【数学】2019届一轮复习苏教版不等式问题学案

【数学】2019届一轮复习苏教版不等式问题学案

专题5：不等式问题 问题归类篇 类型一: 解不等式 一、前测回顾 ‎1． 解下列不等式：‎ ‎(1)－3x2＋4x＋4＞0 (2)≤2 (3) 4x－3·2－8≤0 （4）ax2－ax＋1＜0 ‎ 答案：(1)(－，2)；(2) (－∞，－4]∪(－1，＋∞)； (3)(－∞，]；‎ ‎(4) 当0≤a≤4时，解集为Æ；当a＞4时，＜x＜；‎ ‎ 当a＜0时，x＞或x＜．‎ 二、方法联想 ‎ 一元二次不等式 从四个方面考虑：(1)二次项系数为0和正负情况；(2)二次方程根是否存在情况(优先用十字相乘法求根)；(3)二次方程根的大小情况； (4)二次不等式的不等号方向．‎ 分式不等式 ‎(1) ＞0等价于f(x)g(x)＞0； ＜0等价于f(x)g(x)＜0．‎ ‎(2) ≥0等价于 ≤0等价于 三、归类巩固 ‎*1、设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________.‎ ‎(一元二次不等式恒成立)‎ 答案：‎ ‎**2、已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．‎ 答案： ‎ ‎(判别式法)‎ 类型二:不等式恒成立 一、前测回顾 ‎ 1．若对任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4＜0恒成立，则实数m 的取值范围是 ． ‎ ‎2． 若对任意x＞0，都有mx2－2x－1＜0恒成立，则实数m的取值范围是 ．‎ ‎3． 若对任意－1≤m≤1，都有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，则实数x的取值范围是 ．‎ 答案：(1)(－2，2]；(2)(－∞，0]；(3)(－1，2)．‎ 二、方法联想 恒成立问题 ‎ ‎ (1)二次不等式恒成立问题 ‎ 方法1 结合二次函数图象分析． 方法2 分离变量法 ‎ (2)一次不等式恒成立问题 ‎ ①若关于x的不等式ax＋b≥0对任意x∈ [m，n]上恒成立，则 ‎②若关于x的不等式ax＋b≤0 对任意x∈[m，n]上恒成立，则 ‎ 三、归类巩固 ‎*1、已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，求实数m的取值范围.‎ 答案：m<2+2.‎ ‎（数形结合解决恒成立）‎ ‎**2、若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ．‎ 答案：‎ ‎（分离参数求范围）‎ ‎** 3、已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________‎ 答案：‎ ‎（函数性质研究恒成立）‎ ‎**4、若存在正数使成立,则 的取值范围是 . ‎ 答案： ‎ ‎(注意存在性问题与恒成立问题的关联)‎ ‎**5、已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________；‎ 答案 2(考查不等式恒成立).‎ ‎ **6、当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ‎________；‎ 答案 [-6,-2] (考查不等式恒成立).‎ ‎**7、已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________；‎ 答案 (考查不等式恒成立).‎ 类型三:基本不等式 一、前测回顾 ‎1、函数y＝1－4x＋(x＞)的最大值为 ． ‎ ‎2、已知x＞0，y＞0 ，且＋＝2，则x＋y的最小值为 ．‎ 答案：(1)－6；(2)8．‎ 二、方法联想 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．‎ 三个不等式关系：‎ ‎ (1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎ (2)a，b∈R＋，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎ (3)a，b∈R，≤()2，当且仅当a＝b时取等号．‎ 上述三个不等关系揭示了a2＋b2 ，ab ，a＋b三者间的不等关系．‎ 其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2(或ab≤()2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．‎ 三、归类巩固 ‎*1、设a>0，b>0，a+b=5，则+的最大值为 .‎ 解答：3 ‎**2、若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．‎ ‎(结构特征,消元)‎ 答案： ‎ ‎**3.若正实数满足，则的最小值是 ；‎ ‎(考查基本不等式)‎ 答案 ‎ ‎**4．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，若f(x)恒为正值，则k 的取值范围是________；‎ ‎(考查不等式恒成立).‎ 答案 (－∞，－1＋2)‎ ‎***5．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________；‎ ‎(考查函数性质应用,基本不等式).‎ 答案 4‎ 类型四: f(x)＝x＋型函数 一、前测回顾 求下列函数的值域：‎ ‎(1)y＝ ； (2)f(x)＝x＋，x∈[1，2] ‎ 答案：(1)；‎ ‎(2)当a≤1时，值域为[1＋a，2＋]，当1＜a＜2时，值域为[2，2＋]，‎ 当2≤a≤4．值域为[2，1＋a]，当a＞4时，值域为[2＋，1＋a]．‎ 二、方法联想 对于f(x)＝x＋，‎ 当a≤0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；‎ 当a＞0时，f(x)在(－∞，)，(，＋∞)为增函数；在(－，0)，(0，)为减函数．‎ 注意 在解答题中利用函数f(x)＝x＋的单调性时，需要利用导数进行证明．‎ 三、归类巩固 ‎*1、若函数的值域为,则实数的取值范围是 . ‎ ‎ 答案：‎ ‎ (问题转化)‎ ‎**2、设k>0，若关于x的不等式kx+≥5在(1，+∞)上恒成立，则k的最小值为 .‎ 答案：1‎ 类型五: f(x)＝ (或f(x)＝)型 一、前测回顾 求下列函数的值域：‎ ‎ (1)y＝ (x＞) (2)y＝ (x≤－1) ‎ 答案：(1)[，＋∞)；(2)[－，0)．‎ 二、方法联想 令dx＋e＝t进行换元(即将二次部分用一次部分表示)，转化为f(x)＝x＋型函数问题．‎ 三、归类巩固 ‎*1、已知x≥，求f(x)＝最小值．‎ 答案： ‎**2、若不等式对任意恒成立,则实数的最大值为 .‎ ‎(结构特征,消元)‎ 答案：2 ‎ 类型六: 线性规划 一、前测回顾 ‎．设x，y满足约束条件 ，则 ‎(1) ＝x＋2y的最小值为 ；(2) ＝2x－y的最大值为 ； ‎ ‎(3) ＝x2＋2x＋y2的最大值为 ；(4) ＝的最大值为 ．‎ 答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)．‎ 二、方法联想 利用线性规划区域求最值 将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值．‎ 三、归类巩固 ‎**1.已知实数x，y满足若 ＝y－ax取得最大值时的最优解 ‎(x，y)有无数个，则a的值为________；‎ ‎(考查线性规划).‎ 答案 1‎ ‎**2、已知函数,且,则的取值范围是 .‎ ‎(看成线性规划问题或同向不等式相加)‎ 答案： ‎ ‎**3、三次函数在区间上是减函数，那么的取值范围是 ‎ ‎（线性规划与二次函数、导数等知识结合）‎ 答案： ‎ ‎***4、已知是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是 ‎ ‎（线性规划与根的分布结合）‎ 答案： ‎ ‎***5、已知三个正实数满足，则的取值范围是______‎ ‎（三个变量向两个变量转化的线性规划问题）‎ 答案：‎ 综合应用篇 一、例题分析 例1 设函数f(x)＝x2＋ax＋3．‎ ‎(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(3)设不等式f(x)≥a对于满足1≤a≤3的一切a的取值都成立，求x的取值范围．‎ 解：(1)－6≤a≤2．‎ ‎ (2) －7≤a≤2．‎ 思路1：(利用二次函数的图象) ‎ ‎ 注：此方法可改进，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤．对称轴x＝－∈[－，]，可少讨论一种情况．‎ 思路2：(求函数的最值)‎ 注：此方法可改进，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤，再进行分类讨论．‎ 思路3：(变量分离后，再求函数的最值)‎ ‎ (3) x≤－3或x≥0．‎ ‎【教学建议】‎ ‎ 1．本题涉及到不等式恒成立问题，通常思路有3种，‎ ‎①f(x)≥0，"x∈D恒成立Ûf(x)min≥0转化为求函数f(x)的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)；‎ ‎②选进行变量分离，再求函数的最值；即f(x)≥a，"x∈D恒成立Ûf(x)min≥a．‎ ‎③利用函数的图象和几何意义；‎ ‎ 2．本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理．‎ ‎ 第二问是二次不等式对x∈[－2，2]恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优．‎ 例2 设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，求m＋n的取值范围．‎ 解 m＋n∈(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)．‎ 思路1：(基本不等式) ‎ 思路2：(消元转化为求函数的值域)‎ 思路3：(利用图形的几何意义)‎ ‎ ‎ ‎【教学建议】‎ ‎ 1．本题是求二元函数的值域问题．这类问题主要有3种解题思路：‎ ‎ ①直接利用基本不等式，这种方法往往只能求最大值或最小值；‎ ‎②消元转化为一元函数，再求最值；‎ ‎③将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函数的值域．‎ ‎ 2．本题3种方法均可，方法一只适用于本题，方法二是一般方法，本题中方法三难度较大，对思维的要求很高，但比较直观，在小题中使用较好．‎ 例3 在△ABC中，AB＝AC，D为AC中点，且BD＝，求△ABC的面积的最大值．‎ 解：S取最大值2．‎ 思路1：（代数方法）建立目标函数，求最值． ‎ 思路2：（几何方法）‎ ‎【教学建议】‎ ‎1．本题是实际问题中的最值问题．这类问题通常有2种思路：‎ ‎①根据图形的几何意义，确定取得最值的情形，再进行计算；‎ ‎②建立目标函数，转化为求函数的最值．‎ ‎2．本题采用思路2，通过建立目标函数，再求函数的最值，再表示面积时，有两种方法，一是通过两边及夹角求面积，一是通过底边与高求面积，因而有方法一与方法二．‎ ‎3．方法一有纯代数的方法，转化为求双二次函数的最值，运算量较大；方法二结合图形的几何性质，由于BD已知，因而要使面积最大，只需A到BD的距离最大，由于点A要求满足AB＝2AD，因而它的轨迹是一个圆，问题就转化为求轨迹上的点到直线BD距离的最大值问题，所以法二采用了建系求轨迹的方法，运算量小，比方法一简单，但思维的要求更高．‎ 二、反馈巩固 ‎**1． (2016江苏)已知实数x，y满足 ，则x2+y2的取值范围是 ．‎ ‎(考查线性规划).‎ 答案 ‎ ‎**2．设满足约束条件若目标函数的最大值为8，则的最小值为 ．‎ ‎(考查线性规划).‎ 答案 4‎ ‎*3．函数的最小值是 ．‎ ‎(考查基本不等式).‎ 答案 9‎ ‎**4.若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．‎ ‎(考查基本不等式).‎ 答案 ‎**5.（2016上海）设若关于的方程组无解，则的取值范围是____________．‎ ‎(考查基本不等式).‎ 答案 ‎***6.已知，则的最小值为 ．‎ ‎(考查基本不等式).‎ 答案 12‎ ‎**7．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为_________________.‎ ‎(考查函数的单调性, 线性规划).‎ 答案 18 ‎ ‎***8.若关于x的不等式(2ax－1)·ln x≥0 对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的值为________．‎ ‎(考查不等式恒成立问题，不等式与函数的关系). ‎ 答案：；‎ ‎**9．已知函数f(x)＝若f(3－2a2)＞f(a)，则实数a的取值范围为________；‎ ‎(考查函数性质应用).‎ 答案 ∪(1，＋∞) ‎ ‎**10．已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sin x)≤f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎(考查函数性质应用,基本不等式).‎ 解 假设实数m存在，依题意，‎ 可得 即 因为sin x的最小值为－1，且－(sin x－)2的最大值为0，要满足题意，必须有 解得m＝－或≤m≤3.‎ 所以实数m的取值范围是∪.‎ ‎**11．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．‎ ‎(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)‎ ‎(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？‎ ‎(考查函数性质应用,基本不等式).‎ 解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：‎ ‎4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，‎ 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：‎ ‎100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，‎ 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，‎ 所以函数表达式为：‎ y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000‎ ‎＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)；‎ ‎(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：‎ g(x)＝×10 000‎ ‎＝ ‎＝50≥50×(2＋79)‎ ‎＝6 950(元)．‎ 当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．‎ 答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． ‎ ‎**12．某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x>0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x ，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3(a>0)万元．‎ ‎(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围；‎ ‎(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a的最大值．‎ ‎(考查函数性质应用,不等式恒成立).‎ 解 (1)由题意得3(100－x)(1＋2x )≥3×100，‎ 即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，‎ 又因为x>0，所以00，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5(当且仅当x＝50时取得等号)．‎ 所以a的最大值为5.‎ ‎**13. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以 点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.‎ 按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.‎ 设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度).‎ ‎(1)求θ关于x的函数关系式；‎ ‎(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，‎ 弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？‎ ‎(考查扇形的面积与弧长，基本不等式求最值的实际应用问题).‎ 答案：（1）θ＝(0＜x＜10)； ‎ ‎（2）y＝，(0＜x＜10)；当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．‎ ‎**14．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．‎ ‎(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；‎ ‎(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．‎ ‎(考查函数性质,二次不等式应用). ‎ 解 (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，‎ 当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0， ‎ 即a(x＋1)(x－2)＞0.‎ 当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；‎ 当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．‎ ‎(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m ‎＝(x－m)(ax－an＋1)，‎ ‎∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，‎ ‎∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.‎ ‎∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.‎ ‎ ‎