【数学】2019届一轮复习北师大版 直线与圆 学案

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专题五 解析几何 第一讲 直线与圆 高考导航 ‎1. 求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离问题．‎ ‎2．结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；直线与圆、圆与圆的位置关系问题，其中含参数问题为命题热点.‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )‎ A．－ B．－ C. D．2‎ ‎[解析] 由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得a＝－，故选A.‎ ‎[答案] A ‎2．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ ‎[解析] 由题意知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.‎ ‎∵圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切，∴＝1，化简得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.‎ ‎[答案] D ‎3．(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2 ‎，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 ‎[解析] 由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝.两圆半径之差为1，故两圆相交．‎ ‎[答案] B ‎4．(2017·湖北孝感五校4月联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )‎ A．(－2,4) B．(－2，－4)‎ C．(2,4) D．(2，－4)‎ ‎[解析] 设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得 ‎∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，‎ 即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得解得则C(2,4)．故选C.‎ ‎[答案] C ‎5．(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____________________________________________________．‎ ‎[解析] 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ ‎[答案] (x－2)2＋y2＝9‎ 考点一 直线的方程 ‎1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2‎ ‎＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．‎ ‎2．两个距离公式 ‎(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.‎ ‎(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.‎ ‎[对点训练] ‎ ‎1．(2017·东北三校联考)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )‎ A．2x＋y－12＝0‎ B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0‎ C．x－2y－1＝0‎ D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0‎ ‎[解析] 当直线过原点时，由题意可得直线方程为2x－5y＝0；当直线不经过原点时，可设出其截距式为＋＝1，再由过点(5,2)即可解出2x＋y－12＝0，故选B.‎ ‎[答案] B ‎2．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三测试)设a∈R，则“a＝‎4”‎是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析] ∵当a≠0时，＝＝⇒直线l1与直线l2重合，∴无论a取何值，直线l1与直线l2均不可能平行，当a＝4时，l1与l2重合．故选D.‎ ‎[答案] D ‎3．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为__________________________________．‎ ‎[解析] 由得所以直线l1与l2的交点为(1,2)．显然直线x＝1不符合．设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0,4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.‎ ‎[答案] y＝2或4x－3y＋2＝0‎ ‎4．(2017·安徽亳州一模)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0，若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是__________________．‎ ‎[解析] 因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1‎ 的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(a，b)，则解得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为＝，即x－2y－1＝0.‎ ‎[答案] x－2y－1＝0‎ ‎ 求直线方程的两种方法 ‎(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果．‎ ‎(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数．‎ 考点二 圆的方程 ‎1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－‎4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎1．(2017·南昌检测)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )‎ A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0‎ C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0‎ ‎[解析] 根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0，故选B.‎ ‎[答案] B ‎2．(2017·西安统考)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________________．‎ ‎[解析] 设点(1,0)关于y＝x的对称点为(x0，y0)，则 解得所以圆C的圆心为(0,1)．又因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎[答案] x2＋(y－1)2＝1‎ ‎3．已知圆C过定点A(0，a)(a>0)，且被x轴截得的弦MN的长为‎2a，若∠MAN ‎＝45°，则圆C的方程为__________________．‎ ‎[解析] 设圆C的圆心坐标为(x，y)，依题意，圆C的半径r＝，又圆C被x轴截得的弦MN的长为‎2a，所以|y|2＋a2＝r2，即y2＋a2＝x2＋(y－a)2，化简得x2＝2ay.因为∠MAN＝45°，所以∠MCN＝90°，从而y＝a，x＝±a，圆的半径r＝＝a，所以圆C的方程为(x＋a)2＋(y－a)2＝‎2a2或(x－a)2＋(y－a)2＝‎2a2.‎ ‎[答案] (x＋a)2＋(y－a)2＝‎2a2或(x－a)2＋(y－a)2＝‎2a2‎ ‎ 求圆的方程的两种方法 ‎(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．‎ ‎(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．‎ 考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎ 判断直线与圆的位置关系的方法 ‎(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．‎ ‎(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr⇔相离．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎1．圆x2＋y2＋4x＝0与圆x2＋y2－8y＝0的公共弦长为( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 解法一：联立得得x＋2y＝0，将x＋2y＝0代入x2＋y2＋4x＝0，得5y2－8y＝0，解得y1＝0，y2＝，故两圆的交点坐标是(0,0)，，则所求弦长为 ＝，选C.‎ 解法二：联立得得x＋2y＝0，将x2＋y2＋4x＝0化为标准方程得(x＋2)2＋y2＝4，圆心为(－2,0)，半径为2，圆心(－2,0)到直线x＋2y＝0的距离d＝＝，则所求弦长为2 ＝，选C.‎ ‎[答案] C ‎2．(2017·洛阳统考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝‎1”‎是“|AB|＝”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析] 依题意，注意到|AB|＝＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于，即有＝，k＝±1.因此，“k＝‎1”‎是“|AB|＝”的充分不必要条件，选A.‎ ‎[答案] A ‎3．(2017·重庆永川中学月考)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝30°，则x0的取值范围是( )‎ A．[－，] B. C．[－2,2] D. ‎[解析] 易知M(x0,1)在直线y＝1上，设圆x2＋y2＝1与直线y＝1的交点为T，显然假设存在点N，使得∠OMN＝30°，则必有∠OMN≤∠OMT，‎ 所以要使圆上存在点N，使得∠OMN＝30°，‎ 只需∠OMT≥30°，因为T(0,1)，所以只需在Rt△OMT中，‎ tan∠OMT＝＝≥tan30°＝，‎ 解得－≤x0≤，且x0≠0，当x0＝0时，‎ 显然满足题意，故x0∈[－，]．故答案选A.‎ ‎[答案] A ‎4．(2017·新疆维吾尔自治区第二次适应性检测)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m－n的最大值是________．‎ ‎[解析] 依题意得，圆心(0,0)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距离等于圆的半径1，于是有＝1，即(m＋1)2＋(n＋1)2＝4，设m＋1＝2cosθ，n＋1＝2sinθ，则m－n＝(m＋1)－(n＋1)＝2cosθ－2sinθ＝2cos≤2，当且仅当cos＝1时取等号，因此m－n的最大值是2.‎ ‎[答案] 2 ‎ 直线(圆)与圆的位置关系的解题思路 ‎(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．‎ ‎(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式．‎ ‎(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．‎ ‎【特别提醒】 (1)经过圆C：x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.‎ ‎(2)相交两圆的方程对应相减，得两圆公共弦所在直线方程．‎ 热点课题17 与圆有关的最值问题 ‎ [感悟体验]‎ ‎1．(2017·厦门模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) ‎ A．5－4 B.－1 C．6－2 D. ‎[解析] 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则 ‎(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′‎1C2|＝5，所以(|PM|＋‎ ‎|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.故选A.‎ ‎[答案] A ‎2．(2017·宁夏银川一中检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________________．‎ ‎[解析] 验证得M(1,2)在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，又圆心为(3,4)，则kCM＝＝1，则kl＝－1，故直线l的方程为y－2＝－(x－1)，整理得x＋y－3＝0.‎ ‎[答案] x＋y－3＝0‎