【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试55曲线与方程作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试55曲线与方程作业

考点测试55　曲线与方程 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 ‎1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 ‎2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法 ‎3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 一、基础小题 ‎1．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)‎ A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线 答案　D 解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．‎ ‎2．过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝－12y D．x2＝12y 答案　D 解析　由抛物线的定义知，过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0，3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y．故选D．‎ ‎3．点A，B分别为圆M：x2＋(y－3)2＝1与圆N：(x－3)2＋(y－8)2＝4上的动点，点C在直线x＋y＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)‎ A．7 B．‎8 C．9 D．10‎ 答案　A 解析　设M(0，3)关于直线x＋y＝0的对称点为P(－3，0)，且N(3，8)，∴|AC|＋|BC|≥|PN|－1－2＝－3＝7．故选A．‎ ‎4．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)‎ A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 答案　D 解析　由已知得|MF|＝|MB|．由抛物线定义知点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．故选D．‎ ‎5．与圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的动圆的圆心在(　　)‎ A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 答案　B 解析　圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)的距离减去到(0，0)的距离等于1，由此可知动圆的圆心在双曲线的一支上．故选B．‎ ‎6．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________．‎ 答案　＋＝1(x≠－2)‎ 解析　设圆M，圆N与动圆P的半径分别为r1，r2，R，因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．‎ ‎7．设F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．‎ 答案　x2＋y2＝4‎ 解析　由题意，延长F1D，F‎2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F‎1A|＝|AB|，又O为F‎1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，从而可知|DO|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4．‎ ‎8．点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆C相内切且过P点，则圆心M的轨迹方程为________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　已知圆为(x－3)2＋y2＝64，其圆心C(3，0)，半径为8，由于动圆M过P点，所以|MP|等于动圆的半径r，即|MP|＝r．又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差，即|MC|＝8－r，从而有|MC|＝8－|MP|，即|MC|＋|MP|＝8．‎ 根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆，‎ 并且‎2a＝8，a＝4；‎2c＝6，c＝3；b2＝16－9＝7，‎ 因此M点的轨迹方程为＋＝1．‎ 二、高考小题 ‎9．(2015·广东高考)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ 答案　C 解析　由已知得解得 故b＝3，从而所求的双曲线方程为－＝1．故选C．‎ ‎10．(2015·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)‎ A．x2－＝1 B．－y2＝1‎ C．－x2＝1 D．y2－＝1‎ 答案　C 解析　由于焦点在y轴上，故排除A，B．由于渐近线方程为y＝±2x，故排除D．故选C．‎ ‎11．(2015·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ 答案　D 解析　由题意知点(2，)在渐近线y＝x上，所以＝，又因为抛物线的准线为x＝－，所以c＝，故a2＋b2＝7，所以a＝2，b＝．故双曲线的方程为－＝1．选D．‎ 三、模拟小题 ‎12．(2019·福建漳州八校联考)已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足＝2，·＝0，则点G的轨迹方程是(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ 答案　A 解析　由＝2，·＝0知所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中‎2a＝6，‎2c＝2，∴b2＝4，∴点G的轨迹方程为＋＝1，故选A．‎ ‎13．(2018·深圳调研)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，AD＝2，E，F分别为边CD，AD的中点，M为AE和BF的交点，则以A，B为长轴端点，且经过M的椭圆的标准方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋y2＝1‎ 答案　D 解析　以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则BF：x＝－4y＋2，AE：y＝x＋2，联立两直线方程可得M－，．显然在椭圆＋y2＝1上，故选D．‎ ‎14．(2018·长沙统考)设点A(1，0)，B(－1，0)，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值m(m≠0)，若点M的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A，B)，则m＝(　　)‎ A．15 B．‎3 C． D． 答案　B 解析　设动点M(x，y)，则直线AM的斜率kAM＝，直线BM的斜率kBM＝，所以·＝＝m，即x2－＝1．因为点M的轨迹是焦距为4的双曲线(‎ 除去点A，B)，所以1＋m＝4，所以m＝3．故选B．‎ ‎15．(2018·江西九江联考)设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为________．‎ 答案　y2＝4x 解析　设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，由＝2，得即因为⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0，即－x＋y2＝0，所以点N的轨迹方程为y2＝4x．‎ ‎16．(2018·中原名校联考)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于A1，A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为________．‎ 答案　＋y2＝1(x≠0，且x≠±)‎ 解析　由题设知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，则有：直线A1P的方程为y＝(x＋)，　①‎ 直线A2Q的方程为y＝(x－)，　②‎ 联立①②，解得得　③‎ 所以x≠0，且|x|<，因为点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－y＝1．‎ 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为＋y2＝1(x≠0，且x≠±)．‎ 一、高考大题 ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ 解　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，‎ 则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．‎ 由＝得x0＝x，y0＝y．‎ 因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1．‎ 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2．‎ ‎(2)证明：由题意知F(－1，0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，‎ ·＝3＋‎3m－tn，＝(m，n)，‎ ＝(－3－m，t－n)．‎ 由·＝1得－‎3m－m2＋tn－n2＝1，‎ 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋‎3m－tn＝0．‎ 所以·＝0，即⊥．‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．‎ ‎(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ 解　(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，‎ 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC．‎ 所以|EB|＝|ED|，‎ 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|．‎ 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，‎ 从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4．‎ 由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0．‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝．‎ 所以|MN|＝|x1－x2|＝．‎ 过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为，‎ 所以|PQ|＝2＝4．‎ 故四边形MPNQ的面积 S＝|MN||PQ|＝12．‎ 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8)．‎ 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12．‎ 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8)．‎ ‎3．(经典湖北高考)一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3．当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C．以O 为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)设点D(t，0)，(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，＝2，且||＝||＝1，‎ 所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，‎ 且即 且t(t－2x0)＝0．‎ 由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，‎ 于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，‎ 代入x＋y＝1，可得＋＝1，‎ 即所求的曲线C的方程为＋＝1．‎ ‎(2)a．当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8．‎ b．当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，‎ 由消去y可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－16＝0．‎ 因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k‎2m2‎－4(1＋4k2)(‎4m2‎－16)＝0，即m2＝16k2＋4．①‎ 又由得P；‎ 同理可得Q．‎ 由原点O到直线PQ的距离为d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，‎ 可得S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|‎ ‎＝|m|＝．②‎ 将①代入②，得S△OPQ＝＝8·．‎ 当k2>时，S△OPQ＝8·＝8>8；‎ 当0≤k2＜时，S△OPQ＝8·＝8．‎ 因0≤k2<，则0＜1－4k2≤1，≥2，‎ 所以S△OPQ＝8≥8，‎ 当且仅当k＝0时取等号．‎ 所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8．‎ 综合a，b，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．‎ 二、模拟大题 ‎4．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，‎ 过F的直线l交C于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点．AO，BO的延长线与直线x＝－4分别交于P，Q两点．‎ ‎(1)求动点M的轨迹方程；‎ ‎(2)连接OM，求△OPQ与△BOM的面积比．‎ 解　(1)设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由题知抛物线焦点F的坐标为(1，0)，‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，‎ 所以x1＋x2＝2＋，‎ 所以中点M的横坐标为x＝1＋，‎ 代入y＝k(x－1)，得y＝，‎ 即中点M为1＋，，‎ 所以 消去参数k，得其方程为y2＝2x－2．‎ 当直线l的斜率不存在时，线段AB的中点为焦点F(1，0)，满足此式，故动点M的轨迹方程为y2＝2x－2．‎ ‎(2)设AB：my＝x－1，代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∴y1＋y2＝‎4m，y1·y2＝－4，‎ 易得P－4，－，Q－4，－，|PQ|＝4|y1－y2|，‎ ‎∴S△OPQ＝8|y1－y2|，‎ 又∵S△OMB＝S△OAB＝··|OF|·|y2－y1|＝|y1－y2|，‎ 故△OPQ与△BOM的面积比为32．‎ ‎5．(2018·郑州质检三)已知动点M(x，y)满足 ＋＝2．‎ ‎(1)求动点M的轨迹E的方程；‎ ‎(2)设A，B是轨迹E上的两个动点，线段AB的中点N在直线l：x＝－上，线段AB的中垂线与E交于P，Q两点．问是否存在点N，使以PQ为直径的圆经过点(1，0)？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由椭圆的定义可得动点M的轨迹是以F1(－1，0)，F2(1，0)为左、右焦点，半长轴长a＝的椭圆，即c＝1，故b2＝a2－c2＝1，从而动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1．‎ ‎(2)当直线AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝－，‎ 此时点P(－，0)，Q(，0)，‎ 椭圆E的右焦点F2(1，0)，·＝－1，不符合题意．‎ 当直线AB不垂直于x轴时，设存在点N－，m(m≠0)，‎ 直线AB的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0，‎ 则－1＋4mk＝0，故k＝．‎ 此时，直线PQ的斜率为k1＝－‎4m，直线PQ的方程为y－m＝－4mx＋，‎ 即y＝－4mx－m．‎ 联立消去y，整理得(‎32m2‎＋1)x2＋‎16m2‎x＋‎2m2‎－2＝0，设点P(x3，y3)，Q(x4，y4)，所以x3＋x4＝－，x3x4＝．‎ 由题意·＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋(4mx3＋m)(4mx4＋m)‎ ‎＝(1＋‎16m2‎)x3x4＋(‎4m2‎－1)(x3＋x4)＋1＋m2‎ ‎＝＋＋1＋m2‎ ‎＝＝0，‎ 所以m＝±．‎ 因为N在椭圆内，所以m2＜，‎ 所以m＝±符合条件．‎ 综上，存在两点N符合条件，坐标为 ‎－，和－，－．‎ ‎6．(2018·青岛模拟)在平面直角坐标系中，已知点F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点1，在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为4．‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)已知动直线l：y＝kx＋m与点P的轨迹交于不同的两点M，N，且与圆W：x2＋y2＝交于不同的两点G，H，当m变化时，恒为定值，求常数k的值．‎ 解　(1)设点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)(c＞0)．‎ 由已知＝2，所以c＝‎2a，c2＝‎4a2，b2＝c2－a2＝‎3a2．‎ 又因为点1，在双曲线C上，‎ 所以－＝1，‎ 则b2－a2＝a2b2，即‎3a2－a2＝‎3a4，‎ 解得a2＝，a＝，所以c＝1．‎ 连接PQ，因为|OF1|＝|OF2|，|OP|＝|OQ|，‎ 所以四边形PF1QF2为平行四边形．‎ 因为四边形PF1QF2的周长为4，‎ 所以|PF2|＋|PF1|＝2＞|F‎1F2|＝2，‎ 所以动点P的轨迹是以点F1，F2分别为左、右焦点，长轴长为2的椭圆(除去左、右顶点)，‎ 可得动点P的轨迹方程为＋y2＝1(y≠0)．‎ ‎(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由题意 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋‎2m2‎－2＝0，‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝．‎ 又Δ＞0，得1＋2k2－m2>0，‎ 所以|MN|＝ ‎＝ ‎＝2·．‎ 又定圆x2＋y2＝的圆心到直线l：y＝kx＋m的距离为d＝，‎ 所以|GH|＝2＝2．‎ 因为＝2为定值，‎ 所以设＝λ(λ为定值)，‎ 化简得[2λ(1＋2k2)2－(1＋k2)2]m2＋(1＋k2)2(1＋2k2)－3λ(1＋2k2)2(1＋k2)＝0，‎ 所以2λ(1＋2k2)2－(1＋k2)2＝0且(1＋k2)2(1＋2k2)－3λ(1＋2k2)2(1＋k2)＝0，解得k＝±1．‎