2017-2018学年河北省深州市中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河北省深州市中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省深州市中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数的模是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据复数模的性质可分别求出分子与分母的模再相除.‎ 详解：方法（一），‎ 方法（二），‎ ‎∴‎ 故选B.‎ 点睛：复数的模的性质：，。‎ ‎2．已知命题抛物线的准线方程为，命题双曲线的渐近线方程为，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出抛物线的准线和双曲线的渐近线方程可知命题的真假，从而得出结论.‎ 详解：抛物线的准线方程是，命题为真，双曲线中由得，即为渐近线方程，命题为假，因此只有为真，‎ ‎　　　故选A.‎ 点睛：要判断复合命题的真假，首先必须判断简单命题的真假，再由真值表确定复合命题真假，本题中简单命题的真假只要根据其定义求解即可知.‎ ‎3．已知随机变量服从正态分布，且， （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由正态分布的性质知，从而可求解.‎ 详解：由正态分布，故选C. ‎ 点睛：本题考查正态分布的性质，考查由正态曲线的对称性求概率问题，属于简单㼵.‎ ‎4．从7名同学（其中男女）中选出名参加环保知识竞赛，若这人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】从名同学选出名同学共有种情况，‎ 其中，选出的人都是男生时，有种情况，‎ 因女生有人，故不会全是女生，‎ 所以人中，即有男生又有女生的选法种数为．‎ 故选．‎ ‎5．随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式计算出，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则可以为（ ）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用所给数据，在时，可得题中结论.‎ 详解：利用所给数据，在时，可作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，只有D满足.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查独立性检验，解题时只要计算，然后对照所给数据即可得出结论，属于简单题.‎ ‎6．某产品近四年的广告费x万元与销售额y万元的统计数据如表，根据此表可得回归方程中的=9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为( )万元 A. 650 B. 655 C. 677 D. 720‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ， ，那么 ，解得： ，所以回归直线方程为 ，当时， ，故选B.‎ ‎7．观察如图所示图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）‎ A. B. △ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：观察各行各列图形出现的规律，找到共同点可得结论.‎ 详解：前二行或前二列三个图形有两个是实心一个空心的，且长方形、圆、三角形各一个，因此空格内是实心长方形，故选A.‎ 点睛：本题考查归纳推理，主要是寻找规律，寻找共同点和不同点，考查学生的与推理概括能力，属于基础题.‎ ‎8．在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中， 平面BCD，且，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，分别取的中点，连，‎ 则，‎ ‎∴即为异面直线和所成的角（或其补角）．‎ 又由题意得，.‎ 设，则.‎ 又,‎ ‎∴为等边三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∴异面直线AC与BD所成角为，其余弦值为．选A．‎ 点睛：‎ 用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．‎ ‎9．一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地均相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件: “取出的两个球颜色不同”，事件:“取出一个黄球，一个蓝球”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ，故选C.‎ ‎10．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯灭的概率是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，要使灯泡甲亮，必须闭合，或闭合，故灯亮的概率为，则灯灭的概率是，故选C.‎ 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题；相互独立事件表示的是几个概率同时发不发生互不影响，比方说明天下不下雨和明天地震不地震没有关系，他们发不发生互不影响，满足这种条件的事件就叫做相互独立事件．、个两个独立概率事件同时发生的概率为：．‎ ‎11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于对称轴在轴左侧，故，故同号，基本事件有.的可能性有三种，，，.故期望值为.故选.‎ ‎12．定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数， 有 成立，若关于的不等式 在上恒成立，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∴定义在R上的函数满足，， ∴函数为偶函数，又对任意的不相等的实数， 有成立，即函数数在上递减， ∴在 上单调递增， 若关于的不等式在上恒成立， 即 对恒成立． ∴ 对恒成立， 即 对恒成立，即 且 对 恒成立． 令 ，则 ，则在 上递增， 上递减， ‎ 令 则在 上递减， ． 综上所述，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，解题时要注意转化的数学思想的利用．‎ 二、填空题 ‎13．在极坐标系中，极点到直线的距离为_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再由点到直线距离公式可得.‎ 详解：直线的直角坐标方程为，极点即原点到其距离为2.‎ 故答案为2.‎ 点睛：本题考查极坐标与直角坐标的互化，由公式对极坐标与直角坐标互化.‎ ‎14．已知展开式中常数项为，则正数__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】的展开式的通项为，令，得，即，解得.‎ ‎15．已知直线与曲线相切，则实数的值是______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设切点坐标为，∵，∴，又∵直线与曲线相切，∴，解得，∴，将切点代入到直线可得，故答案为2.‎ 点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的重要性，主要利用：1、切点处的导数即为斜率；2、切点坐标满足曲线方程；3、切点坐标满足切线方程.‎ ‎16．在四面体中， 与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：作出二面角的平面角，只要取CD中点E，连接AE，BE，可证∠AEB是二面角A－CD－B的平面角，从而为60°，于是是等边三角形，且平面ABE与平面ACD和面BCD垂直，只要取AE，BE的三等分点M、N（靠近E点的），过M，N分别作AE，BE的垂线，其交点O就是外接球球心，由此可计算出面积．‎ 详解：如图，E是CD中点，则CD⊥AE，CD⊥BE，∴∠AEB是二面角A－CD－B的平面角，∴∠AEB＝60°，分别在BE、AE上同，且，即M，N分别是的中心，在平面内作OM⊥BE，ON⊥AE，OM、ON交于点O，则O是ABCD外接圆圆心.由已知，，‎ ‎， ，∴，‎ 故答案为.‎ 点睛：四面体外接问题，关键是找到球心，球心一般在过一个面的外心与此面垂直的直线上，因此可过两个面的外心作相应面的垂线，交点即为外接球球心，如果图中有直角三角形，直角三角形的性质也是常用到的寻找球心的方法.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线的参数方程为 为参数和圆的极坐标方程为 ‎（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）判断直线和圆的位置关系．‎ ‎【答案】（1），（2）相交.‎ ‎【解析】（1）利用加减消参法得到直线l的普通方程，利用极坐标转化直角坐标公式的结论转化圆C的方程；（2）利用圆心到直线的距离与半径的比较判断直线与圆的位置关系。‎ ‎（1）消去参数，得直线的普通方程为；圆极坐标方程化为．两边同乘以得，消去参数，得⊙的直角坐标方程为：……………… 4分 ‎（2）圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交．‎ ‎18．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为 ‎（为参数）.以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.‎ ‎（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线的两个交点为，求的值.‎ ‎【答案】(1) 线的普通方程为 ;(2)6.‎ ‎【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式，易得P点的直角坐标，消去参数可得曲线C的普通方程为；（2）本问考查直线参数方程标准形式下t的几何意义，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，根据几何意义有，于是可以求出的值.‎ 试题解析：(1)由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标，‎ 所以，消去参数的曲线的普通方程为：.‎ ‎(2)点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：‎ ‎，设其两个根为，，所以：，，‎ 由参数的几何意义知：.‎ ‎19．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩均分布在范围内，规定分数在80以上（含80）的同学获奖，按文理科采取分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图.‎ 文科生 理科生 合计 获奖 ‎5‎ 不获奖 合计 ‎50‎ ‎200‎ ‎(1)填写上面的列联表，并判断能否有95%以上的把握认为“获奖与学生的文理科有关”；‎ ‎(2)将上述调查所得的频率视为概率. 现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为,求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1) 有95%以上的把握认为“获奖与学生的文理科有关;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）不获奖的文科生是50－5＝45人，利用文科生与理科生比例为1：3可得理科生人数，从而易填出列联表；‎ ‎（2）从频率分布直方图知抽到获奖学生的概率为，变量可取且 由二项分布知识可得分布列和期望.‎ 详解： (Ⅰ)列联表如下：‎ 由表中数据可得： ‎ 所以有95%以上的把握认为“获奖与学生的文理科有关” ‎ ‎（Ⅱ）由表中数据可知，抽到获奖学生的概率为 将频率视为概率，所以可取且 ‎ 期望.‎ 点睛：从大量学生（200名）中任取的人，“获奖”学生人数适合二项分布，利用分布直方图计算出取1人的概率，再利用二项分布知识可得分布列和期望.‎ ‎20．某中学准备在开学时举行一次高三年级优秀学生座谈会，拟请20名来自本校高三(1)(2)(3)(4)班的学生参加，各班邀请的学生数如下表所示；‎ 班级 高三（1）‎ 高三（2）‎ 高三（3）‎ 高三（4）‎ 人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎(1)从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一班级的概率；‎ ‎(2)从这20名学生中随机选出3 名学生发言，设来自高三（3）的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）从名学生随机选出名的方法数为, 选出人中任意两个均不属于同一班级的方法数，利用古典概型及其概率公式，即可求解．‎ ‎(2)由可能的取值为，求得随机变量每个值对应的概率，列出分布列，利用公式求解数学期望．‎ 试题解析：‎ ‎（1）从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为, 选出 3 人中任意两个均不属于同一班级的方法数为 设 3 名学生中任意两个均不属于同一班级的事件为 所以 ‎(2)可能的取值为 0,1,2,3‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎21．已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,短轴长为,离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）设是椭圆长轴上的一个动点,过点作斜率为的直线交椭圆于两点.‎ 求证: 为定值.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由短轴长和离心率可得的值，故而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设，由直线的斜率，可得直线的方程，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明.‎ 试题解析：（Ⅰ）依题意知 由得,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为,,则 由消去知：‎ 则，而 所以 ‎ 为定值.‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题；“设而不求，整体代换”是重中之重，计算量偏大.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（）若，求曲线在点处的切线方程．‎ ‎（）求函数的单调区间．‎ ‎（）设函数，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 切线方程为;(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）时，求出导数，求出切线斜率，从而得切线方程，整理成一般式即可；‎ ‎（2）求出导函数，由得或，按与1的大小分类讨论可得的单调区间；‎ ‎（3）恒成立可转化为，即，从而只要求得的最大值即可，利用导数即可得出.‎ 详解：（）∵，，‎ ‎，，‎ ‎∴在处切线方程为.‎ ‎（）∵，‎ 令，即，解得或．‎ ‎①当时（即时），‎ 由得或，由得，‎ ‎∴的增区间为， ，减区间为，‎ ‎②当（即时），‎ 由得或，由得，‎ ‎∴增区间为， ，减区间为．‎ ‎③当，即时，在上恒成立，‎ ‎∴的增区间为无减区间．‎ 综上， 时， 增区间为， ，减区间为，‎ 时， 增区间为， ，减区间为，‎ 时， 增区间为，无减区间．（8分）‎ ‎（）∵，有恒成立，则，即，‎ 令，当时，， ，‎ ‎∵当时， ，所以在上单调递增，‎ ‎∴．∴，∴．‎ 点睛：（1）函数的图象在处的切线方程为；‎ ‎（2）对可导函数，的解区间是的增区间，的解区间是的减区间；‎ ‎（3）利用导数处理不等式恒成立问题，一般转化为求函数的最值问题，其中分离参数法是重要的思想方法．‎