高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题17几何证明选讲理

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题17几何证明选讲理

【备战 2013】高考数学 5 年高考真题精选与最新模拟 专题 17 几何证明选讲 理 【2012 高考真题精选】 (2012·辽宁卷) 如图 1-8,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连结 DB 并延 长交⊙O 于点 E.证明: (1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE. (2012·江苏卷]如图 1-7,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C, 使 BD=DC,连结 AC,AE,DE. 求证:∠E=∠C. 图 1-7 【答案】A.证明:如图,连结 OD,因为 BD=DC,O 为 AB 的中点, (2012·湖北卷]如图 1-6 所示,点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动,AB=4,连结 OD,过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C,则 CD 的最大值为________. (2012·全国卷)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE=BF=3 7 .动点 P 从 E 出发 沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与 正方形的边碰撞的次数为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 (2012·北京卷)如图 1-3,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E,则( ) A.CE·CB=AD·DB B.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD2 D.CE·EB=CD2 (2012·广东卷]如图 1-3,圆 O 的半径为 1,A、B、C 是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则 PA=________. (2012·湖南卷)如图 1-3,过点 P 的直线与⊙O 相交于 A,B 两点.若 PA=1,AB=2,PO=3,则⊙O 的 半径等于________. (2012·课标全国卷]如图 1-6,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. (2012·陕西卷]如图 1-5,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥DB,垂足为 F,若 AB=6, AE=1,则 DF·DB=________. (2012·天津卷)如图 1-3 所示,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于 点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF=3 2 ,则线段 CD 的长为 ________. 图 1-3 【2011 高考真题精选】 (2011·北京卷)如图 1-2,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G. 图 1-2 给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA; ②AF·AG=AD·AE; ③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 图 1-2 (2011·广东卷)如图 1-2,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆 上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=________. (2011·广东卷)如图 1-3,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2, 图 1-3 E、F 分别为 AD、BC 上点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为________. (2011·湖南卷)如图 1-2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4,AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长为________. 【答案】 2 3 3 【解析】 连结 AO 与 AB,因为 A,E 是半圆上的三等分点,所以∠ABO=60°,∠EBO =30°. 因为 OA=OB=2,所以△ABO 为等边三角形.又因为∠EBO=30°,∠BAD=30°,所以 F 为△ABO 的中 心,易得 AF=2 3 3 . (2011·辽宁卷)选修 4-1:几何证明选讲 图 1-11 如图 1-11,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,EC=ED. (1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. (2011·辽宁卷) 如图 1-10,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线 图 1-10 与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED. (1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. (2011·课标全国卷)如图 1-10,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合. 图 1-10 已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根. (1)证明:C,B,D,E 四点共圆; (2)若∠A=90°,且 m=4,n=6,求 C,B,D,E 所在圆的半径. 图 1-11 【解答】 (1)证明:连结 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD×AB=mn=AE×AC, (几何证明选做题)如图 1-5,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且 AB=6,AC=4,AD=12,则 BE=________. 【答案】4 2 【解析】 在 Rt△ADC 中,CD=8 2;在 Rt△ADC 与 Rt△ABE 中,∠B=∠D,所以 △ADC∽△ABE,故AB AD =BE CD ,BE=AB AD ×CD=4 2. 【2010 高考真题精选】 1.(2010 年高考天津卷理科 14)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 A B 和 DC 相交于 点 P。若 1 2 PB PA  , 1 3 PC PD  ,则 BC AD 的值为 。 【答案】 6 6 【解析】因为 ABCD 四点共圆,所以∠ DAB  ∠PCB, ∠CDA=∠PBC,因为∠P 为公共角,所以 PBC ∽ PAB ,所以 PB PD  PC PA  BC AD ,设 PC=x,PB=y,则有 3 2 x y y x  ,即 6 2 yx  ,所以 BC AD = 3 x y  6 6 。 2. (2010 年高考湖南卷理科 10)如图 1 所示,过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A,B 两点,已 知 PA=2,点 P 到 O 的切线长 PT =4,则弦 AB 的长为________. 3.(2010 年高考广东卷理科 14)(几何证明选讲选做题)如图 3,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P,PD= 2 3 a ,∠OAP=30°, 则 CP=______. 【答案】 9 8 a 【解析】因为点 P 是 AB 的中点,由垂径定理知, OP AB . 在 Rt OPA 中, 3cos30 2BP AP a a   .由相交线定理知, BP AP CP DP   ,即 3 3 2 2 2 3a a CP a   ,所以 9 8CP a . 4.(2010 年高考陕西卷理科 15)(几何 证明选做题)如图,已知 ABCRt 的两条直角边 BCAC, 的长 分别为 cmcm 4,3 ,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D ,则 __________ DA BD . 【解析】(方法一)∵易知 543 22 AB ,又由切割线定理得 ABBDBC 2 , ∴ 5 16542  BDBD . 于是, 5 9 5 165  BDABDA .故所求 9 16 9 5 5 16  DA BD . (方法二)连 CD ,∵易知 CD 是 ABCRt 斜边上的高,∴由射影定理得 ABBDBC 2 , ABDAAC 2 .故所求 9 16 3 4 2 2 2 2   AC BC ABDA ABBD DA BD . 5.(2010 年高考北京卷理科 12)如图,O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A。若 BD  AE,AB=4, BC=2, AD=3,则 DE= ;CE= 。 6.(2010 年高考江苏卷试题 21)选修 4-1:几何证明选讲 AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C,若 DA=DC,求证:AB=2BC。 A B C D O B O C A D 【解析】 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力。 (方法一)证明:连结 OD,则:OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=300,∠DOC=600, 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 (方法二)证明:连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=900。 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。 故 AB=2BC。 7. (2010 年全国高考宁夏卷 22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已经圆上的弧 ,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; (Ⅱ)BC2=BF×CD。 【2009 年高考真题精选】 1.(2009 广东几何证明选讲选做题 15)如图 4,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且  45,4 ACBAB , 则圆 O 的面积等于 . 【解析】解法一:连结 OA 、OB ,则 090AOB ,∵ 4AB , OBOA  ,∴ 22OA ,则  8)22( 2 圆S ;解法二: 2224 45sin 42 0  RR ,则  8)22( 2 圆S . 2.(2009 海南宁夏 22)如图,已知 ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,  60B ,F 在 AC 上,且 AE=AF。 (I)证明:B,D,H,E 四点共圆; (Ⅱ)证明: .DEFCE 平分 3.(2009 辽宁 22) 已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧 AC 的点(不与点 A,C 重合),延长 BD 至 E。 (I)求证:AD 的延长线平分∠CDE; (II)若∠BAC=30°,△ABC 中 BC 边上的高为 32  ,求△ABC 外接圆的面积。 【2008 年高考真题精选】 1.(2008 广东,15)(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2,AC 是圆 O 直 径,PC 与圆 O 交于点 B,PB=1,则圆 O 的半径 R= 。 【答案】 3 【解析】作出图如下。 由 切 割 线 定 理 得 PA2=PB·PC , ∴PC=4, ,32 AC .3 R 故填 .3 3.(2008 江苏,21A,10 分)如图,设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E, ∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D。 求证:ED2=EC·EB。 4.(2008 宁夏、海南,22,10 分)(选修 4—1:几何证明选讲)如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条 切线,切点为 A,过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM,垂足为 P。 (1)证明:OM·OP=OA2; (2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交直线 ON 于 K。证明: ∠OKM=90°。 .OK OM OP ON  又∠NOP=∠MOK, 所以△ONP∽△OMK, 故∠OKM=∠OPN=90° 5.(2008 海南宁夏 22)选修 1—4:几何证明选讲 如图 ,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点 A,过A点作直线 AP 垂直直线 OM,垂足为 P. (Ⅰ)证明:OM·OP=OA2; (Ⅱ)N 为线段 AP上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点,过 B 点的切线交直线 ON 于 K.证明: ∠OKM=90° 【最新模拟】 1.如图 1,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且 AB=4,∠ACB=45°,则圆 O 的半径 R=________. 图 1 图 2 解析:如图 2 所示,连接 OA、OB, 则∠AOB=90°, ∵AB=4,OA=OB, ∴OA=2 2,即 R=2 2. 答案:2 2 图 3 2.如图3,AB、CD 是圆 O 内的两条平行弦,BF∥AC,BF 交 CD 于点 E,交圆 O 于点 F,过 A 点的切线交 DC 的延长线于点 P,若 PC=ED=1,PA=2,则 AC 的长为________. 3.如图 4,已知圆 O 的半径为 3, PAB 和 PCD 为圆 O 的两条割线,且 O 在线段 AB 上,若 PB=10,PD=8, 则线段 CD=________;∠CBD=________. 图 4 解析:因为 PA=10-2OA=4,PC·PD =PA·PB=40,所以 PC=5,CD=PD-PC=3,连接 OC,OD,则 △OCD 为正三角形,所以∠COD=60°,则∠CBD=30°. 答案:3 30° 图 5 4.如图 5,△ABC 的外角∠EAC 的平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D,若 AB 是△ABC 外接圆的直径,且 ∠EAC=120°,BC=6,则线段 AD 的长为________. 解析:因为 AB 为直径,所以∠ACB=90°,又∠EAC=120°,所以∠BAC=60°,又 BC=6,得 AC=2 3, 又∠ACD=90°,∠CAD=60°,则在 Rt△ACD 中可得 AD=4 3. 答案:4 3 图 6 5.如图 6,已知点 C 在⊙O 的直径 BE 的延长线上,CA 切⊙O 于点 A,若 AB=AC,则AC BC =________. 6.如图 7,⊙O 与⊙P 相交于 A、B 两点,圆心 P 在⊙O 上,⊙O 的弦 BC 切⊙P 于点 B,CP 及其延长线交⊙P 于 D,E 两点,过点 E 作 EF⊥CE,交 CB 的延长线于点 F.若 CD=2,CB=2 2,则由 B、P、E、F 四点所确定 的圆的直径 为________. 则在 Rt△FEP 中,PF= PE2+EF2= 3,即由 B、P、E、F 四点确定的圆的直径为 3. 答案: 3 图 8 7.如图 8,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,AD=2,AC=2 5,则 AB=________. 8.如图 9 所示,圆的内接三角形 ABC 的角平分线 BD 与 AC 交于点 D,与圆交于点 E,连接 AE,已知 ED=3, BD=6,则线段 AE 的长=________. 9.如图 10,正△ABC 的边长为 2,点 M,N 分别是边 AB,AC 的中点,直线 MN 与△ABC 的外接圆的交点为 P, Q,则线段 PM=________. 解析:设 PM=x,则 QN=x,由相交弦定理可得 PM·MQ=BM·MA,即 x·(x+1)=1,解得 x= 5-1 2 . 答案: 5-1 2 10.如图,A,B 是两圆的交点,AC 是小圆的直径,D 和 E 分别是 CA 和 CB 的延长线与大圆的交点,已 知 AC=4,BE=10,且 BC=AD,则 DE=________. 11.如图,过圆外一点 P 作⊙O 的割线 PBA 与切线 PE,E 为切点,连接 AE、BE,∠APE 的平分线分别与 AE、 BE 相交于点 C、D,若∠AEB=30°,则∠PCE=________. 解析:由切割线性质得:PE2=PB·PA,即PE PA =PB PE , ∴△PBE∽△PEA,∴∠PEB=∠PAE,又△PEA 的内角和为 2(∠CPA+∠PAE)+30°=180°,所以∠CPA +∠PAE=75°,即∠PCE=75°. 答案:75° 12.如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=a 2 ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的 中点,则 EF=________. 13.如图,已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,∠B=60°,F 在 AC 上,且 AE=AF. (1)求证:B,D,H,E 四点共圆; (2)求证:CE 平分∠DEF. (2)连接 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,所以∠HBD=30°.由(1)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=30°, 所以 CE 平分∠DEF. 14.如图所示,⊙O 为△ABC 的外接圆,且 AB=AC,过点 A 的直线交⊙O 于 D,交 BC 的延长线于 F,DE 是 BD 的延长线,连接 CD. (1)求证:∠EDF=∠CDF; (2)求证:AB2=AF·AD. 15.如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED. (1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. 证明:(1)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA, 故∠ECD=∠EBA. 所以 CD∥AB. (2)由(1)知,AE=BE,因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GEC. 连接 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE. 又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA, 所以∠AFG+∠GBA=180°, 故 A,B,G,F 四点共圆. 16.已知,如图,AB 是⊙O 的直径,G 为 AB 延长线上的一点,GCD 是⊙O 的割线,过点 G 作 AB 的垂线, 交直线 AC 于点 E,交 AD 于点 F,过 G 作⊙O 的切线,切点为 H.求证: 即 GC·GD=GE·GF.∵GH 为圆的切线,GCD 为割线, ∴GH2=GC·GD,∴GH2=GE·GF. 17.已知四边形 PQRS 是圆内接四边形,∠PSR=90°,过点 Q 作 PR、PS 的垂线,垂足分别为点 H、K. (1)求证:Q、H、K、P 四点共圆; (2)求证:QT=TS. 证明:(1)∵∠PHQ=∠PKQ=90°, ∴Q、H、K、P 四点共圆. (2)∵Q、H、K、P 四点共圆,∴∠HKS=∠HQP, ① ∵∠PSR=90°,∴PR 为圆的直径, ∴∠PQR=90°,∠QRH=∠HQP, ② 而∠QSP=∠QRH, ③ 由①②③得,∠QSP=∠HKS,TS=TK, 又∠SKQ=90°,∵∠SQK=∠TKQ,∴QT=TK,∴QT=TS. 18.如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆 于点 F,连接 FB、FC. (1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA·FD; (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6 cm,求 AD 的长.
查看更多

相关文章

您可能关注的文档