2018届二轮复习（文）　三角函数、解三角形与平面向量专题三第1讲学案（全国通用）

2018届二轮复习（文）　三角函数、解三角形与平面向量专题三第1讲学案（全国通用）

第1讲　三角函数的图象与性质 ‎1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．‎ ‎2．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．‎ 热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 ‎1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎2．同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.‎ ‎3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．‎ 例1　(1)(2017·河北省石家庄市第二中学联考)已知点M在角q终边的延长线上，且|OM|＝1，则M的坐标为(　　)‎ A．(cos q，sin q) B．(－cos q，sin q)‎ C．(－cos q，－sin q) D．(cos q，－sin q)‎ 答案　C 解析　由题意得点M在角q终边的延长线上，且|OM|＝1，则M的横坐标为x＝|OM|cos(π＋q)＝－cos q，‎ 纵坐标为y＝|OM|sin(π＋q)＝－sin q，‎ 所以点M为(－cos q，－sin q)，故选C.‎ ‎(2)(2017届重庆期末)已知tan α＝2，则＝________.‎ 答案　 解析　∵tan α＝2，∴＝＝ .‎ 思维升华　(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．‎ ‎(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．‎ 跟踪演练1　(1)(2017·山西省高三名校联考)已知角α终边上一点P(－3，4)，则cos(－π－α)的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 答案　C 解析　tan α＝－，cos α＝－，sin α＝，‎ 所求＝－cos α＝，故选C.‎ ‎(2)如图，以Ox为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________.‎ 答案　 解析　由三角函数定义，得cos α＝－，sin α＝，‎ ‎∴原式＝＝ ‎＝2cos2α＝2×2＝.‎ 热点二　三角函数的图象及应用 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ‎(1)“五点法”作图：‎ 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．‎ ‎(2)图象变换：‎ y＝sin xy＝sin(x＋φ)‎ y＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)．‎ 例2　(1)(2017届合肥模拟)要想得到函数y＝sin 2x＋1的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度， 再向上平移1个单位长度 B．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案　B 解析　因为y＝sin 2x＋1＝cos＋1‎ ‎＝cos＋1，‎ 故只需将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y＝sin 2x＋1的图象．故选B.‎ ‎(2)(2017·河北省衡水中学调研)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是(　　)‎ A．[6k－1,6k＋2](k∈Z) B．[6k－4,6k－1](k∈Z)‎ C．[3k－1,3k＋2](k∈Z) D．[3k－4,3k－1](k∈Z)‎ 答案　B 解析　由|AB|＝5，yA－yB＝4，得xB－xA＝3，xA＝－1，即T＝2×3＝6，ω＝＝，‎ 又×(－1)＋φ＝2kπ＋，k∈Z,0≤φ≤π，所以φ＝.‎ 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，解得6k－4≤x≤6k－1，k∈Z，故选B.‎ 思维升华　(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．‎ ‎(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．‎ 跟踪演练2　(1)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　C 解析　由题意，由于函数y＝sin＝sin＝sin，观察发现可由函数y＝sin向左平移个单位长度，可得到函数y＝sin的图象，故选C.‎ ‎(2)(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图，则S＝f(1)＋…＋f(2 017)等于(　　)‎ A．0 B. C. D. 答案　C 解析　由题设中提供的图象信息可知 解得A＝，b＝1，T＝4⇒ω＝＝，‎ 所以f(x)＝sin＋1，‎ 又f(0)＝sin＋1＝sin φ＋1＝1⇒sin φ＝0，可得φ＝kπ，‎ 所以f(x)＝sin＋1，由于周期T＝4，‎ ‎2 017＝504×4＋1，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，‎ 所以S＝f(1)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＝2 016＋f(2 017)＝2 016＋f(1)＝2 016＋＝，故选C.‎ 热点三　三角函数的性质 ‎1．三角函数的单调区间：‎ y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；‎ y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；‎ y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)．‎ ‎2．y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．‎ 例3　(2017·北京)已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.‎ ‎(1)解　f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)证明　因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，‎ 所以sin≥sin＝－，‎ 所以当x∈时，f(x)≥－.‎ 思维升华　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；‎ 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．‎ 跟踪演练3　已知函数f(x)＝4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期是π.‎ ‎(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ 解　(1)f(x)＝4cos ωx·sin ‎＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1‎ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx－1‎ ‎＝2sin－1，‎ 最小正周期是＝π，所以ω＝1，‎ 从而f(x)＝2sin－1.‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.‎ ‎(2)当x∈时，∈，‎ ‎2sin∈，‎ 所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－1.‎ ‎‎ 真题体验 ‎1．(2017·全国Ⅱ改编)函数f(x)＝sin的最小正周期为________．‎ 答案　π 解析　函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.‎ ‎2．(2017·全国Ⅰ改编)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是________．(填序号)‎ ‎①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2；‎ ‎②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2；‎ ‎③把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2；‎ ‎④把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.‎ 答案　④‎ 解析　因为y＝sin＝cos＝‎ cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.‎ ‎3．(2017·天津改编)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.‎ 答案　　 解析　∵f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎∴2sin＝2.‎ 得φ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.‎ ‎4．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．‎ 答案　 解析　f(x)＝2cos x＋sin x＝，‎ 设sin α＝，cos α＝，‎ 则f(x)＝sin(x＋α)，‎ ‎∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.‎ 押题预测 ‎1．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 押题依据　本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错．‎ 答案　A 解析　由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T＝π，‎ 所以ω＝＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x.‎ 把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin＝sin，所以要得到函数g(x)的图象，只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可．故选A.‎ ‎2.如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(2，0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为(　　)‎ A. 　　　 B. C．8 　　　 D．16‎ 押题依据　由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查了数形结合思想．‎ 答案　B 解析　由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．‎ 则M，由两点间距离公式，得 PM＝ ＝2，解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，由此得＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，‎ 由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)，得 f(x)＝Asin，‎ 从而f(0)＝Asin＝－8，得A＝.‎ ‎3．已知函数f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x.‎ ‎(1)若x是某三角形的一个内角，且f(x)＝－，求角x的大小；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值．‎ 押题依据　三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．‎ 解　(1)∵f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x ‎＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin 2x ‎＝cos 2x－sin 2x ‎＝ ‎＝cos，‎ ‎∴f(x)＝cos＝－，‎ 可得cos＝－.‎ 由题意可得x∈(0，π)，可得2x＋∈，‎ 可得2x＋＝或，∴x＝或.‎ ‎(2)∵x∈，2x＋∈，‎ ‎∴cos∈，‎ ‎∴f(x)＝cos∈[－，1]．‎ ‎∴f(x)的最小值为－，此时2x＋＝π，‎ 即x＝.‎ A组　专题通关 ‎1．已知tan α＝3，则的值为(　　)‎ A．－ B．－3‎ C. D．3‎ 答案　A 解析　＝＝－＝－.‎ ‎2．(2017届重庆市调研)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象(　　)‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 答案　C 解析　由函数y＝sin＝sin，所以只需把函数y＝sin 2x的图象沿着x轴向左平移个单位长度即可，故选C.‎ ‎3．(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知函数y＝sin(2x＋φ)＋1的图象关于直线x＝－对称，则φ的可能取值是(　　)‎ A. B. － C. D. 答案　A 解析　由题意，得2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z，在四个选项中，只有满足题意，故选A.‎ ‎4．(2017届沈阳市郊联体期末)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)‎ A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 答案　A 解析　观察图象知，A＝1，T＝2＝π，ω＝＝2，即y＝sin(2x＋φ)；将点 代入得sin＝0，结合|φ|≤，得φ＝，所以y＝sin.‎ 故选A.‎ ‎5．(2017·全国Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)‎ A. B．1 C. D. 答案　A 解析　方法一　∵f(x)＝sin＋cos ‎＝＋cos x＋sin x ‎＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ‎＝sin x＋cos x＝sin，‎ ‎∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.‎ 故选A.‎ 方法二　∵＋＝，‎ ‎∴f(x)＝sin＋cos ‎＝sin＋cos ‎＝sin＋sin ‎＝sin≤.‎ ‎∴f(x)max＝.‎ 故选A.‎ ‎6．(2017届安徽省合肥市模拟)已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin2α＋sin 2α＝________.‎ 答案　1或 解析　由sin 2α－2＝2cos 2α，得sin 2α－2(1＋cos 2α)＝0，即2sin αcos α－4cos2α＝0，所以cos α＝0或tan α＝2.‎ 当cos α＝0时，sin2α＋sin 2α＝1－cos2α＋2sin αcos α＝1；‎ 当tan α＝2时，sin2α＋sin 2α＝ ‎＝＝＝，‎ 故答案为1或.‎ ‎7．(2017·浙江省温州中学模拟)函数f(x)＝2cos2x＋cos－1，则函数的最小正周期为_____，在[0，π]内的一条对称轴方程是________________．‎ 答案　π　x＝或x＝中的一条 解析　因为f(x)＝1＋cos 2x＋cos 2x＋sin 2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以最小正周期T＝＝π；解sin＝±1，得2x＝kπ＋，也即x＝＋(k∈Z)是对称轴方程，由于x∈[0，π]，‎ 所以x＝或x＝.‎ ‎8．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．‎ 答案　1‎ 解析　f(x)＝1－cos2x＋cos x－ ‎＝－2＋1.‎ ‎∵x∈，∴cos x∈[0,1]，‎ ‎∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.‎ ‎9．(2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学联考)若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间上的最小值大于零，则a的取值范围是________．‎ 答案　(1，＋∞)‎ 解析　因为f(x)＝1－2sin2x＋asin x，令sin x＝t，因为x∈，故t∈，则函数f(t)＝－2t2＋at＋1是开口向下，对称轴为t＝的抛物线，由于f(1)＝a－1，‎ f ＝(a＋1)，结合图象可知，⇒a>1.‎ ‎10．(2017·河北省衡水中学二调)已知向量m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，设函数f(x)＝m·n＋b.‎ ‎(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．‎ 解　m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，‎ f(x)＝m·n＋b＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋1＋b ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＋b ‎＝sin＋＋b.‎ ‎(1)∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 解得ω＝3k＋1(k∈Z)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，‎ ‎∴f(x)＝sin(2x＋)＋＋b，‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin＋＋b，‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴2x＋∈，‎ ‎∴当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；‎ 当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．‎ 又f(0)＝f ，‎ ‎∴当f >0≥f 或f ＝0时，函数f(x)有且只有一个零点．‎ 即sin ≤－b－0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝f 且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．‎ 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴－2asin∈[－2a，a]．‎ ‎∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，‎ ‎∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝－4sin－1，‎ ‎∴g(x)＝f ＝－4sin－1‎ ‎＝4sin－1.‎ 又由lg g(x)>0，得g(x)>1，‎ ‎∴4sin－1>1，∴sin>，‎ ‎∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，‎ g(x)单调递增，即kπ

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