2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案

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2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案

‎2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案 一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共48分)‎ ‎1.“a =2, ”是“曲线C:经过点”的( A ).‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ 答案:A.‎ 解答:当a =2, 曲线C:经过;当曲线C:经过点时,即有,显然也满足上式。所以“a =2, ”是“曲线C:经过点”的充分不必要条件。‎ ‎2.已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,则实数的取值范围为( B ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第3题图 答案:B.‎ 解答:由题意可知:‎ 解得。‎ ‎3. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点,‎ 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C ).‎ A. B. C. D.‎ 答案:C.‎ 解答:以为坐标原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,则,且平面的法向量为,平面法向量为。因此,即二面角M-CD1-A 的余弦值为。‎ ‎4.若实数满足,则的最大值为 ( C ).‎ A. B. C. D. 2 ‎ 答案:C.‎ 解答:由满足的条件知,所以,当取等号。‎ ‎5. 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上,记△PQR,△ABC的面积分别为S△PQR,S△ABC,则的最小值为( D ).‎ A. B. C. D. ‎ 参考答案:D.‎ 解答:如图5-1所示,‎ A B C P Q R H A B C P R Q ‎ 图5-1 图5-2‎ ‎(1)当的直角顶点在的斜边上,则四点共圆,所以在中分别应用正弦定理得.又故,故即为的中点.‎ 过作于,则,所以,此时的最大值为.‎ ‎(2)当的直角顶点在的直角边上,如图5-2所示,设,则 ‎ 在中,‎ 在中,,‎ 由正弦定理, ‎ ‎,因此.‎ 这样,,当且仅当取等号,此时的最小值为.‎ ‎6. 已知数列的通项 ,,若,则实数等于( D ).‎ A. B. C. D.‎ 答案:D.‎ 则,所以 ‎,经检验只有符合题意。‎ ‎7. 若过点P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积不可能等于 ( C ).‎ A. B. C. D. ‎ 答案:C.‎ 解答:不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为,面积为过的直线的倾斜角为。‎ 当过点的直线为正方形的对边所在的直线时,,此时正方形的面积。‎ 同理,当过点的直线为正方形的对边所在的直线时,;当过点的直线为正方形的对边所在的直线时,.‎ ‎8.若集合,则集合中的元素个数为( B ).‎ A.4030 B.4032 C. 20152 D. 20162‎ 答案:B.‎ 解答:由已知得,因为一奇一偶,所以两者之一为偶数,即为共有2016种情况,交换顺序又得到2016种情形,所以集合共有4032个元素.‎ 二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,9-14每题7分,15题8分,共50分)‎ ‎9.已知函数满足,,且,则 .‎ 答案:.‎ 解答:,所以 ‎10.若数列的前项和,,则= .‎ 答案:.‎ 解答:又,故,‎ ‎.‎ ‎11. 已知F为抛物线的焦点,点A (3,1), M是抛物线上的动点.当取最小值时,点M的坐标为 .‎ 答案:.‎ 解答:设抛物线的准线为.过M作的垂线,垂足为则 ‎,当三点共线时取等号,此时M的坐标为。‎ ‎12.若,则 .‎ 答案:.‎ 解答:设,则,代入方程得或,即 或,所以。‎ ‎13. 设函数,其中表示中的最小者.若,则实数的取值范围为 .‎ 答案:.‎ 解答:当时,此时有;‎ 当时,此时有;‎ 当时,此时有;‎ 当时,此时有;‎ 当时,此时有。‎ ‎14. 已知向量的夹角为, ,向量,的夹角为,,则的最大值为 .‎ 答案:24.‎ 解答:,则又 此时共圆,由正弦定理得,则。在中,,由余弦定理得,即,所以,当时取“=”,因此的最大值为24.‎ ‎15.设,若对任意,都有,则 答案:.‎ 解答:首先令知.其次考虑过定点(0,2)的直线,与开口向上的抛物线,满足对任意所对应图象上的点不在轴同侧,因此.又,故.‎ 三、解答题(本大题共有3小题,16题16分,17、18每题18分,共52分)‎ ‎16. 设,函数.若对任意实数,方程有两个相异的实根,求实数的取值范围.‎ 参考答案:‎ 因为方程有两个相异的实根,即方程有两个相异的实数根,所以 ………………………………4分 即对任意实数恒成立,所以 ‎,…………………………………………………12分 解得.…………………………………………………………………………16分 ‎17.已知椭圆的离心率为,右焦点为圆的圆心.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)若直线l与曲线C1,C2都只有一个公共点,记直线l与圆C2的公共点为A,求点A的坐标.‎ 参考答案:(Ⅰ)设椭圆的半焦距长为,则,解得,所以椭圆方程为.………………………………………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,显然不满足题意.当直线的率存在时,可设直线的方程为,点的坐标为,其中.‎ 联立方程,消去得…………(1)‎ 所以即 ‎……………………(2)……………………………………………8分 联立方程消去得 ‎………………(3)‎ 所以即 ‎……………………………(4)…………………………12分 ‎(2)-(4)得……………………………… (5)‎ ‎(5)代入(3)得………………(6)…………………………16分 ‎(6)代入得.‎ 经检验或符合题意,这样点的坐标为.…………18分 ‎18.已知数列满足.证明:.‎ 参考答案:‎ 证明:因为, 所以 ‎ ……………………8分 又,‎ 所以.……………………16分 所以.因此……18分 四、附加题(本大题共有2小题,每题25分,共50分)‎ 附加1已知数列满足,,.‎ ‎(I) 证明:是正整数数列;‎ ‎(II) 是否存在,使得,并说明理由.‎ 参考答案:(Ⅰ)由得 ‎,……………………………… (1)‎ 同理可得 ,………………(2)……………………5分 由(1)(2)可知,为方程的两根,又,即有,即 ‎ 因为所以为正整数.……………………………………………………10分 ‎(Ⅱ)不存在,使得.…………………………………………………15分 假设存在,使得,则.‎ 一方面,,所以,即 ‎,所以.‎ 由费马小定理知,所以…………………………20分 另一方面,.事实上,假设,则,即,所以,而,这样得到.矛盾. ‎ 所以,由费马小定理得.‎ 这样得到.矛盾.所以不存在,使得.………………25分 附加2 设k为正整数,称数字的排列为“N型”的,如果这些数满足 ‎(1); (2);(3)‎ ‎.‎ 记为所有“N型”排列的个数.‎ ‎(I)求,的值; (II)证明:对任意正整数k,均为奇数.‎ 参考答案:‎ 首先注意到的值只能取这些数字,因为必须有2k个值比它小,而的值只能取这些数字,因为必须有2k个值比它大。‎ ‎ 记()时的N型排列个数为,则 ‎,.‎ 化简得 ‎.………………………………………………………10分 ‎(1) 计算可得 ………………………………………………………………15分 ‎(2) 易知 , (),.‎ 当时,对于所有,是偶数。事实上对于,()时的任何一个N型排列,此时数字只能放在的位置,数字只能放在 上(字母N的两头),和的数字可以互换得到一个新的N型排列,于是是偶数().……25分 ‎(也可以从表达式说明是偶数(),它的组合意义就是将m个白球,n个红球,n个蓝球排成一行的排列数。于是任何一种排列,交换红蓝球可对应另一种排列。‎ 于是 为奇数!………………………25分)‎
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