【数学】山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期中考试试题（解析版）

【数学】山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期中考试试题（解析版）

山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题 ‎1.设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】复数，对应的点坐标为，在第一象限.‎ 故选：A.‎ ‎2.若向量，，与共线，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】向量，，‎ ‎，，‎ 又与共线，，解得.‎ 故选：B.‎ ‎3.已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，直观图的底边长度为原图形的底边长，高为原图形的高的一半乘以，故其直观图面积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积，熟记作图原则是关键，属于基础题.‎ ‎4.在中，，，，则此三角形（ ）‎ A. 无解 B. 两解 ‎ C. 一解 D. 解的个数不确定 ‎【答案】B ‎【解析】∵在中，，，，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ 又∵，‎ ‎∴此三角形有两解．‎ 故选：B.‎ ‎5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得圆柱的底面圆的半径为，‎ 所以圆柱的侧面积为.‎ 故选：D.‎ ‎6.在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：C ‎7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（ ）‎ A. 17斛 B. 25斛 C. 41斛 D. 58斛 ‎【答案】C ‎【解析】设圆锥的底面半径为，则，解得，‎ 故米堆的体积为，‎ 斛米的体积约为1.62立方尺，‎ ‎，故选：C．‎ ‎8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知，，，，，则的长为（ ）‎ A. B. ‎5 ‎C. D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】在中，由正弦定理可得，即 所以，又因为，所以 在中，由余弦定理可得 即 所以 故选：A 二、多项选项题 ‎9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若复数（i为虚数单位），则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 ‎【答案】AD ‎【解析】对于A：，，，所以 ‎，故A正确；‎ 对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误；‎ 复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误；‎ 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；‎ 故选：AD ‎10.下列叙述错误的是（ ）‎ A. 已知直线和平面，若点，点且，，则 B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C. 若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交 D. 若直线和不平行，且，，，则l至少与，中的一条相交 ‎【答案】BC ‎【解析】由公理一，可知A正确；‎ 若三条直线相交于一点，则三条直线不能唯一确定一个平面，故B错误；‎ 若直线不平行于平面，且，则与平面相交，设交点为，则平面中所有过点的直线均与直线相交，故C错误；‎ 若直线和不平行，且，，，‎ 所以直线和异面 与共面，与共面，‎ 可以与平行或相交，可以与平行或相交，‎ 但是一定不能同时平行，若两条直线与同时平行，‎ 则和平行，与两条直线是异面直线矛盾，‎ 至少与和中的一条相交，故D正确；‎ 故选：BC．‎ ‎11.下列结论正确的是（ ）‎ A. 在中，若，则 B. 在锐角三角形中，不等式恒成立 C. 在中，若，，则为等腰直角三角形 D. 在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为 ‎【答案】ABC ‎【解析】对选项A，在中，由，‎ 故A正确.‎ 对选项B，若，则，‎ 又因为，所以为锐角，符合为锐角三角形，故B正确.‎ 对选项C，，整理得：.‎ 因为，所以，即.‎ 所以，即，‎ ‎，‎ 即，又，所以.‎ 故，则为等腰直角三角形，故C正确.‎ 对选项D，，解得 ‎，‎ 所以.‎ 又因为，，故D错误.‎ 故选：ABC ‎12.在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. 若，则是在的投影向量 D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为 ‎【答案】BCD ‎【解析】如图所示：‎ 对选项A，，故A错误.‎ 对选项B，‎ ‎，故B正确.‎ 对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，‎ 由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.‎ 因为，所以为的平分线，‎ 又因为为的中线，所以，如图所示：‎ 在的投影为，‎ 所以是在的投影向量，故选项C正确.‎ 对选项D，如图所示：‎ 因为在上，即三点共线，‎ 设，.‎ 又因为，所以.‎ 因为，则，.‎ 令，‎ 当时，取得最大值为.故选项D正确.‎ 故选：BCD 三、填空题 ‎13.已知复数（i为虚数单位），则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，.‎ 故答案为：‎ ‎14.已知向量夹角为，，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为向量夹角为，，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎，由可得，‎ 又，，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎16.已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为______，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】由题意，三棱锥如图所示：‎ 取的中点，连接、，‎ 由正三角形的性质可得的中心在线段上，且，‎ 连接，则即为该三棱锥的高，即， ‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以三棱锥的表面积；‎ 所以该三棱锥的体积,‎ 当球与三棱锥内切时，体积最大，‎ 设三棱锥的内切球的半径为，‎ 则，解得，‎ 则.‎ 故答案为：；.‎ 四、解答题 ‎17.如图，正方体中，E，F分别为，中点.‎ ‎（1）求证：E，F，B，D四点共面；‎ ‎（2）若，，与平面交于点R，求证：P，Q，R三点共线.‎ 解:（1）证明：连接，如图：‎ 在正方体中，分别为的中点，‎ 是的中位线，，‎ 又因为，，‎ 四点共面；‎ ‎（2）证明：在正方体中，，，‎ 是平面与平面的交线，‎ 又因为交平面于点，‎ 是平面与平面的一个公共点.‎ 两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，‎ 三点共线.‎ ‎18.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积 解：（1）因为为纯虚数，‎ 所以，即，‎ 解得，‎ 此时，由韦达定理得，‎ ‎.‎ ‎（2）复数满足，即，‎ 不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，‎ 不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，‎ 所以所求点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界.‎ ‎.‎ ‎19.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若，，求a.‎ 解：（1）因为，‎ 所以，‎ 因为，所以；‎ ‎（2）因为，‎ 由正弦定理可得，‎ 故，‎ ‎ ‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 由正弦定理可得，.‎ ‎20.如图，在三棱锥中，是高，，，.‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求三棱锥的表面积.‎ 解：（1）因为是高，，，，‎ 所以；‎ ‎（2）因为是高，平面，平面，所以，同理，‎ ‎，，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 等腰三角形，，，‎ 所以，‎ 所以三棱锥的表面积为.‎ ‎21.如图，四边形中，.‎ ‎（1）用表示；‎ ‎（2）若，点在上，，点在上，，，求.‎ 解:（1）因为，‎ 所以；‎ ‎（2）由已知：，，得：，，‎ 在中，，，∴，，‎ 在中，，，∴，，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，，‎ 在中，，，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴.‎ ‎22.如图，在平面四边形中，，，.‎ ‎（1）若，，求的长；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ 解:（1）在中，.‎ 在中，，所以，‎ 所以.‎ 在中，由余弦定理得，‎ 所以.‎ ‎（2）设，则，，‎ 在中，由正弦定理得，‎ 化简得，‎ 代入，得，‎ 又为锐角，所以，即.‎