2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章4．2 指数函数
4．2 指数函数
4．2.1 指数函数的概念
学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指
数衰减型在实际问题中的应用．
知识点一 指数函数的定义
一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R.
思考 为什么底数应满足 a>0 且 a≠1?
答案 ①当 a≤0 时，ax 可能无意义；②当 a>0 时，x 可以取任何实数；③当 a＝1 时，ax＝1
(x∈R)，无研究价值．因此规定 y＝ax 中 a>0，且 a≠1.
知识点二 两类指数模型
1．y＝kax(k>0)，当 a>1 时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0)，当 0
0)是指数函数．( × )
2．y＝ax＋2(a>0 且 a≠1)是指数函数．( × )
3．y＝
1
2 x 是指数衰减型函数模型．( √ )
4．若 f(x)＝ax 为指数函数，则 a>1.( × )
一、指数函数的概念
例 1 (1)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·( 2)x；②y＝2x－1；③y＝
π
2 x；④
1
3 ;xy
＝ ⑤
1
3 .y x＝
(2)若函数 y＝(a2－3a＋3)·ax 是指数函数，则实数 a＝________.
答案 (1)③ (2)2
解析 (1)①中指数式( 2)x 的系数不为 1，故不是指数函数；②中 y＝2x－1，指数位置不是 x，
故不是指数函数；④中指数不是 x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定
的值，故不是指数函数，故填③.
(2)由 y＝(a2－3a＋3)·ax 是指数函数，可得 a2－3a＋3＝1，
a>0 且 a≠1，
解得 a＝2.
反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求；
(2)ax 前的系数是否为 1；
(3)指数是否符合要求．
跟踪训练 1 (1)若函数 y＝a2(2－a)x 是指数函数，则( )
A．a＝1 或－1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a>0 且 a≠1
答案 C
解析 因为函数 y＝a2(2－a)x 是指数函数，
所以
a2＝1，
2－a>0，
2－a≠1，
解得 a＝－1.
(2)若函数 y＝(2a－3)x 是指数函数，则实数 a 的取值范围是________________．
答案
3
2
，2 ∪(2，＋∞)
解析 由题意知 2a－3>0，
2a－3≠1，
解得 a>3
2
且 a≠2.
二、求指数函数的解析式、函数值
例 2 (1)已知函数 f(x)是指数函数，且 f
－3
2 ＝ 5
25
，则 f(3)＝________.
答案 125
解析 设 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)，
由 f
－3
2 ＝ 5
25
得
1
3 32
2 2
2
5 5 5 ,25 5a
所以 a＝5，即 f(x)＝5x，所以 f(3)＝53＝125.
(2)已知函数 y＝f(x)，x∈R，且 f(0)＝3，f1
f0
＝1
2
，f2
f1
＝1
2
，…， fn
fn－1
＝1
2
，n∈N*，求函数 y
＝f(x)的一个解析式．
解 当 x 增加 1 时函数值都以1
2
的衰减率衰减，
∴函数 f(x)为指数衰减型，
令 f(x)＝k
1
2 x(k≠0)，
又 f(0)＝3，∴k＝3，
∴f(x)＝3·
1
2 x.
反思感悟 解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系
数法设出函数解析式，再代入已知条件求解．
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，且 a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则 f(－2)的值为
________．
答案 7
解析 由已知得 a－1＋b＝5，
a0＋b＝4，
解得
a＝1
2
，
b＝3，
所以 f(x)＝
1
2 x＋3，
所以 f(－2)＝
1
2 －2＋3＝4＋3＝7.
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
例 3 甲、乙两城市现有人口总数都为 100 万人，甲城市人口的年自然增长率为 1.2%，乙城
市每年增长人口 1.3 万．试解答下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式；
(2)计算 10 年、20 年、30 年后两城市的人口总数(精确到 0.1 万人)；
(3)对两城市人口增长情况作出分析．
参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.
解 (1)1 年后甲城市人口总数为
y 甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2 年后甲城市人口总数为
y 甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3 年后甲城市人口总数为
y 甲＝100×(1＋1.2%)3；
…；
x 年后甲城市人口总数为 y 甲＝100×(1＋1.2%)x.
x 年后乙城市人口总数为 y 乙＝100＋1.3x.
(2)10 年、20 年、30 年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.
10 年后 20 年后 30 年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113 126 139
(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人
口增长缓慢，呈线性增长．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．
反思感悟 解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时
间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．
(2)具体分析问题时，应严格计算并写出前 3～4 个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规
律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型
表示，通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．
跟踪训练 3 中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到 2020 年全面建成小康
社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建
成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的
基础上，到 2020 年国内生产总值和城乡居民人均收入比 2010 年翻一番，产业迈向中高端水
平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．
设从 2011 年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%.下面给出了依据“到 2020 年
城乡居民人均收入比 2010 年翻一番”列出的关于 p 的四个关系式：
①(1＋p%)×10＝2；
②(1＋p%)10＝2；
③10(1＋p%)＝2；
④1＋10×p%＝2.
其中正确的是( )
A．① B．② C．③ D．④
答案 B
解析 已知从 2011 年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%.
则由到 2020 年城乡居民人均收入比 2010 年翻一番，可得：(1＋p%)10＝2；
正确的关系式为②.
1．下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①中，3x 的系数是 2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1 的指数是 x＋1，不是自变量 x，故②不是指数函数；
③中，y＝3x，3x 的系数是 1，指数是自变量 x，且只有 3x 一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3 中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．
所以只有③是指数函数．故选 B.
2．若函数 y＝(m2－m－1)·mx 是指数函数，则 m 等于( )
A．－1 或 2 B．－1
C．2 D.1
2
答案 C
解析 依题意，有 m2－m－1＝1，
m>0 且 m≠1，
解得 m＝2(舍 m＝－1)，故选 C.
3．如表给出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为( )
x －2 －1 0 1 2 3
y 1
16
1
4 1 4 16 64
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．幂函数模型
答案 C
解析 观察数据可得 y＝4x.
4．某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，…，现有 2 个这样的细胞，分裂
x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的函数关系式是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
答案 D
解析 分裂一次后由 2 个变成 2×2＝22(个)，分裂两次后变成 4×2＝23(个)，…，分裂 x 次后
变成 y＝2x＋1(个)．
5．f(x)为指数函数，若 f(x)过点(－2,4)，则 f(f(－1))＝________.
答案 1
4
解析 设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，
所以 f(－2)＝4，a－2＝4，解得 a＝1
2
，
所以 f(x)＝
1
2 x，
所以 f(－1)＝
1
2 －1＝2，
所以 f(f(－1))＝f(2)＝
1
2 2＝1
4.
1．知识清单：
(1)指数函数的定义．
(2)指数增长型和指数衰减型函数模型．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：易忽视底数 a 的限制条件：a>0 且 a≠1.
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝
1
2 x－1；
②y＝ax(a>0，且 a≠1)；
③y＝1x；
④y＝
1
2 2x－1.
A．0 B．1 C．3 D．4
答案 B
解析 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．若函数 f(x)＝
1
2a－3 ·ax 是指数函数，则 f
1
2 的值为( )
A．2 B．－2 C．－2 2 D．2 2
答案 D
解析 因为函数 f(x)是指数函数，
所以 1
2a－3＝1，所以 a＝8，
所以 f(x)＝8x，f
1
2 ＝
1
28 ＝2 2.
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数 y＝kax(k∈R，a>0 且 a≠1)的模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不
计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为 1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么此人骑车的平均速度 v 与时间 t 的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
答案 B
解析 A 中的函数模型是二次函数；
B 中的函数模型是指数型函数；
C 中的函数模型是反比例函数；
D 中的函数模型是一次函数．故选 B.
4．据报道，某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按
此规律，设 2019 年的湖水量为 m，从 2019 年起，经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系为( )
A．y＝ 500.9
x
B．y＝(1－ 500.1
x
)m
C．y＝ 500.9
x
m
D．y＝(1－0.150x)m
答案 C
解析 方法一 设每年的衰减率为 q%，
则(q%)50＝0.9，
所以 q%＝
1
500.9 ，
所以 x 年后的湖水量 y＝ 500.9
x
m.
方法二 设每年的衰减率为 q%，
则(1－q%)50＝0.9，所以 q%＝1－
1
500.9 ，
所以 y＝m·[1－(1－
1
500.9 )]x＝ 500.9
x
m.
5．下列函数图象中，有可能表示指数函数的是( )
答案 C
解析 A 为一次函数；B 为反比例函数；D 为二次函数；选项 C 的图象呈指数衰减，是指数
衰减型函数模型，故选 C.
6．已知函数 f(x)＝ 2
ax－1
＋3(a>0 且 a≠1)，若 f(1)＝4，则 f(－1)＝________.
答案 0
解析 由 f(1)＝4 得 a＝3，把 x＝－1 代入 f(x)＝ 2
3x－1
＋3 得到 f(－1)＝0.
7．若函数 f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x 是指数函数，则 a＝________.
答案 1
解析 由指数函数的定义得
a2－2a＋2＝1，
a＋1>0，
a＋1≠1，
解得 a＝1.
8．已知某种放射性物质经过 100 年剩余质量是原来质量的 95.76%，设质量为 1 的这种物质，
经过 x 年后剩余质量为 y，则 x，y 之间的关系式是________．
答案 y＝ 1000.957 6
x
解析 设质量为 1 的物质 1 年后剩余质量为 a，
则 a100＝0.957 6.
所以 a＝
1
1000.957 6 ，
所以 y＝ax＝ 1000.957 6
x
.
9．已知函数 f(x)＝2x＋2ax＋b，且 f(1)＝5
2
，f(2)＝17
4 .求 a，b 的值．
解 由题意得
5
2
＝2＋2a＋b，
17
4
＝22＋22a＋b，
即 2－1＝2a＋b，
2－2＝22a＋b，
所以 a＋b＝－1，
2a＋b＝－2，
解得 a＝－1，
b＝0.
10．有一种树栽植 5 年后可成材．在栽植后 5 年内，该种树的产量年增长率为 20%，如果不
砍伐，从第 6 年到第 10 年，该种树的产量年增长率为 10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植 5 年后不砍伐，等到 10 年后砍伐．
乙方案：栽植 5 年后砍伐重栽，然后过 5 年再砍伐一次．
请计算后回答：10 年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解 设该种树的最初栽植量为 a，甲方案在 10 年后的木材产量为 y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5
＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.
乙方案在 10 年后的木材产量为
y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
y1－y2＝4.01a－4.98a<0，
因此，乙方案能获得更多的木材．
11．已知函数 f(x)＝ 1－x
1
2
，x>0，
2x，x≤0，
则 f f
1
9 等于( )
A．4 B.1
4 C．－4 D．－1
4
答案 B
解析 ∵f
1
9 ＝1－
1
9
1
2
＝1－3＝－2，
∴f f
1
9 ＝f(－2)＝2－2＝1
4.
12．某股民购买一公司股票 10 万元，在连续十个交易日内，前 5 个交易日，平均每天上涨
5%，后 5 个交易日内，平均每天下跌 4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到
元)为( )
A．赚 723 元 B．赚 145 元
C．亏 145 元 D．亏 723 元
答案 D
解析 由题意得 10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5
≈10×0.992 77＝9.927 7；
100 000－99 277＝723，
故股民亏 723 元，故选 D.
13．若函数 y＝(m2－5m＋5) 2－m
3 x 是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数 m＝
________.
答案 1
解析 依题意知
m2－5m＋5＝1，
2－m
3>1， 解得 m＝1(舍 m＝4)．
14．已知函数 f(x)为指数函数且 f
－3
2 ＝ 3
9
，则 f(－2)＝________，f(f(－1))＝________.
答案 1
9
3
3
解析 设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，
∴
3
2a
＝ 3
9
＝
3
23
，∴a＝3，
∵f(x)＝3x，∴f(－2)＝1
9
，
f(f(－1))＝f
1
3 ＝
1
33 ＝
3
3.
15．某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增
加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年 9 月份两食堂
的营业额又相等，则该年 5 月份( )
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相等
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案 A
解析 设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m，甲食堂的营业额每月增加 a(a>0)，乙食堂的
营业额每月增加的百分率为 x.由题意，可得 m＋8a＝m(1＋x)8，则 5 月份甲食堂的营业额 y1
＝m＋4a，乙食堂的营业额 y2＝m(1＋x)4＝ mm＋8a，因为 y21－y22＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝
16a2>0，所以 y1>y2，故该年 5 月份甲食堂的营业额较高．
16．某公司拟投资 100 万元，有两种获利的情况可供选择：一种是年利率 10%，按单利计算，
5 年后收回本金和利息；另一种是年利率 9%，按每年复利一次计算，5 年后收回本金和利息．哪
一种投资更有利？这种投资比另一种投资 5 年后可多得利息多少元？
解 ①本金 100 万元，年利率 10%，按单利计算，5 年后的本利和是 100×(1＋10%×5)＝150(万
元)．②本金 100 万元，年利率 9%，按每年复利一次计算，5 年后的本利和是 100×(1＋
9%)5≈153.86(万元)．由①②可见，按年利率 9%每年复利一次计算的，要比按年利率 10%单
利计算的更有利，5 年后可多得利息 3.86 万元．
