高二数学人教a必修5章末检测：第一章解三角形word版含解析
章末检测
一、选择题
1．在△ABC 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，若 A＋C＝2B，有 a＝1，b＝ 3，
则 S△ABC 等于( )
A. 2 B. 3 C. 3
2 D．2
答案 C
解析 由 A＋C＝2B，解得 B＝π
3.由余弦定理得( 3)2＝1＋c2－2ccos π
3
，解得 c＝2 或 c＝－1(舍
去)．于是，S△ABC＝1
2acsin B＝1
2
×1×2sin π
3
＝ 3
2 .
2．在△ABC 中，sin A＝3
4
，a＝10，则边长 c 的取值范围是( )
A.
15
2
，＋∞
B．(10，＋∞) C．(0,10) D. 0，40
3
答案 D
解析 ∵ c
sin C
＝ a
sin A
＝40
3
，∴c＝40
3 sin C．∴0
0)，
∵ a＋b>c
a＋c>b
即 m2k＋1>2mk
3mk>mk＋1
，∴k>1
2.
6．△ABC 的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为1
3
，则其外接圆的半径为( )
A.9 2
2 B.9 2
4 C.9 2
8 D．9 2
答案 C
解析 设另一条边为 x，则 x2＝22＋32－2×2×3×1
3
，
∴x2＝9，∴x＝3.设 cos θ＝1
3
，则 sin θ＝2 2
3 .
∴2R＝ 3
sin θ
＝ 3
2 2
3
＝9 2
4
，R＝9 2
8 .
7．在△ABC 中，sin A＝sin C，则△ABC 是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
答案 B
解析 ∵sin A＝sin C 且 A、C 是三角形内角，
∴A＝C 或 A＋C＝π(舍去)．
∴△ABC 是等腰三角形．
8．在锐角△ABC 中，BC＝1，∠B＝2∠A，则 AC 的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[0,2] C．(0,2] D．( 2， 3)
答案 D
解析 由题意得
0＜π－3∠A＜π
2
，
0＜2∠A＜π
2
⇒π
6
＜∠A＜π
4
，
由正弦定理 AC
sin B
＝ BC
sin A
得 AC＝2cos A.
∵∠A∈
π
6
，π
4 ，∴AC∈( 2， 3)．
9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
答案 D
解析 A 中，因 a
sin A
＝ b
sin B
，
所以 sin B＝16×sin 30°
8
＝1，∴B＝90°，即只有一解；
B 中，sin C＝20sin 60°
18
＝5 3
9
，且 c>b，
∴C>B，故有两解；
C 中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝ a2－c2＝ 25－4＝ 21，即有解；
故 A、B、C 都不正确．用排除法应选 D.
10．在△ABC 中，AB＝7，AC＝6，M 是 BC 的中点，AM＝4，则 BC 等于( )
A. 21 B. 106 C. 69 D. 154
答案 B
解析 设 BC＝a，则 BM＝MC＝a
2.
在△ABM 中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB，
即 72＝1
4a2＋42－2×a
2
×4·cos∠AMB①
在△ACM 中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC
即 62＝42＋1
4a2＋2×4×a
2·cos∠AMB②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋1
2a2，∴a＝ 106.
二、填空题
11．已知△ABC 中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则 cos C 的大小是________．
答案 1
3
解析 由 3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得 c2＝a2＋b2－2
3ab.
根据余弦定理，得 cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝a2＋b2－a2－b2＋2
3ab
2ab
＝1
3
，所以 cos C＝1
3.
12．在△ABC 中，若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角 C＝________.
答案 2π
3
解析 由已知 3sin A＝5sin B，利用正弦定理可得 3a＝5b.
由 3a＝5b，b＋c＝2a，利用余弦定理得 cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝－1
2.C∈(0，π)，C＝2
3π.
13．在△ABC 中，已知 cos A＝3
5
，cos B＝ 5
13
，b＝3，则 c＝________.
答案 14
5
解析 在△ABC 中，∵cos A＝3
5>0，∴sin A＝4
5.
∵cos B＝ 5
13>0，∴sin B＝12
13.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝4
5
× 5
13
＋3
5
×12
13
＝56
65.
由正弦定理知 b
sin B
＝ c
sin C
，∴c＝bsin C
sin B
＝
3×56
65
12
13
＝14
5 .
14．太湖中有一小岛 C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路 A 处测得小岛在公
路的南偏西 15°的方向上，汽车行驶 1 km 到达 B 处后，又测得小岛在南偏西 75°的方向上，
则小岛到公路的距离是________ km.
答案 3
6
解析 如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，
AB＝1 (km)．
由正弦定理得
BC
sin∠CAB
＝ AB
sin∠ACB
，
∴BC＝ 1
sin 60°·sin 15°＝ 6－ 2
2 3
(km)．
设 C 到直线 AB 的距离为 d，
则 d＝BC·sin 75°＝ 6－ 2
2 3
· 6＋ 2
4
＝ 3
6 (km)．
三、解答题
15．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos B＝3
5.
(1)若 b＝4，求 sin A 的值；
(2)若△ABC 的面积 S△ABC＝4，求 b，c 的值．
解 (1)∵cos B＝3
5>0，且 0
查看更多
