【数学】2018届一轮复习北师大版函数图象与性质教案
第2讲 函数图象与性质
函数及其表示 自主练透 夯实双基
1．函数的三要素
定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．
2．分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
[题组通关]
1．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A. B.
C. D.
A [解析] 由题意可知即所以－＜x＜1.
2．(2016·高考江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．
[解析] 由题意可得f＝f＝－＋a，f＝f＝＝，
则－＋a＝，a＝，
故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.
[答案] －
3．(2016·高考浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝__________，b＝__________．
[解析] 因为f(x)－f(a)＝x3＋3x2－a3－3a2，(x－b)·(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，所以，解得a＝－2，b＝1.
[答案] －2 1
(1)求函数定义域的三种类型
①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
②抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解．
③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．
(2)求函数值时应注意的两个问题
①形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
②对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，此类问题多利用分类讨论思想．
函数的图象及应用 数学思想 活学活用
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1，0
1 D．00，则x的取值范围是________．
【解析】 (1)由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知00，得－2f(2)，则x的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D．(0，1)∪(100，＋∞)
【解析】 (1)函数y＝，y＝ln(x＋1)在(－1，1)上都是增函数，函数y＝cos x在(－1，0)上是增函数，在(0，1)上是减函数，而函数y＝2－x＝()x在(－1，1)上是减函数，故选D.
(2)由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x＞时，f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.故选D.
(3)法一：不等式可化为：
或，
解得1≤x<100或f(2)可化为|lg x|<2，即－2f(x＋2)成立的x的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.
A [解析] 因为f(x)＝log2(3x－1)，2f(x)>f(x＋2)，所以2log2(3x－1)>log2(3x＋5)，
所以，解得x>，故选A.
6．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果f(x＋2 016)＝，那么f·f(－7 984)＝( )
A．2 016 B.
C．4 D.
C [解析] 由题意得，f＝sin＝1，f(－7 984)＝f(2 016－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f·f(－7 984)＝4，故选C.
7．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f(x)，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，<0，则( )
A．f(－2)0的解集为( )
A．{x|x>－1}
B．{x|－1－1且x≠0}
D.
D [解析] 因为x>0时，
f(x)＝log2x＋a，
所以f(4)＝2＋a＝3，
所以a＝1.
所以不等式f(x)>0等价于，
即x>，或，即－10的解集为.
9．已知函数f(x)＝e|ln x|－|x－|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为( )
A [解析] 据已知关系式可得
f(x)＝
作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y＝f(x＋1)的图象．
10．(2016·重庆第一次适应性测试)设曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋a(x>0)关于直线y＝－x对称，且f(－2)＝2f(－1)，则a＝( )
A．0 B.
C. D．1
C [解析] 依题意得，曲线y＝f(x)即为－x＝(－y)2＋a(其中－y>0，即y<0，注意到点(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点是点(－y0，－x0))，化简后得y＝－，即f(x)＝－，于是有－＝－2，由此解得a＝，选C.
11．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋4)．当－2≤x<0时，f(x)＝log2(－x)；当0≤x
<2时，f(x)＝2x－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)的值为( )
A．630 B．1 260
C．2 520 D．3 780
B [解析] 因为f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4.
当－2≤x<0时，f(x)＝log2(－x)；
当0≤x<2时，f(x)＝2x－1.
所以f(1)＝20＝1，f(2)＝f(－2)＝log22＝1，
f(3)＝f(－1)＝log21＝0，f(4)＝f(0)＝2－1＝.
所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋1＋0＋＝，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝504×＝1 260，故选B.
12．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|0，f2(－x)>0，
所以F(x)>0，③错误；因②正确，
所以F(x)在定义域内不可能单调递增，④错误．
[答案] ①②
[能力提升]
1．(2016·东北四市联考(二))已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若f(π)>f(2 019)；故③不正确．
3．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
[解析] 依题意，h(x)＝
当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；
当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，
所以h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
[答案] 1
4．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________．
[解析] 因为x>0时，h(x)＝
易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，
且h(t)>h(2)，
所以h(|t|)>h(2)，
所以0<|t|<2，
所以即
解得－2
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