【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理与余弦定理课时作业

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【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理与余弦定理课时作业

‎1.(2019·兰州市实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b2=ac,c=2a,则cos C=(  )‎ A.   B.- C. D.- 解析:选B.由题意得,b2=ac=2a2,b=a,所以cos C===-,故选B.‎ ‎2.(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=(  )‎ A.4 B. C. D.2 解析:选A.因为cos C=2cos2 -1=2×-1=-,所以由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=25+1-2×5×1×=32,所以AB=4,故选A.‎ ‎3.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,S△ABC=2,则b的值为(  )‎ A.6 B.3‎ C.2 D.2或3‎ 解析:选D.因为S△ABC=2=bcsin A,‎ 所以bc=6,又因为sin A=,所以cos A=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.‎ ‎4.(2019·安徽合肥模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为(  )‎ A.4π B.8π C.9π D.36π 解析:选C.已知bcos A+acos B=2,由正弦定理可得2Rsin Bcos A+2Rsin Acos B=2(R为△ABC的外接圆半径).利用两角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,则2Rsin C=2,因为cos C=,所以sin C=,所以R=3.故△ABC的外接圆面积为9π.故选C.‎ ‎5.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bsin A-acos B=0,且b2=ac,则的值为(  )‎ A. B. C.2 D.4‎ 解析:选C.在△ABC中,由bsin A-acos B=0,‎ 利用正弦定理得sin Bsin A-sin Acos B=0,‎ 所以tan B=,故B=.‎ 由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac,‎ 即b2=(a+c)2-3ac,‎ 又b2=ac,所以4b2=(a+c)2,求得=2.‎ ‎6.在△ABC中,A=,b2sin C=4sin B,则△ABC的面积为________.‎ 解析:因为b2sin C=4sin B,‎ 所以b2c=4b,所以bc=4,‎ S△ABC=bcsin A=×4×=2.‎ 答案:2‎ ‎7.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=________.‎ 解析:由余弦定理:cos A===,‎ 所以sin A=,cos C===,‎ 所以sin C=,所以==1.‎ 答案:1‎ ‎8.(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.‎ 解析:由bsin C+csin B=4asin Bsin C得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,因为sin Bsin C≠0,所以sin A=.因为b2+c2-a2=8,cos A=,所以bc=,所以 S△ABC= bcsin A=××=.‎ 答案: ‎9.(2017·高考北京卷)在△ABC中,∠A=60°,c=a.‎ ‎(1)求sin C的值;‎ ‎(2)若a=7,求△ABC的面积.‎ 解:(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,‎ 所以由正弦定理得sin C==×=.‎ ‎(2)因为a=7,所以c=×7=3.‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,‎ 解得b=8或b=-5(舍).‎ 所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.‎ ‎10.(2019·贵州省适应性考试)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B=4,bsin A=3.‎ ‎(1)求tan B及边长a的值;‎ ‎(2)若△ABC的面积S=9,求△ABC的周长.‎ 解:(1)在△ABC中,acos B=4,bsin A=3,‎ 两式相除,有==tan B=,‎ 又acos B=4,所以cos B>0,则cos B=,故a=5.‎ ‎(2)由(1)知,sin B=,由S=acsin B=9,得c=6.‎ 由b2=a2+c2-2accos B=13,得b=.‎ 故△ABC的周长为11+.‎ ‎1.(2019·长沙市统一模拟考试)△ABC中,C=,AB=3,则△ABC的周长为(  )‎ A.6sin+3 B.6sin+3‎ C.2sin+3 D.2sin+3‎ 解析:选C.设△ABC的外接圆半径为R,则2R==2,于是BC=2Rsin A=2sin A,AC=2Rsin B=2sin,于是△ABC的周长为2[sin A+sin]+3=2sin+3.选C.‎ ‎2.(2019·安徽江南十校联考)设△ABC的面积为S1,它的外接圆面积为S2,若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C=3∶4∶5,则的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.在△ABC中,A+B+C=π,‎ 又A∶B∶C=3∶4∶5,所以A=,B=,C=π.‎ 由正弦定理===2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边,R为△ABC的外接圆半径)可得,a=·c,b=·c,R=.‎ 所以S1=absin C=···c2·sin C ‎=sin A·sin B·sin C·,‎ S2=πR2=·,‎ 所以===,故选D.‎ ‎3.如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC的长为________.‎ 解析:在△ABD中,设BD=x,则 BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,‎ 即142=x2+102-2·10x·cos 60°,‎ 整理得x2-10x-96=0,‎ 解得x1=16,x2=-6(舍去).‎ 在△BCD中,由正弦定理:=,所以BC=·sin 30°=8.‎ 答案:8 ‎4.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,=a,a=2.若b∈[1,3],则c的最小值为________.‎ 解析:由=a,得=sin C.由余弦定理可知cos C=,即3cos C=sin C,所以tan C=,故cos C=,所以c2=b2-2b+12=(b-)2+9,因为b∈[1,3],所以当b=时,c取最小值3.‎ 答案:3‎ ‎5.(2019·洛阳市第一次统一考试)如图,平面四边形ABDC中,∠CAD=∠BAD=30°.‎ ‎(1)若∠ABC=75°,AB=10,且AC∥BD,求CD的长;‎ ‎(2)若BC=10,求AC+AB的取值范围.‎ 解:(1)由已知,易得∠ACB=45°,‎ 在△ABC中,=⇒BC=5.‎ 因为AC∥BD,所以∠ADB=∠CAD=30°,∠CBD=∠ACB=45°,‎ 在△ABD中,∠ADB=30°=∠BAD,所以DB=AB=10.‎ 在△BCD中,CD==5.‎ ‎(2)AC+AB>BC=10,‎ cos 60°=⇒(AB+AC)2-100=3AB·AC,‎ 而AB·AC≤,‎ 所以≤,‎ 解得AB+AC≤20,‎ 故AB+AC的取值范围为(10,20].‎ ‎6.已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,acsin A+4sin C=4csin A.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)圆O为△ABC的外接圆(O在△ABC内部),△OBC的面积为,b+c=4,判断△ABC的形状,并说明理由.‎ 解:(1)由正弦定理可知,sin A=,sin C=,‎ 则acsin A+4sin C=4csin A⇔a2c+4c=4ac,‎ 因为c≠0,所以a2c+4c=4ca⇔a2+4=4a⇔(a-2)2=0,可得a=2.‎ ‎(2)设BC的中点为D,则OD⊥BC,‎ 所以S△OBC=BC·OD.‎ 又因为S△OBC=,BC=2,‎ 所以OD=,‎ 在Rt△BOD中,tan∠BOD====,‎ 又0°<∠BOD<180°,所以∠BOD=60°,‎ 所以∠BOC=2∠BOD=120°,‎ 因为O在△ABC内部,‎ 所以∠A=∠BOC=60°,‎ 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A.‎ 所以4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又b+c=4,‎ 所以bc=4,所以b=c=2,‎ 所以△ABC为等边三角形.‎
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