2020届1月辽宁省沈阳市一模数学（文）试题（解析版）

2020届1月辽宁省沈阳市一模数学（文）试题（解析版）

2020 届 1 月辽宁省沈阳市一模数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先解不等式得集合 B，再根据交集定义求结果. 【详解】 故选：B 【点睛】 本题考查一元二次不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．命题 ， ，则 为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】A 【解析】根据全称命题的否定直接判断选择. 【详解】 ， ， ： ， 故选：A 【点睛】 本题考查全称命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据复数的乘法运算即可求解. {0,1,2,3,4,5}A = { }2| 2B x x= ≤ A B = { 1,0,1}− {0,1} {0} {0,1,2} { }2| 2 [ 2, 2]B x x B= ≤ ∴ = − { , }0 1A B∴ = : (0, )p x∀ ∈ +∞ 1 1 3 5x x= p¬ (0, )x∃ ∈ +∞ 1 1 3 5x x≠ (0, )x∀ ∈ +∞ 1 1 3 5x x≠ ( ,0)x∃ ∈ −∞ 1 1 3 5x x≠ ( ,0)x∀ ∈ −∞ 1 1 3 5x x≠ : (0, )p x∀ ∈ +∞ 1 1 3 5x x= p∴¬ (0, )x∃ ∈ +∞ 1 1 3 5x x≠ 21 z ii = −+ z = 3 i− 1 i− 3 i+ 1 i+ 【详解】 由 ， 则 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查复数的乘法运算，属于基础题. 4．已知 均为单位向量，若 夹角为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求 数量积，再求模的平方，最后得结果. 【详解】 故选：D 【点睛】 本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．若实数 x，y 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ） A．4 B． C．-6 D．6 【答案】A 【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解，代入得结 果. 【详解】 作可行域如图，则直线 过点 时 取最大值 4, 21 z ii = −+ ( )( ) 22 1 2 2 3z i i i i i i= − + = + − − = + ,a b  ,a b  2 3 π | |a b− =  7 6 5 3 ,a b  2 11 1 cos 3 2a b π⋅ = × × = −   22 2 | | 1 1 1 3 | |2 3a b a b a b a b− + − ⋅∴ = = + + = ∴ =−        2 2 2 0 1 0 y x y x y ≥ −  − + ≥  + − ≤ 2z x y= + 2 3 2z x y= + (3, 2)A − z 故选：A 【点睛】 本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．函数 ，则下列选项正确的是（ ） A．当 时， 取得最大值 B． 在区间 单调递增 C． 在区间 单调递减 D． 的一个对称轴为 【答案】C 【解析】利用二倍角公式以及辅助角公式化简 ， 再根据正弦三角函数的性质即可求解. 【详解】 ， 对于 A，当 时， ，而 ，故 A 错误； 对于 B，令 ，求得 当 时，则 ，故 B 错误； 对于 C，令 ，求得 2( ) 3sin 2 2cos 1f x x x= − + 6x π= ( )f x ( )f x ,03 π −   ( )f x 5,3 6 π π     ( )f x 12x π= 2( ) 3sin 2 2cos 1 2sin 2 6f x x x x π = − + = −   ( )2 2( ) 3sin 2 2cos 1 3sin 2 2cos 1 3sin 2 cos2f x x x x x x x= − + = − − = − 3 12 sin 2 cos2 2sin 22 2 6x x x π   = − = −        6x π= ( ) 2sin 16 6f x f π π = = =   ( )max 2f x = ( )2 2 22 6 2k x k k z π π ππ π− ≤ − ≤ + ∈ ( ) 6 3k x k k z π ππ π− ≤ ≤ + ∈ 0k = 6 3x π π− ≤ ≤ ( )32 2 22 6 2k x k k z π π ππ π+ ≤ − ≤ + ∈ 当 时，则 ，故 C 正确； 对于 D，令 ，求得 ， 当 时， ，当 时， ，故 D 错误； 故选：C 【点睛】 本题主要考查二倍角公式以及三角函数的性质，需熟记公式与性质，属于基础题. 7．已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小. 【详解】 故选：D 【点睛】 本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题. 8．已知 a，b 为两条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列说法中正确 的是（ ） ①若 ， ，则 ②若 ， ，则 ③若 ， ，则 ④若 ， ，则 A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【解析】根据线面位置关系逐一判断，即可选择. 【详解】 若 ， ，a 可以和两个相交平面的交线平行,这样也能保证 ， ； 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ； ( )5 3 6k x k k z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ 0k = 5 3 6x π π≤ ≤ ( )2 6 2x k k z π ππ− = + ∈ 2 3 kx π π= + 0k = 3x π= 1k = − 6x π= − 1 33a = 1 22b = 3log 2c = a b c< < b a c< < c a b< < c b a< < 1 1 1 11 06 6 6 1 3 629 , 2 8 ,9 8 1 13 8a b a b= = = > > = ∴ >= > 3 3log 2 log 3 1 1c a b c= < = ∴ > > > α β γ //a α //α β //α β //α β //β γ //α γ a α⊥ b α⊥ //a b α γ⊥ β γ⊥ α β⊥ //a α //α β //a α //α β //α β //β γ //α γ a α⊥ b α⊥ //a b 若 ， ，则 或 ； 故选：B 【点睛】 本题考查线面有关命题判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 9．新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科 中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的 课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（） A．丙没有选化学 B．丁没有选化学 C．乙丁可以两门课都相同 D．这四个人里恰有 2 个人选化学 【答案】D 【解析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论． 【详解】 根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学； 又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选 化学； 若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学． 综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断 A，B 不正确，D 正 确。 假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它 三科中选两科。不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共 同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同 课程”矛盾，故假设不成立，因此 C 不正确。 【点睛】 本题主要考查学生的逻辑推理能力。 10．已知正项等比数列 ，满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用等比数列的性质以及等比中项即可求解. 【详解】 由 可得 ， 所以 ， ， α γ⊥ β γ⊥ α β⊥ / /α β { }na 2 2 7 2020 16a a a⋅ ⋅ = 1 2 1017a a a⋅ ⋅ = 10174 10172 10184 10182 2 2 7 2020 16a a a⋅ ⋅ = ( )2 7 1011 16a a = 7 1011 4a a = 509 2a = 所以 . 故选：B 【点睛】 本题主要考查等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题. 11．已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 与 ，若点 A，B 为直线 上关于原点对称的不同两点，点 M 为直线 上一点，且 ，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】先求渐近线方程，再设 坐标，根据斜率公式化简条件，即得离心率. 【详解】 渐近线方程为 ，不妨设 则可设 因此 故选：C 【点睛】 本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题. 12．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数 的零点个数为（ ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【解析】先解 ，再作图，结合图象确定交点个数，即得零点个数. 【详解】 或 ( )508 1017 1 2 1017 7 1011 509 2a a a a a a⋅ ⋅ = ⋅ = 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1l 2l 1l 2l 3 AM BM bk k a ⋅ = 2 5 , ,A B M 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > by xa = ± 1 2: , : ,b bl y x l y xa a = = − 1 1 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )b b bA x x B x x M x xa a a − − − 21 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 3 3 , 2 2AM BM b bx x x x b ba ak k b a c a ex x x x a a + − + ⋅ = ⋅ = = ∴ = = ∴ =− − − ( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ (0, )x∈ +∞ 2( 1) ,0 2 ( ) 1 ( 2), 22 x x f x f x x  − < ≤=  − > 2( ) 8 ( ) 6 ( ) 1g x f x f x= − + ( ) 0g x = 2 1( ) 8 ( ) 6 ( ) 1 0 ( ) 2g x f x f x f x= − + = ∴ = 1( ) 4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作 图象，零点个数为 , 故选：C 【点睛】 本题考查函数零点以及函数综合性质，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力， 属中档题. 二、填空题 13．椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 P 在椭圆 C 上，已知 ，则 ________. 【答案】 【解析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】 由椭圆 ，则 ，所以 根据椭圆的定义可得 ， ， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义，需掌握椭圆的定义，属于基础题. 14．已知四张卡片上分别标有数字 2，2，3，3，随机取出两张卡片，数字相同的概率 为________. ( )f x 6 10 16+ = 2 2 : 14 2 x yC + = 1F 2F 1 3PF = 2| |PF = 1 2 2 : 14 2 x yC + = 2 4a = 2a = 21 | | 2 4PF PF a= =+ 1 3PF = 2 1PF∴ = 1 【答案】 【解析】根据题意可知抽取两张数字相同的2 种，总共的抽法 张随机抽两张，由组合 可得抽法共 ，由此可求概率. 【详解】 由题意可得抽取两张数字相同的 2 种， 抽法共 ， . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查的组合问题，考查学生的逻辑分析能力，属于基础题. 15．已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， .数列 中， ， .则 ________. 【答案】 【解析】先根据条件解得等差数列 公差与首项，即得 ；再根据 解得 通项公式，即得 ，最后求积得结果. 【详解】 设等差数列 公差为 ，则由 ， 得 ， 因为 ，所以 故答案为： 【点睛】 本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属基 础题. 16．在四面体 ABCD 中，若 ，则当四面体 ABCD 的体积最 大时，其外接球的表面积为________. 1 3 4 2 4C 2 4 4 3 62 1C ×= =× 2 1 6 3p∴ = = 1 3 { }na nS 1 3 10a a+ = 9 72S = { }nb 1 2b = 1 2n nb b + = − 7 2020a b = 10− { }na 7a 1 2n nb b + = − { }nb 2020b { }na d 1 3 10a a+ = 9 72S = 1 12 2 10,9 36 72a d a d+ = + = 1 7 14, 1 6 10a d a a d∴ = = ∴ = + = 1 1 2 22 2n n n n n nb b b b b b+ + + += − ∴ = − ∴ = 1 2b = 1 2 2 20202 1 1b b b b= − ⇒ = − ∴ = − 7 2020 10a b∴ = − 10− 1AD DC AC CB= = = = 【答案】 【解析】先根据底面 ACD 面积为定值，确定四面体 ABCD 的体积最大时， 平面 ,再确定外接球球心位置，解得球半径，代入球的表面积公式得结果. 【详解】 因为 ，所以底面 ACD 面积为定值， 因此当 平面 时，四面体 ABCD 的体积最大. 设 外接圆圆心为 ,则四面体 ABCD 的外接球的球心 满足 ,且 ， 因此外接球的半径 满足 从而外接球的表面积为 故答案为： 【点睛】 本题考查四面体外接球的表面积，考查综合分析求解能力，属中档题. 三、解答题 17． 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ， . （1）求 A 及 a； （2）若 ，求 b，c. 【答案】（1） ； （2） ； 【解析】（1）由正弦定理边化角以及两角和的正弦公式即可求解 a；根据二倍角公式可 求角 A （2）由（1）以及余弦定理即可求解. 【详解】 （1） ， 7 3 π CB ⊥ ACD 1AD DC AC= = = CB ⊥ ACD ACD 1O O 1OO //BC 1 1 2OO = R 2 2 21 3 7( ) ( )2 3 12R = + = 2 74 3R ππ = 7 3 π ABC 7cos cos 7a B b A ac+ = sin 2 sinA A= 2b c− = 3A π= 7a = 3b = 1c = 7cos cos 7a B b A ac+ = ， 即 ，解得 ； 由 ，则 ， 所以 ，故 . （2）由正弦定理可得 ，且 可得 ，又 ， 所以 ， 解得 ， . 【点睛】 本题考查了正余弦定理以及二倍角公式、两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 18．如图，已知 为等边三角形， 为等腰直角三角形， .平面 平面 ABD，点 E 与点 D 在平面 ABC 的同侧，且 ， .点 F 为 AD 中点，连接 EF. （1）求证： 平面 ABC； 7sin cos sin cos sin7A B B A a C∴ + = 7sin sin7C a C= 7a = sin 2 sinA A= 2sin cos sinA A A= 1cos 2A = 3A π= 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = 7a = 2 2 7b c bc+ − = 2b c− = ( ) ( )2 22 7 2c c c c+ + − = + 1c = 3b = ABC ABD△ AB BD⊥ ABC ⊥ CE BD 2BD CE= EF  （2）求证：平面 平面 ABD. 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，可证出 ，由线面平行的判定 定理即可证出； （2）首先证出 平面 ABD，再由（1）可证得 平面 ABD，根据面面垂直的 判定定理即可证出. 【详解】 （1） 取 的中点 ，连接 ， 点 F 为 AD 中点， 且 ， ， 且 ， 四边形 为平行四边形， , 又因为 平面 ABC， 平面 ABC， 所以 平面 ABC. （2）由（1）点 为 的中点，且 为等边三角形， AED ⊥ AB O ,FO CO EF CO CO ⊥ EF ⊥ AB O ,FO CO  FO BD∴  1 2FO BD=  CE BD 2BD CE= FO CE∴  FO CE= ∴ FOCE CO EF∴  CO ⊂ EF ⊄ EF  O AB ABC 所以 ， 又因为 .平面 平面 ABD， 所以 平面 ABC，所以 , 又 ，所以 平面 ABD， 又 ，所以 平面 ABD， 平面 AED， 平面 平面 ABD. 【点睛】 本题主要考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判断定理，要证线面平行需先证“线 线平行”；要证面面垂直需先证线面垂直，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题. 19．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党 的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台.某单位共有党员 200 人（男女各 100 人），从 2019 年 1 月 1 日起在“学习强国”学习平台学习.现统计他们的 学习积分，得到如下男党员的频率分布表和女党员的频率分布直方图. 女党员 男党员 CO AB⊥ AB BD⊥ ABC ⊥ BD ⊥ BD CO⊥ AB BD∩ CO ⊥ CO EF EF ⊥  EF ⊂ ∴ AED ⊥ 积分 （单位：千） 人数 （单位：人） 15 25 30 20 10 （1）已知女党员中积分不低于 6 千分的有 72 人，求图中 a 与 b 的值； （2）估算女党员学习积分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和 女党员学习积分的中位数（精确到 0.1 千分）； （3）若将学习积分不低于 8 千分的党员视为学习带头人，完成下面 列联表，并判 断能否有 95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关? 男党员 女党员 合计 带头人 非带头人 合计 100 100 200 相关公式即数据： . 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） ； （2）平均数： ；中位数： （3）没有 95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关. 【解析】（1）由频率分布直方图小矩形的面积为频率即可求解. （2）根据频率分布直方图平均数等于小矩形面积 小矩形底边中点的横坐标之和；设 [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) 2 2× 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d χ −= + + + + ( )2P x k≥ 0.065a = 0.09b = 7.5 7.5 × 中位数为 ，由频率分布直方图可知中位数在 上，使小矩形面积为 即可求解. （3）根据列联表以及独立性检验即可判断. 【详解】 （1）由女党员中积分不低于 6 千分的有 72 人，则低于 6 千分的有 人 ，解得 ， ，解得 ， 故 ； . （2）由频率分布直方图可知： 平均数 . 设中位数为 ， 在 与 上的频率为 ， ，解得 ， 综上所述，平均数： ；中位数： （3）列联表如下： 男党员 女党员 合计 带头人 30 42 72 非带头人 70 58 128 合计 100 100 200 故没有 95%把握认为该单位的学习带头人与性别有关. 【点睛】 本题主要考查频率分布图、列联表以及独立性检验，属于中档题. 20．已知抛物线 的焦点为 F，点 ，点 B 在抛物线 C 上，且 满足 （O 为坐标原点）. （1）求抛物线 C 的方程； x ( )6,8 0.5 100 72 28− = ∴ 280.075 2 2 0.28100a× + = = 0.065a = 720.15 2 0.12 2 2 100b× + × + = 0.09b = 0.065a = 0.09b = 3 0.15 5 0.13 7 0.3 9 0.24 11 0.18 7.54 7.5= × + × + × + × + × = ≈ x  [ )2,4 [ )4,6 0.075 2 0.065 2 0.15 0.13 0.28× + × = + = ( )6 0.28 0.5x∴ − + = 226 7.515x = + ≈ 7.5 7.5 ( )22 2 200 30 58 70 42( ) 28800 3.125 3.841( )( )( )( ) 72 128 100 100 9216 n ad bc a b c d a c b d χ × − ×−= = = = <+ + + + × × × 2: 2 ( 0)C y px p= > (2,2)A 2OF FB FA= −   （2）过焦点 F 任作两条相互垂直的直线 l 与 ，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点， 直线 与抛物线 C 交于 M，N 两点， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求证： 为定值. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）先根据条件解得 B 点坐标，代入抛物线方程解得 ，即得结果； （2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得 与 ，最 后代入化简 得结果. 【详解】 （1）设 因为点 B 在抛物线 C 上， （2）由题意得直线 l 的斜率存在且不为零，设 ，代入 得 ，所以 因此 ，同理可得 因此 【点睛】 本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数 . （1）求函数 的单调区间与极值； （2）若函数 有两个极值点时，求 a 的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间： ；单调递减区间： ； 极小值为 （2） 【解析】（1）求出函数 的导函数，根据导函数即可求出单调区间以及极值. D′ D′ OPQ△ 1S OMN 2S 2 2 1 2 1 1 S S + 2 4y x= p 1S 2S 2 2 1 2 1 1 S S + 1 1( , )B x y 1 1( ,0), 2 ( ,0) ( 4 , 4)2 2 2 p p pF OF FB FA x p y∴ = − ⇒ = − − + −    1 1 1 14 , 4 0 4, 42 2 p px p y x y= − − + − = ∴ = = 2 24 2 4 2 4p p y x∴ = ⋅ ∴ = ∴ = : 1l x my= + 2 4y x= 2 4 4 0y my− − = 2 2 1 2 1 2 1 24 , 4 | | 16 16 4 1y y m y y y y m m+ = = − ∴ − = + = + 2 1 21 1 | | 1 2 1S 2 y y m= − × = + 22 12 1S m = + 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 14( 1) 4( 1) 4( 1) 44( 1) m S S m m m m + = + = + =+ + ++ 1( ) ln 1f x x x = + + ( )f x ( ) ( 1)ln ( 1)g x x x a x= + − − ( )1,+∞ ( )0,1 ( )f x 2 2a > ( )f x （2）求出 的导函数，使导函数有两个根，采用分离参数法，结合（1）中的值域 即可求出参数的取值范围. 【详解】 （1）由 ， 则 ， 令 ，则 ， 令 ，即 ，解得 ， 所以函数 的单调递增区间为 ； 令 ，即 ，解得 ， 所以函数 的单调递减区间为 ； 故函数的极小值为 . 综上所述，单调递增区间： ；单调递减区间： ； 极小值为 （2）由 ， 则 ， 若 有两个极值点，则 有两个根 即 有两解，即 ， 即 与 有两个交点， 由（1）可知 在 上单调递减；在 上单调递增， 所以 . 若 与 有两个交点，则 . 【点睛】 本题主要考查导数在函数单调性中的应用以及由函数的极值点个数求参数的取值范围， 考查了转化、化归思想，属于中档题. 22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ，直线 l 的参数方程为： （t 为参数），直线 l 与曲线 C 分别 ( )g x ( )1( ) ln 1 0f x x xx = + + > ( ) 2 2 1 1 1xf x x x x −′ = − = ( ) 0f x′ = 1x = ( ) 0f x′ > 2 1 0x x − > 1x > ( )f x ( )1,+∞ ( ) 0f x′ < 2 1 0x x − < 0 1x< < ( )f x ( )0,1 ( )1 2f = ( )1,+∞ ( )0,1 ( )f x 2 ( ) ( 1)ln ( 1)g x x x a x= + − − ( ) ( ) ( )( ) 11 ln 1 ln ln xg x x x x x a x ax +′ ′′ = + + + − = + − ( )g x ( ) 0g x′ = 1ln 0xx ax ++ − = 1ln xx ax ++ = ( ) 1 1ln ln 1xf x x xx x += + = + + y a= ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )1 2f x f≥ = ( )f x y a= 2a > : 4cosC ρ θ= 3 2 1 x t y t = +  = − + 交于 M，N 两点. （1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； （2）若点 ，求 的值. 【答案】（1） ， （2） 【解析】（1）根据 将曲线 C 极坐标方程化为直角坐标方程，利 用消元法化直线 l 的参数方程为普通方程 （2）先化直线 l 的参数方程为标准式，再代入曲线 C 方程，最后根据参数几何意义求 解 【详解】 （1） （2） 代入 得 【点睛】 本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基 本分析求解能力，属中档题. 23．已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集得结 果； (3, 1)P − 1 1 | | | |PM PN − 2 2( 2) 4x y− + = 2 5 0x y− − = 5 5 ± 22 2 , cosx y xρ ρ θ== + 2 2 2 2 24cos 4 cos 4 ( 2) 4x y x x yρ θ ρ ρ θ= ∴ = ∴ + = ∴ − + = 3 2 2 5 01 x t x yy t = + ∴ − − = = − + 233 2 5 1 11 5 x tx t y t y t  = += + ∴ = − +  = − +  2 2 4x y x+ = 2 1 2 1 2 2 22 0 , 2 5 5 t t t t t t+ − = ∴ + = − = − 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 | | | | | |1 1 1 1 5 | | | | | | | | | || | | | 5 t t t t PM PN t t t t t t − +∴ − = − = = ± = ± ( ) | 2 3| | 1|f x x x= + − − ( ) 3f x ≤ ( ) 2 | 3 3|f x a x> − − x∈R 1[ 7, ]3 − 5 2a < （2）先化简不等式，再根据绝对值三角不等式性质求最值，即得结果. 【详解】 （1） 或 或 或 或 即不等式 的解集为 . （2） 【点睛】 本题考查绝对值定义以及绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. | 2 3| | 1| 3x x+ − − ≤ 1 2 3 1 3 x x x ≥∴ + − + ≤ 3 12 2 3 1 3 x x x  − < <  + + − ≤ 3 2 2 3 1 3 x x x  ≤ − − − + − ≤ 1 1 x x ≥∴ ≤ − 3 12 1 3 x x − < <  ≤ 3 2 7 x x  ≤ −  ≥ − 17 3x∴− ≤ ≤ ( ) 3f x ≤ 1[ 7, ]3 − ( ) 2 | 3 3| | 2 3| | 1| 2 | 3 3| | 2 3| | 2 2 | 2f x a x x x a x x x a> − − ∴ + − − > − − ∴ + + − > 5| 2 3| | 2 2 | | 2 3 (2 2) | 5 2 5, .2x x x x a a+ + − ≥ + − − = ∴ < ∴ <