皖南八校第一次联考,17)已知向量a=(5‎3‎cos x,cos x),b=(sin x,2cos x),函数f(x)=a·b+b2.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间 ‎(2)当π‎6‎≤x≤π‎2‎时,求函数f(x)的值域.‎ 解析　f(x)=a·b+b2=5‎3‎cos x·sin x+2cos x·cos x+sin2x+4cos2x=5‎3‎sin xcos x+sin2x+6cos2x=‎5‎‎3‎‎2‎sin 2x+‎1-cos2x‎2‎+3(1+cos 2x)=‎5‎‎3‎‎2‎sin 2x+‎5‎‎2‎cos 2x+‎7‎‎2‎=5sin‎2x+‎π‎6‎+‎7‎‎2‎.‎ ‎(1)f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ 由2kπ+π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+‎3π‎2‎(k∈Z)得kπ+π‎6‎≤x≤kπ+‎2π‎3‎,k∈Z,‎ ‎∴f(x)的单调减区间为kπ+π‎6‎,kπ+‎‎2π‎3‎(k∈Z).‎ ‎(2)∵π‎6‎≤x≤π‎2‎,∴π‎2‎≤2x+π‎6‎≤‎7π‎6‎,‎ ‎∴-‎1‎‎2‎≤sin‎2x+‎π‎6‎≤1,‎ ‎∴1≤f(x)≤‎17‎‎2‎,‎ 故当π‎6‎≤x≤π‎2‎时,f(x)的值域为‎1,‎‎17‎‎2‎.‎ 解后反思　以平面向量为载体,三角恒等变换为手段,对三角函数进行考查是近几年高考考查的热点,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题时,一定要熟练掌握两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式.‎