【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-6函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用作业

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【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-6函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用作业

‎[基础达标]‎ ‎1.函数y=sin在区间上的简图是(  )‎ 解析:选A.令x=0,得y=sin=-,排除B,D.由f=0,f=0,排除C.‎ ‎2.(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为(  )‎ A. B. C.0 D.- 解析:选B.令y=f(x)=sin(2x+φ),则f=sin=sin,因为f为偶函数,所以+φ=kπ+,所以φ=kπ+,k∈Z,所以当k=0时,φ=.故φ的一个可能的值为.故选B.‎ ‎3.(2019·湖州市高三期末考试)若把函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y=sin x的图象,则y=f(x)的解析式为(  )‎ A.y=sin+1 B.y=sin+1‎ C.y=sin-1 D.y=sin-1‎ 解析:选B.函数y=sin x的图象,把图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标保持不变),得到y=sin 2x,沿y轴向上平移1个单位,得到y=sin 2x+1,图象沿x轴向右平移个单位,得到函数y=sin+1=sin+1.故选B.‎ ‎4.(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)‎ 在x=时取得最大值,且它的最小正周期为π,则(  )‎ A.f(x)的图象过点 B.f(x)在上是减函数 C.f(x)的一个对称中心是 D.f(x)的图象的一条对称轴是x= 解析:选C.因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为π,‎ 所以T==π,‎ 所以ω=2,即函数f(x)=Asin(2x+φ),‎ 又因为函数f(x)=Asin(2x+φ)在x=时取得最大值,‎ 所以sin=±1,‎ 即2×+φ=±+2kπ(k∈Z),‎ 又因为-<φ<,所以φ=,‎ 所以f(x)=Asin,其中A<0;‎ 对于选项A,因为f(0)=Asin=≠,‎ 所以选项A不正确;‎ 对于选项B,因为函数f(x)=Asin的单调递增区间满足:+2kπ≤2x+≤+2kπ,‎ 所以f(x)在上是增函数,所以选项B不正确;‎ 对于选项C,因为f=Asin=0,‎ 所以f(x)的一个对称中心是,即选项正确;‎ 对于选项D,因为f=Asin=0,‎ 所以x=不是f(x)的图象的一条对称轴,即选项D错误.故选C.‎ ‎5.(2019·杭州中学高三月考)将函数y=2sin(ωx-)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位后,所得的两个图象的对称轴重合,则ω的最小值为(  )‎ A. B.1‎ C.2 D.4‎ 解析:选C.把函数y=2sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为 y1=2sin=2sin,‎ 向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y2=2sin=2sin.‎ 因为所得的两个图象对称轴重合,‎ 所以ωx+π=ωx-π①,或ωx+π=ωx-π+kπ,k∈Z②.‎ 解①得ω=0,不合题意;解②得ω=2k,k∈Z.‎ 所以ω的最小值为2.故选C.‎ ‎6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则函数y=f(x)+ω图象的对称中心的坐标为(  )‎ A.(k∈Z) B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ 解析:选D.由题图可知=-=,所以T=3π,又T=,所以ω=,所以f(x)=2sin,因为f(x)的图象过点,所以2sin=2,所以+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z).又因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)=2sin.由x+=kπ(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),则函数y=f(x)+图象的对称中心的坐标为(k∈Z).‎ ‎7.(2019·金丽衢十二校联考)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<,f(x)的最小正周期为π,且f(0)=,则ω=________,φ=________.‎ 解析:由原函数的最小正周期为π,得到ω=2(ω>0),又由f(0)=且|φ|<得到φ=.‎ 答案:2  ‎8.某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 收购价格y(元/斤)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 选用一个函数来近似描述收购价格y(元/斤)与相应月份x之间的函数关系为________.‎ 解析:设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,‎ 所以ω=,所以y=sin+6.‎ 因为当x=1时,y=6,所以6=sin+6,‎ 结合表中数据得+φ=2kπ,k∈Z,‎ 可取φ=-,所以y=sin+6=6-cosx.‎ 答案:y=6-cosx ‎9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,已知图象经过点A(0,1),B,则f(x)=________.‎ 解析:因为图象经过点A(0,1),B,‎ A,B两个点的纵坐标互为相反数,从点A到点B经过半个周期,所以==,解得ω=3.‎ 又因为图象经过点A(0,1),f(x)=2sin(ωx+φ),‎ 所以1=2sin φ,即sin φ=,‎ 所以由0<φ<π及函数的图象可得φ=,‎ 所以f(x)=2sin.‎ 答案:2sin ‎10.函数y=sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,M、N分别是最高点、最低点,O为坐标原点,且·=0,则函数f(x)的最小正周期是________.‎ 解析:由题图可知,M,N(xN,-1),‎ 所以·=·(xN,-1)=xN-1=0,‎ 解得xN=2,所以函数f(x)的最小正周期是2×=3.‎ 答案:3‎ ‎11.如图,某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π).‎ ‎(1)求解析式;‎ ‎(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20-5,20+5]之间为最佳营业时间,那么该行业在6~14时,最佳营业时间为多少小时.‎ 解:(1)由图象知A=10,·=14-6,‎ 所以ω=,所以y=10sin+b.①‎ ymax=10+b=30,所以b=20.‎ 当t=6时,y=10代入①得φ=,‎ 所以解析式为y=10sin+20,t∈[6,14].‎ ‎(2)由题意得,‎ ‎20-5≤10sin+20≤20+5,‎ 即-≤sin≤,‎ 所以kπ-≤t+≤kπ+,k∈Z.‎ 即8k-8≤t≤8k-4,‎ 因为t∈[6,14],所以k=2,即8≤t≤12,‎ 所以最佳营业时间为12-8=4小时.‎ ‎12.已知函数f(x)=sin x+cos x(x∈R).‎ ‎(1)若α∈[0,π]且f(α)=2,求α;‎ ‎(2)先将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),‎ 再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x=对称,求θ的最小值.‎ 解:(1)f(x)=sin x+cos x ‎=2=2sin.‎ 由f(α)=2,得sin=,‎ 即α+=2kπ+或α+=2kπ+,k∈Z.‎ 于是α=2kπ-或α=2kπ+,k∈Z.‎ 又α∈[0,π],故α=.‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=2sin的图象,再将y=2sin图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度,得到y=2sin的图象.由于y=sin x的图象关于直线x=kπ+(k∈Z)对称,令2x-2θ+=kπ+,‎ 解得x=+θ+,k∈Z.‎ 由于y=2sin的图象关于直线x=对称,令+θ+=,‎ 解得θ=-+,k∈Z.‎ 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.由T==,又f(x)的最大值为2,所以=2,即ω=,‎ 所以f(x)=2sin.‎ 当2kπ-≤πx-≤2kπ+,‎ 即2k-≤x≤2k+,k∈Z时函数f(x)单调递增,则f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为.‎ ‎2.(2019·杭州市七校联考)已知函数y=4sin,x∈的图象与直线y=m有三个交点,其交点的横坐标分别为x1,x2,x3(x10),若方程f(x)=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,则实数ω的取值范围为________.‎ 解析:因为f(x)=2sin,方程2sin=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,即sin=-在(0,π)上有且只有四个实数根.故ωx-=-+2kπ或ωx-=+2kπ,k∈Z.所以x=+或x=+,k∈Z.设直线y=-1与y=f(x)在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A,第5个交点为B,则xA=+,xB=+.因为方程f(x)=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,所以xA<π≤xB,即+<π≤+,计算得出<ω≤.‎ 答案: ‎4.将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位,再向下平移2个单位,得到g(x)的图象,若g(x1)g(x2)=16,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为________.‎ 解析:函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位,‎ 可得y=2sin的图象,‎ 再向下平移2个单位,‎ 得到g(x)=2sin-2的图象,‎ 若g(x1)g(x2)=16,且x1,x2∈[-2π,2π],‎ 则g(x1)=g(x2)=-4,‎ 则2x+=-+2kπ,k∈Z,‎ 即x=-+kπ,k∈Z,‎ 由x1,x2∈[-2π,2π],‎ 得x1,x2∈,‎ 当x1=,x2=-时,2x1-x2取最大值,故答案为.‎ 答案: ‎5.(2019·温州中学高三模考)已知函数f(x)=sincos+cos2.‎ ‎(1)求函数f(x)图象对称中心的坐标;‎ ‎(2)如果△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对的角为B,求f(B)的取值范围.‎ 解:(1)f(x)=sin+=sin+cos+=sin+,‎ 由sin=0即+=kπ(k∈Z)得x=π,k∈Z,‎ 即对称中心为,k∈Z.‎ ‎(2)由已知b2=ac,cos B==≥=,所以≤cos B<1,0,所以sin0,-<φ<)相邻两对称轴间的距离为,若将f(x)的图象先向左平移个单位,再向下平移1个单位,所得的函数g(x)为奇函数.‎ ‎(1)求f(x)的解析式,并求f(x)的对称中心;‎ ‎(2)若关于x的方程3[g(x)]2+m·g(x)+2=0在区间上有两个不相等的实根,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)由题意可得==,‎ 所以ω=2,‎ f(x)=sin(2x+φ)+b,‎ 所以g(x)=sin+b-1‎ ‎=sin(2x++φ)+b-1.‎ 再结合函数g(x)为奇函数,可得+φ=kπ,k∈Z,且b-1=0,再根据-<φ<,‎ 可得φ=-,b=1,‎ 所以f(x)=sin+1,g(x)=sin 2x.‎ 令2x-=nπ,n∈Z,可得x=+,‎ 所以f(x)的对称中心(n∈Z).‎ ‎(2)由(1)可得g(x)=sin 2x,在区间上,2x∈[0,π],令t=g(x),则t∈[0,1].‎ 由关于x的方程3[g(x)]2+m·g(x)+2=0在区间上有两个不相等的实根,‎ 可得关于t的方程3t2+m·t+2=0在区间(0,1)上有唯一解.‎ 令h(t)=3t2+m·t+2,因为h(0)=2>0,则满足h(1)=3+m+2<0,或 解得m<-5或m=-2.‎
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