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文档介绍
【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第7讲解三角形应用举例学案
第 7 讲 解三角形应用举例 考试要求 1.运用正弦定理、余弦定理解决简单的三角形度量问题(B 级要求)； 2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(B 级要求). 知 识 梳 理 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰 角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1). (2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方 位角为 α(如图 2). (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30°，北偏西 45° 等. (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)在△ABC 中，若 sin Asin B＜cos Acos B，则此三角形是钝角三角形.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π 2].( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关 系.( ) 解析 (2)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2.(教材改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A，B(如 图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线 BC，测得 BC＝50 m，∠ABC ＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出 A，B 两点的距离为________m. 解 析 在 △ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 得 BC sin 30° ＝ AB sin 45° ， 所 以 AB ＝BCsin 45° sin 30° ＝ 50 × 2 2 1 2 ＝50 2(m). 答案 50 2 3.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都是 5 n mile，灯塔 A 在观察站 C 的北 偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为________ n mile. 解析 由题意知 AC＝BC＝5，则∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，则由余弦定理 得 AB＝ AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝ 25＋25＋2 × 5 × 5 × 1 2 ＝ 75＝5 3. 答案 5 3 4.(2018·苏北四市联考)一艘海轮从 A 处出发以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯 塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两 点间的距离是________海里. 解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20 海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝ 45°，根据正弦定理得 BC sin 30° ＝ AB sin 45° ，解得 BC＝10 2(海里). 答案 10 2 5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山 顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75° 的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________ m. 解析 依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，在△ABC 中，由∠ABC＋∠BAC＋ ∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°，因为 AB＝600，由正弦定理可得 600 sin 45° ＝ BC sin 30° ，即 BC＝300 2 m， 在 Rt△BCD 中，因为∠CBD＝30°，BC＝300 2，所以 tan 30°＝CD BC ＝ CD 300 2 ，所以 CD＝100 6 m. 答案 100 6 考点一 测量距离、高度问题 【例 1】 如图，有一段河流，河的一侧是以 O 为圆心，半径为 10 3 m 的扇形区 域 OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸 l，岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的距 离)，且 OB 的连线恰好与河岸 l 垂直，设 OB 与圆弧的交点为 E.经测量，扇形区 域和河岸处于同一水平面，在点 C，点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 45°， 30°和 60°. (1)求烟囱 AB 的高度； (2)如果要在 CE 间修一条直线，求 CE 的长. 解 (1)设 AB 的高度为 h.在△CAB 中， 因为∠ACB＝45°，所以 CB＝h. 在△OAB 中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°， 所以 OB＝ 3h，EB＝ 3 3 h. 由题意得 3h－ 3h 3 ＝10 3，解得 h＝15. 故烟囱 AB 的高度为 15 m. (2)在△OBC 中，cos∠COB＝CO2＋OB2－BC2 2OC·OB ＝300＋225 × 3－225 2 × 10 3 × 15 3 ＝5 6. 所以在△OCE 中， CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600× 5 6 ＝100. 故 CE 的长为 10 m. 规律方法 测量距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念. (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知 则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 【训练 1】 (1)一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°，这时船与 灯塔的距离为________ km. (2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选 A，B 两点，从 A，B 两点分别测得 树尖的仰角为 30°，45°，且 A，B 两点间的距离为 60 m，则树的高度为________ m. 解析 (1)如图，由题意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， ∴B＝45°，AC＝60 km， 由正弦定理 BC sin 30° ＝ AC sin 45° ， ∴BC＝30 2 km. (2)在△PAB 中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60， sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝ 2 2 × 3 2 － 2 2 ×1 2 ＝ 6－ 2 4 ， 由正弦定理得 PB sin 30° ＝ AB sin 15° ， ∴PB＝ 1 2 × 60 6－ 2 4 ＝30( 6＋ 2)， ∴树的高度为 PB·sin 45°＝30( 6＋ 2)× 2 2 ＝(30＋30 3)(m). 答案 (1)30 2 (2)30＋30 3 考点二 测量角度问题 【例 2】 在海岸 A 处发现北偏东 45°方向距离 A 为( 3－1) n mile 的 B 处有一艘 走私船，在 A 处北偏西 75°的方向距离 A 为 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时，走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在 D 处相遇，则 可先在△ABC 中求出 BC，再在△BCD 中求∠BCD. 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，则有 CD＝10 3t，BD＝10t. 在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝( 3－1)2＋22－2·( 3－ 1)·2·cos 120°＝6，∴BC＝ 6. ∵cos∠CBA＝BC2＋AB2－AC2 2BC·AB ＝6＋（ 3－1）2－4 2 6·（ 3－1） ＝ 2 2 ， ∴∠CBA＝45°，即 B 在 C 正东. ∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理得 sin∠BCD＝BD·sin∠CBD CD ＝10tsin 120° 10 3t ＝1 2 ， ∴∠BCD＝30°. 即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船. 规律方法 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最 重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂” 使用. 【训练 2】 甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45°方向，距 A 有 9 海里的 B 处， 并以 20 海里每小时的速度沿南偏西 15°方向行驶，若甲船沿南偏东 θ 的方向，并 以 28 海里每小时的速度行驶，恰能在 C 处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并 求 sin θ 的值(结果保留根号，无需求近似值). 解 设用 t 小时，甲船追上乙船，且在 C 处相遇，那么在△ABC 中，AC＝28t，BC ＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°， 由余弦定理，得 (28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×(－1 2)， 128t2－60t－27＝0， 解得 t＝3 4 或 t＝－ 9 32(舍去)， 所以 AC＝21(海里)，BC＝15(海里)， 根据正弦定理，得 sin∠BAC＝BCsin∠ABC AC ＝5 3 14 ， cos∠BAC＝ 1－ 75 142 ＝11 14. 又∠ABC＝120°，∠BAC 为锐角， 所以 θ＝45°－∠BAC， sin θ＝sin(45°－∠BAC) ＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin∠BAC ＝11 2－5 6 28 . ∴经过3 4 小时追上乙船，且 sin θ 的值为11 2－5 6 28 . 考点三 函数思想在解三角形中的应用 角度 1 距离的最值 【例 3－1】 (2019·镇江模拟)如图，某公园有三条观光大道 AB，BC，AC 围 成直角三角形，其中直角边 BC＝200 m，斜边 AB＝400 m.现有甲、乙、丙三位小 朋友分别在 AB，BC，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点 D，E，F. (1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走，到大道的 另一端时即停，乙比甲迟 2 分钟出发，当乙出发 1 分钟后，求此时甲、乙两人之 间的距离； (2)设∠CEF＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的 2 倍，且∠DEF＝π 3 ，请 将甲、乙之间的距离 y 表示为 θ 的函数，并求甲、乙之间的最小距离 . 解 (1)依题意得 BD＝300，BE＝100， 在△ABC 中，cos B＝BC AB ＝1 2 ，∴B＝π 3 ， 在△BDE 中，由余弦定理得： DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos B＝300 2＋1002－2·300·100· 1 2 ＝70 000， ∴DE＝100 7. 所以甲、乙两人之间的距离为 100 7 m. (2)由题意得 EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ， 在直角三角形 CEF 中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycos θ， 在△BDE 中，由正弦定理得 BE sin∠BDE ＝ DE sin∠DBE ，即200－2ycos θ sin θ ＝ y sin 60° ， ∴y＝ 100 3 3cos θ＋sin θ ＝ 50 3 sin(θ＋π 3) ，0<θ<π 2 ， 所以当 θ＝π 6 时，y 有最小值 50 3. 所以甲、乙之间的最小距离为 50 3 m. 角度 2 面积的最值 【例 3－2】 (2019·苏州一模)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设 一条对角线在 l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料， 边 BC，CD 用一根 5 米长的材料弯折而成，边 BA，AD 用一根 9 米长的材料弯折 而成，要求 A 和 C 互补，且 AB＝BC. (1)设 AB＝x 米，cos A＝f(x)，求 f(x)的解析式，并指出 x 的取值范围； (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 解 (1)在△ABD 中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A. 在△CBD 中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C. 因为 A 和 C 互补，所以 AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝CB 2＋CD2－2CB·CD·cos C＝ CB2＋CD2＋2CB·CD·cos A， 即 x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cos A. 解得 cos A＝2 x ，即 f(x)＝2 x ，其中 x∈(2，5). (2)四边形 ABCD 的面积 S＝1 2(AB·AD＋CB·CD)sin A ＝1 2[x(9－x)＋x(5－x)] 1－cos2A ＝x(7－x) 1－(2 x )2 ＝ （x2－4）（7－x）2 ＝ （x2－4）（x2－14x＋49）. 记 g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5). 由 g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14) ＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0， 解得 x＝4(x＝7和x＝－1 2 舍去). 函数 g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减， 因此 g(x)的最大值为 g(4)＝12×9＝108. 所以 S 的最大值为 108＝6 3. 所以四边形 ABCD 面积的最大值为 6 3 m2. 角度 3 时间的最值 【例 3－3】 (2019·苏州高三调研)如图，B，C 分别是海岸线上的两个城市，两城 市间由笔直的海滨公路相连，B，C 之间的距离为 100 km，海岛 A 在城市 B 的正 东 方 50 km 处 . 从 海 岛 A 到 城 市 C ， 先 乘 船 按 北 偏 西 θ 角 (α < θ ≤ π 2 ，其中锐角α的正切值为1 2)航行到海滨公路 P 处登陆，再换乘汽车到城 市 C.已知船速为 25 km/h，车速为 75 km/h. (1)试建立由 A 经 P 到 C 所用时间与 θ 的函数解析式； (2)试确定登陆点 P 的位置，使所用时间最少，并说明理由. 解 (1)由题意，轮船航行的方向角为 θ. 所以∠BAP＝90°－θ，AB＝50， 则 AP＝ 50 cos（90°－θ）＝ 50 sin θ ， BP＝50tan(90°－θ)＝50sin（90°－θ） cos（90°－θ） ＝50cos θ sin θ ， PC＝BC－BP＝100－50cos θ sin θ . 由 A 到 P 所用的时间为 t1＝AP 25 ＝ 2 sin θ ， 由 P 到 C 所用的时间为 t2＝ 100－50cos θ sin θ 75 ＝4 3 －2cos θ 3sin θ. 所以由 A 经 P 到 C 所用时间与 θ 的函数解析式为 f(θ)＝t1＋t2＝ 2 sin θ ＋4 3 －2cos θ 3sin θ ＝6－2cos θ 3sin θ ＋4 3 函数 f(θ)的定义域为(α，π 2]，其中锐角 α 的正切值为1 2. (2)由(1)知 f(θ)＝6－2cos θ 3sin θ ＋4 3 ，θ∈(α，π 2]， 则 f′(θ)＝2（1－3cos θ） 3sin2θ ， 令 f′(θ)＝0，解得 cos θ＝1 3 ， 由 θ∈(α，π 2)，得 sin θ＝2 2 3 . 设 θ0∈(α，π 2)，使 cos θ0＝1 3 ，则 θ (α，θ0) θ0 (θ0，π 2) f′(θ) － 0 ＋ f(θ) 减函数 极小值 增函数 所以当 θ＝θ0 时函数 f(θ)取得最小值，此时 BP＝50cos θ0 sin θ0 ＝25 2 2 ≈17.68(km). 所以在 BC 上选择距离 B 为 17.68 km 处为登陆点，所用时间最少. 规律方法 解三角形应用问题的步骤与注意点： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关 系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的 要求等； (5)对于三角形应用问题中的最值问题.可建立函数模型，转化为函数的最值问题解 决. 【训练 3】 如图，半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上的一点，OA＝2，B 为 半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC.问：点 B 在什么位置时，四边 形 OACB 面积最大？ 解 设 ∠AOB ＝ α ， 在 △AOB 中 ， 由 余 弦 定 理 得 AB2 ＝ OA2 ＋ OB2 － 2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cos α＝5－4cos α， 于是，四边形 OACB 的面积为 S＝S△AOB＋S△ABC＝1 2OA·OBsin α＋ 3 4 AB2 ＝1 2 ×2×1×sin α＋ 3 4 (5－4cos α) ＝sin α－ 3cos α＋5 3 4 ＝2sin(α－π 3)＋5 3 4 . 因为 0<α<π，所以当 α－π 3 ＝π 2 ，α＝5π 6 ， 即∠AOB＝5π 6 时，四边形 OACB 面积最大. 一、必做题 1.已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得∠ABC ＝120°，则 A，C 两地间的距离为________km. 解析 如图所示，由余弦定理可得 AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， ∴AC＝10 7. 答案 10 7 2.如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40°， 灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西________. 解析 由条件及图可知 A＝∠CBA＝40°， 又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°， 因此灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 80°. 答案 80° 3.如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平 面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为________. 解析 依题意可得 AD＝20 10(m)，AC＝30 5(m)， 又 CD＝50(m)，所以在△ACD 中， 由余弦定理得 cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD2 2AC·AD ＝（30 5）2＋（20 10）2－502 2 × 30 5 × 20 10 ＝ 6 000 6 000 2 ＝ 2 2 ， 又 0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 答案 45° 4.张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上，15 min 后到点 B 处望见电视塔在 电动车的北偏东 75°方向上，则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是________ km. 解析 画出示意图如图，由条件知 AB＝24×15 60 ＝6 (km).在△ABS 中，∠BAS＝30°， AB＝6(km)，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知 BS sin 30° ＝ AB sin 45° ，所以 BS＝ABsin 30° sin 45° ＝3 2(km). 答案 3 2 5.如图，为测得河岸上塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东 方向上，测得点 A 的仰角为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置 D， 测得∠BDC＝45°，则塔 AB 的高是________ m. 解析 在△BCD 中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝ 30°， BC sin 45° ＝ CD sin 30° ，BC＝CDsin 45° sin 30° ＝10 2.在 Rt△ABC 中，tan 60°＝AB BC ，AB＝ BCtan 60°＝10 6. 答案 10 6 6.如图，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，某课外小组的同学在岸边选取 C， D 两点，测得 CD＝200 m，∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∠BCD＝120°，∠ACD ＝30°，则 A，B 两点间的距离是________. 解析 在△ACD 中，由正弦定理有 CD sin 45° ＝ AC sin 105° ，解得 AC＝100( 3＋1) m.在 △BCD 中，由正弦定理解得 BC＝100( 3－1)(m)，∠BCA＝∠BCD－∠ACD＝ 90°，所以在 Rt△ACB 中，AB＝200 2 (m). 答案 200 2 m 7.如图，在海中一孤岛 D 的周围有 2 个观察站 A，C，已知观察站 A 在岛 D 的正 北 5 n mile 处，观察站 C 在岛 D 的正西方.现在海面上有一船 B，在 A 点测得其在 南偏西 60°方向 4 n mile 处，在 C 点测得其在北偏西 30°方向上，则两观测点 A 与 C 的距离为________ n mile. 解析 如图，延长 AB 与 DC 交于 E 由题意可得∠E＝30°，∠ABC＝90°.在 Rt△ADE 中， AE＝ AD sin 30° ＝10(n mile)，所以 EB＝AE－AB＝6(n mile). 在 Rt△EBC 中，BC＝BE·tan 30°＝2 3(n mile)， 在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2＋BC2＝2 7(n mile). 答案 2 7 8.如图，CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在 CD 所在水平面上的山 体外取点 A，B，并测得四边形 ABCD 中，∠ABC＝π 3 ，∠BAD＝2 3π，AB＝BC＝400 米，AD＝250 米，则应开凿的隧道 CD 的长为________米. 解析 在△ABC 中，AB＝BC＝400 米，∠ABC＝π 3 ， ∴AC＝AB＝400 米，∠BAC＝π 3. ∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝2π 3 －π 3 ＝π 3. ∴在△CAD 中，由余弦定理得 CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD ＝4002＋2502－2·400·250·cos π 3 ＝122 500. ∴CD＝350 米. 答案 350 9.如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘 渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海 里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos θ 的值为________. 解析 在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20 7. 由正弦定理得 AB sin∠ACB ＝ BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB＝AB BC·sin∠BAC＝ 21 7 . 由∠BAC＝120°，知∠ACB 为锐角，则 cos∠ACB＝2 7 7 . 由 θ＝∠ACB＋30°，得 cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝ 21 14 . 答案 21 14 10.(2019·南京学情调研)如图，某水域的两直线型岸边 l1，l2 成定角 120°，在该水 域中位于该角角平分线上且与顶点 A 相距 1 公里的 D 处有一固定桩.现某渔民准 备经过该固定桩安装一直线型隔离网 BC(B，C 分别在 l1 和 l2 上)，围出三角形 ABC 养殖区，且 AB 和 AC 都不超过 5 公里.设 AB＝x 公里，AC＝y 公里. (1)将 y 表示成 x 的函数，并求其定义域； (2)该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？ 解 (1)由 S△ABD＋S△ACD＝S△ABC 得 1 2xsin 60°＋1 2ysin 60°＝1 2xysin 120°， 所以 x＋y＝xy，所以 y＝ x x－1 ， 又 0查看更多