高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第4节-基础达标
第二章 第四节
一、选择题
1．(文)函数 y＝x
1
3 的图像是( )
[答案] B
[解析] 本题考查幂函数图像．
当 x>1 时 x
1
3
x，排除 A．
(理)如图所示函数图像中，表示 y＝x
2
3 的是( )
[答案] D
[解析] 因为2
3
∈(0,1)，所以 y＝x
2
3 的图像在第一象限图像上凸，又函数 y＝x
2
3 是偶函
数，故图像应为 D．
2．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 满足 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中
的( )
[答案] A
[解析] ∵a>b>c 且 a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0，b2－4ac>0，
∴图像开口向上，与 y 轴的截距为负，且过(1,0)点．
3．(文)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)>f(3)
B．f(3)>f(2)
C．f(3)＝f(2)
D．f(3)与 f(2)的大小关系不确定
[答案] C
[解析] 因为 f(x)满足 f(4)＝f(1)，所以二次函数对称轴为 x＝4＋1
2
＝5
2
，又 3－5
2
＝5
2
－2，
即 x＝3 与 x＝2 离对称轴的距离相等，所以 f(3)＝f(2)．
(理)若 f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则 f(m＋1)的值为( )
A．正数 B．负数
C．非负数 D．与 m 有关
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x2－x＋a 的对称轴为 x＝1
2
，
而－m，m＋1 关于 x＝1
2
对称，
∴f(m＋1)＝f(－m)<0，故选 B．
4．已知某二次函数的图像与函数 y＝2x2 的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点
为(－1,3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
[答案] D
[解析] 设所求函数的解析式为 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知 a＝－2，h＝1，k＝
3，故 y＝－2(x＋1)2＋3.
5．幂函数 f(x)＝xα(α是有理数)的图像过点(2，1
4)，则 f(x)的一个递减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，0)
[答案] B
[解析] ∵图像过(2，1
4)，则1
4
＝2α，
∴α＝－2，∴f(x)＝x－2.
由 y＝x－2 图像可知 f(x)的减区间是(0，＋∞)．
6．若 f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则 m
的取值范围是( )
A．(－1
2
，1
4) B．(－1
4
，1
2)
C．(1
4
，1
2) D．[1
4
，1
2]
[答案] C
[解析] 由题意，得 f－1·f0<0，
f1·f2<0，
解得1
40 时，二次函数开口向上，
当 x＝3 时，f(x)有最大值，
f(3)＝k·32－2k×3＝3k＝3⇒k＝1；
(2)当 k<0 时，二次函数开口向下，
当 x＝1 时，f(x)有最大值，f(1)＝k－2k＝－k＝3⇒k＝－3.
故 k 的取值集合为{1，－3}．
4．(文)(2015·盐城模拟)给出封闭函数的定义：若对于定义域 D 内的任意一个自变量 x0，
都有函数值 f(x0)∈D，则称函数 y＝f(x)在 D 上封闭．若定义域 D＝(0,1)，则函数①f1(x)＝3x
－1；②f2(x)＝－1
2x2－1
2x＋1；③f3(x)＝1－x；④f4(x)＝x1
2
，其中在 D 上封闭的是________．(填
序号即可)
[答案] ②③④
[解析] ∵f1(1
3)＝0∉(0,1)，∴f1(x)在 D 上不封闭，经验证②③④均满足条件．
(理)方程 x2－mx＋1＝0 的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数 m 的取值范围是________．
[答案] (2，5
2)
[解析] ∵ α＋β＝m，
α·β＝1，
∴m＝β＋1
β
，
∵β∈(1,2)且函数 m＝β＋1
β
在(1,2)上是增加的，
∴1＋10 时，f(x)在[2,3]上为增加的，
故 f3＝5，
f2＝2
⇒ 9a－6a＋2＋b＝5，
4a－4a＋2＋b＝2
⇒ a＝1，
b＝0，
当 a<0 时，f(x)在[2,3]上为减少的，
故 f3＝2
f2＝5
⇒ 9a－6a＋2＋b＝2
4a－4a＋2＋b＝5
⇒ a＝－1，
b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即 f(x)＝x2－2x＋2，
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，
∴2＋m
2
≤2 或m＋2
2
≥4，∴m≤2 或 m≥6.6.(文)是否存在实数 a，使函数 f(x)＝x2－2ax
＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求 a 的值；若不存在，说明理由．
[解析] f(x)＝(x－a)2＋a－a2.
当 a<－1 时，f(x)在[－1,1]上为增函数，
∴ f－1＝1＋3a＝－2，
f1＝1－a＝2
⇒a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0 时， fa＝a－a2＝－2，
f1＝1－a＝2
⇒a＝－1；
当 01 时，f(x)在[－1,1]上为减函数，
∴ f－1＝1＋3a＝2，
f1＝1－a＝－2
⇒a 不存在．
综上可得，存在这样的实数 a，且 a＝－1.
(理)(创新题)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)>－2x 的解集为(1,3)．
(1)若方程 f(x)＋6a＝0 有两个相等的根，求 f(x)的解析式；
(2)若 f(x)的最大值为正数，求实数 a 的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)＋2x>0 的解集为(1,3)，
∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且 a<0，
即 f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3A． ①
由 f(x)＋6a＝0，得
ax2－(2＋4a)＋9a＝0. ②
∵方程②有两个相等的根，
∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
即 5a2－4a－1＝0，解得 a＝1 或 a＝－1
5.
由于 a<0，故舍去 a＝1，将 a＝－1
5
代入①，
得 f(x)＝－1
5x2－6
5x－3
5.
(2)f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a
＝a x－1＋2a
a 2－a2＋4a＋1
a
.
由 a<0，可得 f(x)的最大值为－a2＋4a＋1
a
>0，
由
－a2＋4a＋1
a
>0，
a<0，
解得 a<－2－ 3或－2＋ 3
查看更多
