2020届高三数学上学期第一次联考试题 文（含解析）(新版)新人教版

2020届高三数学上学期第一次联考试题 文（含解析）(新版)新人教版

‎2019学年高三第一次联考 数学（文科）‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，故选C.‎ ‎2. 若（为虚数单位），则复数（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得：，故选B.‎ ‎3. 如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，则第三小组的频率为（ ）‎ A. 0.125 B. 0.25 C. 0.375 D. 0.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由直方图知前三组的频率之和为，所以第三小组的频率为，故选C．‎ 考点：频率分布直方图．‎ ‎4. 若向量，则（ ）‎ A. -36 B. 36 C. 12 D. -12‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据数量积定义知：，故选D.‎ - 11 -‎ ‎5. 已知等差数列的前3项依次为，前项和为，且，则的值为（ ）‎ A. 9 B. 11 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由成等差数列得：，解得，所以，所以，解得，故选C.‎ ‎6. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：），且该三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A. 5 B. 10 C. 15 D. 30‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，该三棱锥的底面三角形两直角边长分别为3，5，设该三棱锥的高为H，将该三棱锥补成长方体可知，该三棱锥的外接球的直径为，该三棱锥的外接球的表面积为，解得，所以该三棱锥的体积为，故选B................‎ ‎7. 已知直线将圆所分成的两段圆弧的长度之比为1：2，则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，劣弧所对的圆心角为120°，半径为2，圆心为，所以圆心到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离，所以，故选C.‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ - 11 -‎ A. 2 B. -1 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】执行程序，当，，，，按照此规律，，当执行完后，不满足条件，跳出循环，所以输出，故选C.‎ ‎9. 已知等比数列的前项和为，则的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，又，解得，故选C.‎ ‎10. 在中，（如下图），若将绕直线旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以,所以旋转体的体积：.‎ - 11 -‎ ‎ 故选：D．‎ ‎11. 函数的图象可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由，‎ 所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除；‎ 当时，，排除B，故选A.‎ ‎12. 已知函数，若函数在上的最小值为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，，若，则，函数单调递增，所以，矛盾；若，函数在上递减，在上递增，所以，解得；若，函数是递增函数，所以，矛盾；若，函数单调递减，所以，解得，矛盾.综上，故选A.‎ - 11 -‎ ‎13. 已知函数，则__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意，故填.‎ ‎14. 已知实数满足，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】作出可行域如图阴影部分，‎ 由得，平移直线，由平移可知当直线，当直线和OA重合时，直线的截距最大，此时z取得最小值为0，即的最小值是0．‎ ‎15. 定长为4的线段两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，抛物线的交点为F，抛物线的准线，所求的距离，（两边之和大于第三边且M,N,F三点共线时取等号），所以.‎ 答案为：.‎ ‎16. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，有解，即有解，令，‎ - 11 -‎ ‎，当时，当时，所以，故只需.‎ ‎17. 在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的周长为5，求的面积．‎ ‎【答案】（1）故；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知及正余弦定理可求，又0＜A＜π，则可求的值． （2）由周长求边长c,根据面积公式计算可得.‎ 试题解析：1）由及正弦定理，得，‎ 又由余弦定理，得，‎ 故．‎ ‎（2）若的周长为5，又，所以．‎ 故的面积为．‎ ‎18. 经研究，城市公交车的数量太多容易造成资源浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司从某站占的40名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：）作为样本分成5组如下表：‎ 组别 侯车时间 人数 一 ‎2‎ 二 ‎6‎ 三 ‎2‎ 四 ‎2‎ 五 ‎3‎ - 11 -‎ ‎（1）估计这40名乘客中侯车时间不少于20分钟的人数；‎ ‎（2）若从上表侯车时间不少于10分钟的7人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人侯车时间都不少于20分钟的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据15名乘客中候车时间少于20分钟频数和为5，可估计这40名乘客中候车时间少于20分钟的人数；（2）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案．‎ 试题解析：（1）侯车时间不少于20分钟的概率为，所以估计侯车时间不少于20分钟的人数为．‎ ‎（2）将侯车时间在范围的4名乘客编号为；侯车时间在范围的3名乘车编号为．‎ 从7人中任选两人包含以下21个基本事件：，，其中抽到的两人侯车时间都不少于20分钟包含以下3个基本事件：，‎ 故所求概率为．‎ ‎19. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，是正三角形，是的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）判定是否平行于平面，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取AD中点M,连接CM、PM,推导出，从而 - 11 -‎ 平面，由此能证明． （2）取PA的中点F，连接BF、FE，推导出四边形BCEF为平行四边形，从而CE∥BF，由此能证明CE∥平面PAB．‎ 试题解析：（1）‎ 取的中点为，连接，‎ 由于是正三角形，所以，‎ 又易知四边形是平行四边形，‎ 所以，所以，‎ 平面平面，‎ 又，故平面，‎ 又平面，故.‎ ‎（2）平行于平面，‎ 理由如下：取的中点为，连接．‎ 可知，‎ 又，‎ 所以四边形为平行四边形，故.‎ 又平面平面，‎ 所以平面.‎ ‎20. 已知椭圆过点，椭圆的左焦点为，右焦点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，且，直线与直线分别交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程及线段的长度的最小值；‎ ‎（2）是椭圆上一点，当线段的长度取得最小值时，求的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ - 11 -‎ ‎【解析】试题分析：（I）由椭圆和抛物线y2＝4x有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆C的方程； （Ⅱ）根据（I）写出点A，B，设点P和直线AP，BP的方程，并且与直线y=3分联立，求出G，H两点，根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求, 当平行于的直线与椭圆下方相切时，的面积取最大值,求此时三角形面积即可.‎ 试题解析：（1）由，得，所以，‎ 又椭圆过点，‎ 所以，解得，‎ 故椭圆的方程为，‎ 设点，则由，得，‎ 即，则，‎ 由，得，‎ 所以线段的长度取得最小值.‎ ‎（2）由（1）可知，当的长度取得最小值时，，‎ 将点代入，得，故此时点，‎ 则直线的方程为，此时，‎ 当平行于的直线与椭圆下方相切时，的面积取最大值，‎ 设直线，则由，得，‎ 则，所以，或（舍去）．‎ 由平行线间的距离公式，得此时点到直线的距离.‎ 故，‎ 即的面积的最大值为.‎ ‎21. 设函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ - 11 -‎ ‎（2）若，求函数的最值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，注意分类讨论．‎ 试题解析：（1），令，得，‎ ‎①若，则恒成立，所以函数在上单调递增；‎ ‎②若，则由，得；由，得，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎③若，则由，得；由，得，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎④若，则恒成立，所以函数在上单调递减.‎ ‎（2）若，‎ ‎①当时，，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 故时，函数有最大值，无最小值；‎ ‎②当时，，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 故时，函数有最小值，无最大值.‎ ‎22. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．已知点的参数方程为（为参数），点在曲线上．‎ ‎（1）求在平面直角坐标系中点的轨迹方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【答案】（1），曲线的普通方程为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）消参的普通方程，利用转化公式极坐标化普通方程；（2）数形结合，转化为线段上一点与圆上一点距离的最大值，注意利用垂线段最短及点与圆上点距离最大值的求法.‎ - 11 -‎ 试题解析：（1）由消去参数，得，‎ 又，∴，‎ 故点的轨迹方程是，‎ ‎∵，∴，∴，即，‎ 故曲线的普通方程为.‎ ‎（2）如图：‎ 由题意可得，点的线段上，点在圆上，‎ ‎∵圆的圆心到直线的距离，‎ ‎∴直线与圆相切，且切点为，‎ 易知线段上存在一点，‎ 则点与圆心的连线，与圆的交点满足取最大值.‎ 即当点坐标为时，取最大值.‎ ‎∵，‎ ‎∴的最大值为.‎ - 11 -‎