【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷09 直线与圆（解析版）

【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷09 直线与圆（解析版）

2021 年高考一轮复习直线与圆创优测评卷(精选) 一、单选题（共 60 分，每题 5 分） 1．已知圆 C : 2 2( ) 4( 2)x a y a    与直线 2 2 2 0x y    相切，则圆C 与直线 4 0x y   相交 所得弦长为（ ） A．1 B．   2 C．2 D． 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据圆C : 2 2( ) 4( 2)x a y a    与直线 2 2 2 0x y    相切，由圆心到直线的距离等于半径求得 a，然后再利用弦长公式 2 22l r d  求解. 【详解】 圆心到直线 2 2 2 0x y    的距离为： 2 2 2 2 a d    ， 因为圆C : 2 2( ) 4( 2)x a y a    与直线 2 2 2 0x y    相切， 所以 2 2 2 2 2 a d r      ， 解得 2a  或 2 4 2a   ， 因为 2a  ， 所以 2a  ， 所以 2 2( 2) 4x y   ， 圆心到直线 4 0x y   的距离为： 2 4 2 2 d   ， 所以圆C 与直线 4 0x y   相交所得弦长为 2 22 2 2l r d   ， 故选：D 2．圆 2 2: 1O x y  与圆 2 2 2: 2 2 0C x y x ay a     都关于直线 2y x b  对称,则圆 C 与 y 轴交点坐 标为 A． 0, 2 B． 0,2 C． 0, 4 D． 0,4 【答案】B 【解析】 【分析】 由圆 2 2: 1O x y  与圆 2 2 2: 2 2 0C x y x ay a     都关于直线 2y x b  对称,则两圆圆心    O 0,0 C 1 a， ， 都在直线 2y x b  上，从而得到结果. 【详解】 圆 2 2: 1O x y  与圆 2 2 2: 2 2 0C x y x ay a     都关于直线 2y x b  对称,则两圆圆心    O 0,0 C 1 a， ， 都在直线 2y x b  上，所以 0 a 2b   ， ， 所以圆 C 方程为： 2 2 2 4 4 0x y x y     ，令 x=0 得 y=2， 所以圆 C 与 y 轴交点坐标为  0,2 故选：B 3．已知直线 : 2( )l y kx k   R ，圆 2 2:( 1) 6M x y   ，圆 2 2: ( 1) 9N x y   ，则（ ） A． l 必与圆 M 相切， l 不可能与圆 N 相交 B． l 必与圆 M 相交， l 不可能与圆 N 相切 C． l 必与圆 M 相切， l 不可能与圆 N 相切 D． l 必与圆 M 相交， l 不可能与圆 N 相离 【答案】D 【解析】 直线  : 2 Rl y kx k   的过定点  0,2 ，代入圆  2 2: 1 6M x y   ，得 2 2(0 1) 2 5 6    ，即点  0,2 在圆 M 的内部，故l 必与圆 M 相交，而点 0,2 到圆 N 的圆心  0, 1N  的距离等于圆 N 的半径 3 ，故点 0,2 在圆 N 上，即l 不可能与圆 N 相离. 故选 D 4．已知圆 2 2 1 1: 4 0C x y x F    与圆 2 2 2 2: 8 0C x y x F    外切,则圆 1C 与圆 2C 的周长之和为 ( ) A． 6 B．12 C．18 D． 24 【答案】B 【解析】 【分析】 求出两圆圆心坐标,利用外切关系求出两圆的半径之和,结合圆的周长公式进行计算,即可求得答案. 【详解】 两圆的一般方程为圆 2 2 1 1: 4 0C x y x F    与圆 2 2 2 2: 8 0C x y x F    , 设 1C 半径为 R , 2C 半径为 r , 两圆的圆心为 1 2( 2,0), (4,0)C C 两圆外切, 两圆半径之和 1 2 | 2 4 | 6R r C C      圆 1C 与圆 2C 的周长之和: 2 2 2 ( ) 12R r R r       故选:B. 5．直线  2 1 4 0x m y    与直线 3 2 0mx y   平行, 则 m  （ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 2 或 3 【答案】C 【解析】 试题分析：由直线  2 1 4 0x m y    与直线 3 2 0mx y   平行，则 2 1 4 3 2 m m    ，解得 2m  或 3 ，故选 C. 6．极坐标方程 2 sin( )2     和参数方程 2cos (3sin x y      为参数）所表示的图形分别是（ ） A．圆与直线 B．圆与椭圆 C．直线与圆 D．直线与椭圆 【答案】D 【解析】 2 2= = cos =2cos+ 2sin          ，化为直角坐标方程为 2x  ，是一条直线； 2 2 2 2 cos2cos 2 1 sin cos3 4 9 3 x x x y yy sin sin                ，为椭圆，故选 D. 7．已知圆    2 2: cos sin 1M x y     ，直线 :l y kx ，则下面命题错误的是（ ） A．必存在实数 k 与 ，使得直线l 与圆 M 相切 B．对任意实数 k 与 ，直线l 与圆 M 有公共点 C．对任意实数 k ，必存在实数 ，使得直线l 与圆 M 相切 D．对任意实数 ，必存在实数 k ，使得直线l 与圆 M 相切 【答案】D 【解析】圆心 M 的坐标为 cos ,sin  ，直线l 恒过原点O ， 所以，圆心 M 到直线l 的距离 d 的最大值为  2 2cos sin 1OM      ，即 1d  ， 所以直线l 与圆 M 必有公共点，B 选项正确； 对任意实数 k ，过原点作直线l 的垂线交圆 2 2 1x y  于点 M ，则点 M 即为所求，A、C 选项正确； 当 0  时，圆 M 的方程为  2 21 1x y   ，此时，直线 0x  与圆 M 相切，但 k 不存在，D 选项错误. 故选：D. 8．已知直线 ( 2) - 4 0b x ay   与直线 ( 2) 3 0ax b y    互相平行，则点 ( , )a b 在（ ） A．圆 2 2 1a b  上 B．圆 2 2 2a b  上 C．圆 2 2 4a b  上 D．圆 2 2 8a b  上 【答案】C 【解析】∵直线 ( 2) - 4 0b x ay   与直线 ( 2) 3 0ax b y    互相平行，∴ 2( 2)( 2)b b a    ，即 2 2 4a b  ．故选 C． 9．直线 3 3y x 绕原点逆时针方向旋转 30 后所得直线与圆 2 2( 2) 3x y   的位置关系是（ ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 【答案】C 【解析】 直线 3 3y x 的倾斜角为30 ，则将其绕原点按逆时针方向旋转30 后得到的直线的倾斜角为 60 ，所以直 线方程为 3y x ．圆心 (2,0) 到直线 3y x 的距离 2 3 32d r   ，所以直线与圆相切，故选 C 10．若直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点，则点  ,P a b 与圆 2 2 1x y  的位置关系是（ ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【解析】解：因为直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点， 所以有 | | 2 2 1 1 a b   ， 即 2 21 a b  ， 因为点 P 与圆心的距离为 2 2a b ，圆的半径为 1， 所以点 P 在圆外，故选 B。 11．已知圆 2 2( 7) ( 4) 9x y    与圆 2 2( 5) ( 6) 9x y    关于直线l 对称 ，则直线l 的方程是（ ） A．5 6 11 0x y   B． 6 5 1 0x y   C． 6 5 11 0x y   D．5 6 1 0x y   【答案】B 【解析】∵两圆 2 2( 7) ( 4) 9x y    与圆 2 2( 5) ( 6) 9x y    关于直线l 对称，且两圆的圆心距为    2 27 5 4 6 2 61 6      ， ∴两圆外离，将两个圆的方程相减可得 24 20 4 0x y   ，即 6 5 1 0x y   . 故直线l 的方程为 6 5 1 0x y   . 故选：B. 12．如图，半径为 1 的圆 M 与直线 l 相切于点 A，圆 M 沿着直线 l 滚动.当圆 M 滚动到圆 M  时，圆 M  与 直线l 相切于点 B，点 A 运动到点 A ，线段 AB 的长度为 3 ,2  则点 M  到直线 BA 的距离为（ ） A．1 B． 3 2 C． 2 2 D． 1 2 【答案】C 【解析】线段 AB 的长度为 3 ,2  设圆滚动了 x 圈，则 3 32 ,2 4x xpp× = = 即圆滚动了 3 4 圈， 此时 A 到达 A ， 90BM AⅱÐ =  ，则点 M  到直线 BA 的距离为 2sin 45 2r窗 = . 故选：C． 二、填空题（共 20 分，每题 5 分） 13．已知过点 的直线与圆 相切，且与直线 垂直，则 __________． 【答案】2 【解析】设切线为 ，因为过 ，故 ，所以切线为 ，又 圆心到它的距离为 ，解得 ，故填 2． 14．过原点的直线 与圆 交于 两点，点 是该圆与 轴负半轴的交点，以 为直径的圆与直线 有异于 的交点 ，且直线 与直线 的斜率之积等于 ，那么直线 的方程为________. 【答案】 【解析】由以 为直径的圆与直线 有异于 的交点 ，得 kAN•kl＝﹣1，kAN•kAP＝1， 所以 kl+kAP＝0，设 P（x0，y0）（y0≠0） 则 kl＝ ，kAP＝ ， ∴ + ＝0，解得 x0＝﹣ ，又 x02+y02＝1， 所以 y0＝± ，kl＝ 所以直线 l 的方程为：y＝ x 故答案为：y＝ x 15．已知椭圆 2 2 164 16 x y  ，圆  2 2: 1C x t y   ，直线l 与椭圆交于 A ， B 两点，与圆相切与 M 点，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 有 4 条，则t 的取值范围为______. 【答案】 3 5 3 5t   【解析】根据椭圆和圆的对称性，要使这样的直线有 4 条，必斜率不存在的直线两条，且斜率存在的直线 两条， （i）当直线斜率不存在时，要有两条符合题意： 7 7t   （ii）当直线斜率存在时也有两条直线满足条件才符合题意，当 0t  时， 1, 1y y   两条直线符合题意， 当 0t  时，先证明中点弦公式：直线l 与椭圆 2 2 164 16 x y  交于 A ， B 两点，且 0 0( , )M x y 为线段 AB 的中 点，则 0 0 1 ,4 4OM AB AB xk k k y      设 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ), ,A x y B x y x x y y  在椭圆上， 0 0( , )M x y 为线段 AB 的中点， 1 2 0 1 2 02 , 2x x x y y y    2 2 1 1 164 16 x y  ， 2 2 2 2 164 16 x y  两式相减： 2 2 2 2 1 2 1 2 064 16 x x y y   1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 064 16 x x x x y y y y     1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( )16 064 ( )( ) y y y y x x x x     0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 ( )( ) 1 ( )( ) 4OM AB y y y y y y yk k x x x x x x x           当直线斜率存在时，设点 0 0( , )M x y ，在圆上 2 2 0 0 1x t y   根据中点弦公式 1 4OM ABk k   ， 0 04AB xk y   根据直线与圆相切 0 0 0 0 14CM AB y xk k x t y          点 0 0( , )M x y ，在圆上 2 2 0 0 1x t y   解得： 2 2 0 0 4 9,3 9 t tx y   ，这样的点 0 0( , )M x y 两个，关于 x 轴对称， 点 0 0( , )M x y 在椭圆内部： 2 2 0 0 164 16 x y  即 2 216 9 19 64 9 16 t t   解得 3 5 3 5t   ， 0t  综上所述： 3 5 3 5t   故答案为： 3 5 3 5t   16．己知圆 2 2: 1O x y  ，及  0, 2 1A  ，  0, 2 1B  ： ① P 是 x 轴上动点，当 APB 最大时， P 点坐标为  2,0 ②过 A 任作一条直线，与圆O 交于 ,M N ,则 2 1NA NB   ③过 A 任作一条直线，与圆O 交于 ,M N ，则 NA MA NB MB  成立 ④任作一条直线与圆O 交于 ,M N ，则仍有 NA MA NB MB  上述说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【解析】试题分析：对于①，设  ,0P t ，由 2 1 2 1tan ,tan ,APO BPOt t        tan tantan tan 1 tan tan BPO APOAPB BPO APO BPO APO            ，当且仅当 1t  ，即 1t   时，有最大值，即当 APB 最大时， P 点 坐 标 为  1,0 ， 故 ① 错 ； 设 圆 上 任 意 一 点 的 坐 标 为  0 0M x y ， 则 有         2 22 2 2 0 0 0 0 0 02 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2MA x y x y y y               ，         2 22 2 2 0 0 0 0 0 02 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2MB x y x y y y               ， 所以       0 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 yMA MB y        ，由此可知②③④均正确，故应填②③④. 三、解答题 17．（10 分）已知圆 2 2:( 3) ( 4) 4C x y    ． （Ⅰ）若直线 1l 过定点 (3,0)A ，且与圆C 相切，求直线 1l 的方程； （Ⅱ）若圆 D 半径是3，圆心在直线 2 : 2 0l x y   上，且与圆C 外切，求圆 D 的方程． 【答案】（Ⅰ） 3( 3)y x   ；（Ⅱ） 2 2 2 2( 3) ( 1) 9 ( 2) ( 4) 9x y x y       或 . 【解析】（1）根据直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径， 2 42 3 1 d k k       ，即可 求出直线方程（2）圆与圆外切则转化为圆心距等于半径和，可得    2 23 2 5 3 2a a a a       或 ， 即可算出圆的方程 解析：（Ⅰ）设直线 1l 的方程为  3 3 0y k x kx y k    即： ，则 圆心到 1l 的距离 d 为： 2 42 3 1 d k k       所以，直线 1l 的方程为  3 3y x   （Ⅱ）设圆心  ,2D a a ，则 5CD     2 23 2 5 3 2a a a a       或 所以，圆 D 的方程为：       2 2 2 23 1 9 2 4 9x y x y       或 18．（12 分）已知圆 ，直线 过点 且与圆 相切 . （I）求直线 的方程； （II）如图，圆 与 轴交于 两点，点 是圆 上异于 的任意一点，过点 且与 轴垂直的直线为 ， 直线 交直线 于点 ，直线 交直线 于点 ，求证：以 为直径的圆 与 轴交于定点 ，并求出点 的 坐标 . 【答案】（1） . （2）证明见解析；定点 或 . 【解析】(Ⅰ)由题意得，直线 的斜率存在. 设直线 的方程为 . 因为直线 与圆 相切， 所以 . 所以 . 所以直线方程为 . (Ⅱ)由题意得，点 ，点 . 设点 ，则 . 直线 的方程为 . 所以直线 与直线 的交点为点 . 直线 的方程为 . 所以直线 与直线 的交点为点 . 设点 . 则 ， . 因为以 为直径的圆 与 轴交于定点 , 所以 解得 . 所以定点 或 . 19．（12 分）已知圆O ： 2 2 2x y r  ，直线 2 2 2 0x y   与 圆O 相切，且直线l ： y kx m  与椭圆C ： 2 2 12 x y  相交于 P Q、 两点，O 为原点． （1）若直线l 过椭圆C 的左焦点，且与圆O 交于 A B、 两点，且 60AOB   ，求直线l 的方程； （2）如图，若 POQ 的重心恰好在圆上，求 m 的取值范围. 【答案】（1）直线 l 的方程为 2 ( 1)2y x   （2） 1m   或 1m > 【解析】(1)首先求得圆的半径，然后结合题意可得直线l 的方程为  2 12y x   ； (2)设出点的坐标，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数 k 的方程，据此讨论计算可得 m 的 取值范围是 1m   或 1m  . 试题解析： 解： （1）因为直线 2 2 2 0x y   与圆O ： 2 2 2x y r  相切 ∴  22 0 0 2 2 31 2 2 r     ∴ 2 2 4 9x y  因为左焦点坐标为  1,0F  ，设直线l 的方程为  1y k x  由 60AOB   得，圆心O 到直线l 的距离 1 3 d  又 2 1 kd k   ，∴ 2 1 31 k k   ，解得， 2 2k   ∴ 直线l 的方程为  2 12y x   （2）设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y 由 2 2 12 x y y kx m       得 2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m     由 0  ，得 2 22 1k m  …（※）， 且 1 2 2 4 1 2 kmx x k     由 POQ 重心恰好在圆 2 2 4 9x y  上，得   2 2 1 2 1 2 4x x y y    ， 即    22 1 2 1 2 2 4x x k x x m       ，即     22 2 1 2 1 21 4 4 4k x x km x x m      ． ∴     2 2 2 2 2 2 2 22 16 1 16 4 41 21 2 k k m k m mkk     ， 化简得  22 2 2 1 2 4 1 k m k    ，代入（※）得 0k  又  22 4 2 2 2 2 4 1 2 4 41 1 4 14 1 4 1 k km k k k k         由 0k  , 得 2 1 0k  ,∴ 2 4 4 1 0k k   ， ∴ 2 1m  ，得 m 的取值范围为 1m   或 1m  20．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 2 2: 64O x y  ，以 1(9,0)O 为圆心的圆记为圆 1O ，已知圆 1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为 21. （1）求圆 1O 的标准方程； （2）求过点 (5,5)M 且与圆 1O 相切的直线的方程； （3）已知直线l 与 x 轴不垂直，且与圆O ，圆 1O 都相交，记直线l 被圆O ，圆 1O 截得的弦长分别为 d ， 1d . 若 1 2d d  ，求证：直线 l 过定点. 【答案】（1） 2 2( 9) 16x y   ；（2） 9 49 40 8y x   或 5x  ；（3）证明见解析. 【解析】（1） 2 2: 64O x y  圆 (0,0)O 为圆心，半径为8 设 1(9,0)O 为圆心的圆记为圆 1O ，设 1O 半径为 R 由圆 1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为 21. 可得8 9 21R   解得 4R  圆 1O 的标准方程为 2 2( 9) 16x y   . （2）①当切线的斜率不存在时，直线方程为 5x  符合题意； ②当切线的斜率存在时， 设直线方程为 5 ( 5)y k x   ， 即 (5 5 ) 0kx y k    ， 直线和圆相切， 设直线到圆的距离为 d  2 |5 4 | 4 1 kd k    ， 解得 9 40k   ，从而切线方程为 9 49 40 8y x   . 故切线方程为 9 49 40 8y x   或 5x  （3）设直线l 的方程为 y kx m  ， 则圆心O ，圆心 1O 到直线l 的距离分别为 2 | | 1 mh k   ， 1 2 |9 | 1 k mh k   ， 几何关系可得： 22 64d h  ， 1 1 22 16d h   2 22 64 1 md k    ， 2 1 2 (9 )2 16 1 k md k    . 由 1 2d d  ，得 2 2 2 22 1 2 64 1 4(9 )16 1 m d k k md k     ， 整理得 2 24(9 )m k m  ，故 2(9 )m k m   ， 即18 0k m  或 6 0k m  ， 直线 l 为 18y kx k  或 6y kx k  ， 直线 l 过点定点 (18,0) 或直线l 过定点 (6,0) . 21．（12 分）已知圆 2 2: 9O x y  ，直线 1l :x=6，圆O与 x 轴相交于点 A B、 （如图），点 P(-1,2) 是圆O内一点，点Q 为圆O上任一点（异于点 A B、 ），直线 A Q、 与 1l 相交于点C ． （1）若过点 P 的直线 2l 与圆O 相交所得弦长等于 4 2 ，求直线 2l 的方程； （2）设直线 BQ BC、 的斜率分别为 BQ BCk k、 ，求证： BQ BCk k 为定值. 【答案】（1） 或3 4 5 0x y   （2）-3 【解析】（1）由点到直线距离公式可得圆心  0,0O 到直线的距离 1d  ，设直线 2l 的方程为  2 1y k x   ， 由 2 2 1 1 kd k    解得 3 4k   ，又过点 P 且与 x 轴垂直的直线 1x   显然符合要求， 故满足题意的直线 2l 应为两条； （ 2 ） 方 法 1 ： 联 立   2 2 2 2 2 3 81 54{ 09 9 hy x h y yh hx y        得 点 2 2 2 243 3 54,81 81 h hQ h h       9 , 3BQ BC hk kh    ，问题得证； 方法 2：设点 的坐标为 ，分 0h  ， 0h  ，两组情况讨论得证 ；方法 3：设点 Q 的坐标为  1 1,x y , 则 2 2 1 1 9x y  ，则由三点 A、Q、C 三点共线及直线 l 的方程得点 1 1 96, 3 yC x      ，表示出 ,BC BQk k ，可证 BQ BCk k 为定值 试题解析： （1）因直线 与圆O 相交所得弦长等于 ，所以圆心  0,0O 到直线的距离  2 9 2 2 1d    设直线 的方程为  2 1y k x   ，即 2 0kx y k    由 2 2 1 1 kd k    解得 3 4k   又过点 P 且与 x 轴垂直的直线 1x   显然符合要求 所以直线 的方程是 或3 4 5 0x y   （2）方法 1：设点C 的坐标为 6,h ，则直线 AC 的方程为  39 hy x  由   2 2 2 2 2 3 81 54{ 09 9 hy x h y yh hx y        解得 1 2 2 540, 81 hy y h    从而得点 2 2 2 243 3 54,81 81 h hQ h h       9 , 3BQ BC hk kh    所以 3BQ BCk k   方法 2：设点 的坐标为 ， 若 0h  ，则 3BC hk  9AC hk  BQ AC 9 BQk h    所以 3BQ BCk k   当 0h  时，同理可得 3BQ BCk k   所以 BQ BCk k 为定值 方法 3：设点Q 的坐标为 1 1,x y , 则 2 2 1 1 9x y  则三点 A、Q、C 三点共线及直线l 的方程得点 1 1 96, 3 yC x      1 1 3 ,3BC yk x   1 1 3BQ yk x   2 2 1 1 2 2 1 1 3 3 39BQ BC y yk k x y       22．（12 分）如图，已知圆心坐标为 ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 3y x 分别相切于 A 、 B 两点，另一 圆 N 与圆 M 外切，且与 x 轴及直线 3y x 分别相切于 C 、 D 两点． （1）求圆 M 和圆 N 的方程； （2）过点 B 作直线 MN 的平行线 l ，求直线l 被圆 N 截得的弦的长度． 【答案】（1） 2 2( 3) ( 1) 1x y    ， 2 2( 3 3) ( 3) 9x y    ；（2） 33 ． 【解析】（1）由于 M 与 BOA 的两边均相切，故 M 到OA及 OB 的距离均为 M 的半径， 则 M 在 BOA 的平分线上，同理， N 也 BOA 在的平分线上， 即 O M N， ， 三点共线，且OMN 为 BOA 的平分线， ∵ M 的坐标为 ( 3,1) ，∴ M 到 x 轴的距离为 1，即 M 的半径为 1， 则 M 的方程为 2 2( 3) ( 1) 1x y    ， 设 Ne 的半径为 r ，其与 x 轴的切点为C ，连接 MA 、 MC ， 由 Rt OAM Rt OCN ∽ 可知， : :OM ON MA NC ， 即 2 1 33 rr r    ． 则 3 3OC  ，则圆 N 的方程为 2 2( 3 3) ( 3) 9x y    ； （2）由对称性可知，所求的弦长等于过 A 点，直线 MN 的平行线被圆 N 截得的弦的长度， 此弦的方程是 3 ( 3)3y x  ，即： 3 3 0x y   ， 圆心 N 到该直线的距离 3 2d  ，则弦长= 2 22 33r d  ．