2018届二轮复习 数列通项、求和、综合应用 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 数列通项、求和、综合应用 学案（ 江苏专用）

专题9：数列通项、求和、综合应用(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋3n(n∈N*且n≥2)，则an＝ ．‎ ‎(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＝2nan－1(n∈N*且n≥2)，则an＝ ．‎ 答案：(1)an＝；（2）an＝2．‎ ‎2．(1) 已知数列{an}中，a1＝1，Sn＝n2an (n∈N*)，则an＝ ． ‎ ‎(2) 已知数列{an}中，a1＋‎2a2＋…＋nan＝n2(n＋1)，则an＝ ．‎ ‎(3) 已知数列{an}中，a‎1a2…an＝n2，则an＝ ．‎ 答案： (1) ．=；(2) an＝2n；(3) an＝．‎ ‎3．(1)已知数列{an}中，a1＝1， an＝an－1＋1 (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ ‎(2)已知数列{an}中，a1＝1， an=2an-1＋2n (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ ‎(3)已知数列{an}中，a1＝1， an＝ (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ 答案：(1)an＝3－2×()n－1； (2)an＝(2n－1)×2n－1；(3)an＝．‎ ‎4． (1) 已知数列{an}中，an＋an＋1＝2n，a1＝1 (n∈N*)，则an＝ ．‎ ‎(2) 已知数列{an}中，anan＋1＝2n，a1＝1 (n∈N*)，则an＝ ．‎ 答案：(1) an＝；(2) an＝ ‎5．(1)数列1＋2，1＋2＋4，1＋2＋4＋8，…，1＋2＋4＋…＋2n的前n项的和为 ．‎ ‎(2)数列an＝的前n项的和为 ．‎ ‎ (3)数列an＝(2n－1)·3n的前n项的和为 ．‎ ‎(4)已知数列an＝(－1)n·n，则Sn＝ ．‎ 答案：(1)2n＋2－(4＋n)；(2)－(＋)；(3)(n－1)·3n＋1＋3；(4)Sn＝．‎ ‎6．(1)数列{an}通项公式为an＝an2＋n，若{an}满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，‎ 则实数a的取值范围为 ．‎ ‎(2)已知数列an＝λ()n－2－n2，若数列{an}是单调递减数列，则实数λ的取值范围为 ．‎ ‎(3)求数列an＝4n2()n－1(n∈N*)的最大项．‎ 答案：(1) (－，－)；（2）λ＞－3．(3) 最大项为a9．‎ 二、方法联想 ‎1．形如an－an－1＝f(n)(n∈N*且n≥2)‎ 方法 叠加法，即当n∈N*，n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1．‎ 形如＝f(n)(n∈N*且n≥2)‎ 方法 用叠乘法，即当n∈N*，n≥2时，an＝··…··a1．‎ 注意 n＝１不一定满足上述形式，所以需检验．‎ ‎2．形如含an，Sn的关系式 方法 利用an＝，将递推关系转化为仅含有an的关系式(如果转化为an不能解决问题，则考虑转化为仅含有Sn的关系式)．‎ 注意 优先考虑n＝1时，a1＝S1的情况．‎ 形如a1＋‎2a2＋…＋nan＝f(n)或a‎1a2…an＝f(n) ‎ 方法 (1)列出 (n∈N*且n≥2)，两式作差得an＝ (n∈N*且n≥2)，而a1＝f(1)．‎ ‎(2)列出 (n∈N*且n≥2)，两式作商得an＝ (n∈N*且n≥2)，而．‎ 注意 n＝１是否满足上述形式须检验．‎ ‎3．形如an＝pan－1＋q (n∈N*且n≥2，p≠1) ‎ 方法　化为an＋＝p(an－1＋)形式．令bn＝an＋，即得bn＝pbn－1，转化成{bn}为等比数列，从而求数列{an}的通项公式．‎ 形如an＝pan－1＋f(n) (n∈N且n≥2) ‎ 方法　　两边同除pn，得＝＋，令bn＝，得bn＝bn－1＋，转化为利用叠加法求bn(前提是数列{}可求和)，从而求数列{an}的通项公式．‎ 形如an＝ (n∈N*且n≥2) ‎ 方法　两边取倒数得＝＋，令bn＝，得bn＝bn－1＋，转化成{bn}为等差数列，从而求数列{an}的通项公式．‎ ‎4．形如an＋an＋1＝f(n)或anan＋1＝f(n)形式 方法 (1)列出，两式作差得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，即找到隔项间的关系．‎ ‎(2)列出，两式作商得＝，即找到隔项间的关系．‎ ‎5．数列求和的常见方法 形如an±bn（an，ban是等差或等比数列）的形式 ‎ 方法 分组求和法．‎ 形如或其它特殊分式的形式 方法 采用裂项相消法．‎ 形如anbn形式(其中an为等差，bn为等比)‎ 方法 采用错位相减法．‎ 首、尾对称的两项和为定值的形式 方法 倒序相加法．‎ 正负交替出现的数列形式 方法 并项相加法，对项数n进行分类即分奇偶性．‎ ‎6．数列的单调性 方法1 转化为函数的单调性，如利用图象分析．‎ 注意 图象分析时，数列图象为离散的点．‎ 方法2 利用an＋1－an与0的关系(或与1的关系，其中an＞0)判断(或证明)数列的单调性．‎ 数列的最值 方法1 利用an＋1－an与0的关系(或与1的关系，其中an＞0)判断数列的单调性．‎ 方法2 若第m项为数列的最大项，则 ‎ 若第m项为数列的最小项，则 三、例题分析 例1 已知数列{an}，{bn}，an＝n－16，bn＝(－1)n|n－15|，其中n∈N*．‎ ‎(1)求满足an＋1＝|bn|的所有正整数n的集合；‎ ‎(2)n≠16，求数列{}中的最大项和最小项；‎ ‎* (3)记数列{anbn}的前 n项和为Sn，求所有满足S‎2m＝S2n (m＜n)的有序整数对(m，n)．‎ 答案：(1) {n|n≥15，n∈N*} (2)最大项为第18项，最小项为第17项－2；‎ ‎ (3)m＝7，n＝8．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求数列的最大项与最小项问题：‎ 方法① 利用数列的单调性，即用比较法判断an＋1与an的大小．‎ 方法② 利用通项所对应的函数的单调性．‎ ‎2．数列中的解方程问题：‎ 方法1：利用数列的通项公式、求和公式及递推关系转化为关于自然数n的一元或多元方程，‎ 对于多元方程，若方程的个数不够，往往是根据整数的整除性来求解．‎ ‎ 方法2：此类问题的解大都是有限的，可从特殊入手，猜出问题的解，再加以证明．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法②，因为本题中通项所对应的函数是基本函数，单调性已知，便于处理，但要注意最值点必须是自变量取正整数；所以选择②．‎ 对于问题2，本题中第一小问，直接解一个含绝对值的方程，即可求得n的值；对于第三小问，既可以去求前n项和，再去解二元方程S2n＝S‎2m，但显然这样运算量大，而且前n项也不太好求，本题是将条件S2n＝S‎2m化归为去找相邻若干项(从某个奇数项到某个偶数项)的和为0．‎ 例2 已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，都有a＝anan＋2＋k (k为常数).‎ ‎(1)若k＝(a2－a1)2，求证：a1，a2，a3成等差数列；‎ ‎(2)若k＝0，且a2，a4，a5成等差数列，求的值；‎ ‎* (3)已知a1＝a，a2＝b (a，b为常数)，是否存在常数λ，使得an＋an＋2＝λan＋1对任意n∈N*都成立?若存在.求出λ；若不存在，说明理由.‎ 答案：(1) 用定义证；‎ ‎ (2)q＝1或q＝．‎ ‎ (3)存在常数λ＝使得an＋an＋2＝λan＋1对任意n∈N*都成立．‎ ‎ 因为a＝anan＋2＋k，∴a＝an－1an＋1＋k，n≥2，n∈N*‎ ‎ 所以a－a＝anan＋2－an－1an＋1，即a＋an－1an＋1＝a＋anan＋2．‎ 因为an＞0，所以＝．‎ ‎ 所以＝＝…＝．所以an＋an＋2＝an＋1．‎ ‎ 因为a1＝a，a2＝b，a＝anan＋2＋k，所以a3＝，所以＝．‎ ‎ 所以存在常数λ＝使得an＋an＋2＝λan＋1对任意n∈N*都成立．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．证明一个数列是等差数列：‎ 方法①定义法：an＋1－an＝d(常数)，n∈N*；‎ ‎②等差中项法：2an＝an＋1＋an－1，n≥2，n∈N*；‎ ‎2．等比数列的子列构成一等差数列，求公比：‎ 方法①利用等差(比)数列的通项公式，进行基本量的计算 ‎3．存在性问题：‎ 方法①假设存在，由特殊情况，求参数的值，再证明；‎ ‎②转化为关于n的方程恒成立问题；‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法②，因为本题是研究3个数构成等差数列；所以选择②．‎ 对于问题3，学生一般会选择①，对于存在性问题，常规的方法就是先从特殊性出发探究出参数和值，再进行证明，这样处理思路清晰，运算量小．所以选择方法①．‎ 例3 已知数列{an}满足＝n (n∈N*)，且a2＝6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn＝ (n∈N*，c为非零常数)，若数列{bn}是等差数列，记cn=，Sn＝c1＋c2＋…＋cn，求Sn.‎ 答案： (1) an=n(2n－1)，n∈N* ‎ ‎(2) Sn=4－． ‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．由递推关系求数列的通项：‎ 方法①利用等差(比)数列求和公式；②叠加(乘)法；③构造等差(比)数列；④猜想证明．‎ ‎2．已知数列是等差数列，求参数的值：‎ 方法①选特殊化，求参数的值，再证明；②转化为关于n的方程恒成立问题；‎ ‎3．数列求和问题：‎ 方法①等差(比)数列求和；②分组求和；③拆项相消；④错位相减；‎ ‎⑤倒序相加；⑥并项求和法．. ‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法②，因为递推关系形如an－an－1＝f(n)(n∈N且n≥2)，‎ 所以选择②叠加法．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为选择方法①，运算量比较小．‎ 对于问题3，学生一般会选择④，因为本题通项是由一个等差与一个等比数列相应项相乘而得，‎ 所以选择方法④．‎ 四、课后反馈：‎ ‎1．设数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*，cn ＝ab(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和为 ．‎ 答案：85 (考查等差数列求和)‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn ＝(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1），则{an}的通项公式为 ．‎ 答案：an＝an (考查利用an，Sn的关系式求通项)‎ ‎3．已知数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为的等比数列，则an＝ ．‎ 答案：[1－()n] (考查累加法求通项)‎ ‎4．（15年江苏）数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{}的前10项和为 ‎ 答案： (考查递推关系式，列项求和)‎ ‎5．已知等差数列{an}的前n项和Sn ＝n2－10n，则数列{|an|}的前n项和Tn 等于 ．‎ 答案：Tn ＝(考查an，Sn的关系，等差数列求和)‎ ‎6．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．‎ 答案：9(考查等差、等比数列的性质，一元二次方程根的关系)‎ ‎7．已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为2，若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)f(a2)f(a3)…f(a10)]＝ ．‎ 答案：(考查等差数列的性质)‎ ‎ a1‎ ‎ a‎2 a3 a4‎ ‎ a‎5 a6 a7 a8 a9‎ ‎ …‎ ‎8．如图，将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列a1，a2，a5，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列．若a4＝5，a86＝518，则d＝ ． ‎ 答案：d＝．(考查等差、等比数列的性质)‎ ‎9．已知数列{an}满足an＝an－1－an－2(n≥3，n∈N*)，它的前n项和为Sn．若S9＝6，S10＝5，则a1的值为 ．‎ 答案：1(考查利用递推关系式研究数列)‎ ‎10．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10．‎ ‎（1）求数列{an}与{bn }的通项公式；‎ ‎（2）记Tn＝anb1＋an－1b2＋an－2b3＋…＋a1bn，证明Tn＋12＝－2an＋10bn．‎ 答案：（1）an＝3n－1，bn＝2n；（2）略．(考查错位相减法求和)‎ ‎11．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．‎ ‎(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．‎ 答案： (1)数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.‎ ‎(2)－10＜a＜－8.‎ ‎(考查（1）数列中最值问题；（2）数列中不等式恒成立问题．)‎ ‎12．已知等差数列{an}的前n项和Sn，且Sn ＝n－5an－85，n∈N*．‎ ‎（1）证明：{an－1}是等比数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式，并求使得Sn＋1＞Sn成立的最小正整数n．‎ 答案：（1）略 （2）an＝1－15()n－1，15(考查（1）等比数列的证明；（2）数列中不等式问题．)‎ ‎13．设数列{an}的前n项和Sn＝(n－2)2． ‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式； ‎ ‎(2)设bn＝()，cn＝－ (n∈N*)，数列{cn}的前n项和为Tn，‎ 求证：Tn＜． ‎ 答案：（1）f(x)＝x2－4x＋4．(2)an＝ (3)Tn＝－，证明略 ‎(考查（1）求数列的通项问题；（2）与数列有关不等式证明问题．)‎