【数学】山东省滨州市2020届高三三模考试试题

【数学】山东省滨州市2020届高三三模考试试题

山东省滨州市2020届高三三模考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则( )‎ A． C. C．M∈N D．N∈M ‎2．函数的图象在点 (e为自然对数的底数)处的切线方程为( )‎ A． B. C． D．‎ ‎3．已知，当复数的模长最小时，的虚部为( )‎ A． B．2 C． D. ‎ ‎4．已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确的是( )‎ A.若 ‎ B..若 C.若 D. 若 ‎5．已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，如果P(X≤1)=0.8413，则( )‎ A．0.3413 B．0.6826 C．0.1587 D．0.0794‎ ‎6．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中．把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．‎ 若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知抛物线相交于A，B两点，点M为劣弧上不同A，B的一个动点，平行于轴的直线MN交抛物线于点N，则的周长的取值范围为( )‎ A．(3，5) B.(5，7) C．(6，8) D.(6，8]‎ ‎8．已知点O是内一点，且满足，则实数m的值为( )‎ A． B． C. 2 D．4‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分．部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．2020年3月12日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年，特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．下图是统计局公布的2010年～2019年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．‎ 则下面结论正确的是( )‎ A. 2010年～2019年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降 B．2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低 C．2010年～2019年十年间超过1.65亿人脱贫，其中2015年贫困发生率低于6％‎ D．根据图中趋势线可以预测，到2020年底我国将实现全面脱贫 ‎【年底贫困人口的线性回归方程为(其中)，贫困发生率的线性回归方程为(其中)】‎ ‎10．已知曲线，则下面结论正确的是( )‎ A．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线 D.把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线 ‎11．已知曲线，则曲线C( )‎ A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D.所围成图形的面积为 ‎12．已知函数．则下面结论正确的是( )‎ A．是奇函数 B．在上为增函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．的展开式中，的系数为__________．‎ ‎14．已知 ‎________，________．(本小题第一空2分，第二空3分)‎ ‎15．已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，平面 ‎，则球O的表面积为__________．‎ ‎16.已知函数．若，使得，则实数的最大值为__________．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(10分)‎ 如图，半圆O的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角△PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设．‎ ‎(1)把线段PC的长表示为的函数；‎ ‎(2)求四边形ACDP面积的最大值．‎ ‎18．(12分)‎ 在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等，表示第行，第列的数．已知．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前n项和.‎ ‎19．(12分)‎ 在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线．‎ ‎(1)求证：平面ADE；‎ ‎(2)设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A—FB—C的余弦值．‎ ‎20．(12分)‎ 在平面直角坐标系中，‎ ‎①已知点，直线，动点P满足到点Q的距离与到直线的距离之比 为．‎ ‎②已知点是圆上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P．‎ ‎③点分别在轴，y轴上运动，且，动点P满足．‎ ‎(1)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)‎ ‎(2)设圆上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由．‎ ‎21．(12分)‎ 近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y与行驶时问 (单位：小时)的测试数据如下表：‎ ‎(1)根据电池放电的特点，剩余电量y与行驶时间之间满足经验关系式：，通过散点图可以发现y与之间具有相关性．设，利用表格中的前8组数据求相关系数r，并判断是否有99％的把握认为与之间具有线性相关关系；(当相关系数r满足时，则认为有99％的把握认为两个变量具有线性相关关系)‎ ‎(2)利用的相关性及表格中前8组数据求出之间的回归方程；(结果保留两位小数)‎ ‎(3)如果剩余电量不足0.8，电池就需要充电．从表格中的10组数据中随机选出8组，设X表示需要充电的数据组数，求X的分布列及数学期望．‎ 附：相关数据：．‎ 表格中前8组数据的一些相关量：‎ ‎，‎ ‎，‎ 相关公式：对于样本，其回归直线的斜率和戗距的最小二乘估计公式分别为：，‎ 相关系数．‎ ‎22．(12分)‎ 已知函数，其中e是自然对数的底数，．‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)设，讨论函数零点的个数，并说明理由．‎ 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.BD 10.AC 11.ABCD 12.BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14. （本小题第一空2分，第二空3分） 15. 16.2‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解：（1）依题设易知为直角的直角三角形，‎ 又已知， ，所以.………………1分 在，‎ 由余弦定理得，.……2分 所以，…………………………3分 定义域为.…………………………4分 ‎（2）‎ ‎………………………………………………5分 ‎.………………………………………………………………6分 ‎（方法一）‎ ‎……………………………………………………………………7分 其中为锐角.……………………………………………………8分 因为.‎ 又因为，所以，…………………………………………9分 所以当时，最大值为.‎ 所以四边形ACDP面积的最大值为5.…………………………………………………10分 ‎（方法二）设 则…………………………………………………………7分 设的根为.‎ 当；‎ 当，所以，‎ 又因为上的图象是连续不断的，‎ 所以，函数上单调递增；………………………………………………8分 当.‎ 所以，函数上单调递减.………………………………………………9分 所以，最大，此时的最大值为5.‎ 所以四边形ACDP面积的最大值为5.…………………………………………………10分 ‎18.解：（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是，‎ 则，……………………………………………………………1分 ‎.①………………………………………2分 ‎②………………………………3分 联立①②解得，（舍去）‎ 从而，‎ 所以.……………………………………………………6分 ‎（2）由（1）知，.‎ 所以，……………………………………………………7分 所以，………………………………………………8分 所以 ‎………………………………………………………………………………………………9分 ‎………………………………………………………11分 ‎…………………………………………………………12分 ‎19.解：（1）连接，‎ 因为C，D是半圆的两个三等分点，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以均为等边三角形.‎ 所以，‎ 所以四边形是平行四边形.‎ 所以，………………………………1分 又因为平面ADE，平面ADE，‎ 所以平面ADE.……………………………………………………………………2分 因为EA，FC都是圆柱的母线，‎ 所以EA//FC.‎ 又因为平面ADE，平面ADE，‎ 所以平面ADE.………………………………………………………………………3分 又平面，‎ 所以平面平面ADE，……………………………………………………………4分 又平面,‎ 所以平面ADE.……………………………………………………………………5分 ‎（2）连接AC，‎ 因为FC是圆柱的母线，‎ 所以圆柱的底面，‎ 所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即.…………………6分 因为AB为圆的直径，所以，‎ 在，‎ 所以，‎ 所以在………………………………………………7分 ‎（方法一）因为 又因为，‎ 所以平面FBC，‎ 又平面FBC，‎ 所以.‎ 在内，作于点H，连接AH.‎ 因为平面ACH，‎ 所以平面ACH，……………………………………………………………………8分 又平面ACH，‎ 所以，‎ 所以就是二面角的平面角.…………………………………………9分 在.………………………………………………10分 在，‎ 所以，……………………………………………………11分 所以，‎ 所以二面角的余弦值为.…………12分 ‎（方法二）以C为坐标原点，分别以CA,CB,CF所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，‎ 所以.…………………………………………………8分 设平面AFB的法向量为，则 ‎………………………………………………………………9分 令，‎ 所以平面AFB的一个法向量为.………………………………………10分 又因为平面BCF的一个法向量，…………………………………………11分 所以.‎ 所以二面角的余弦值为.………………………………………………12分 ‎（注：如果用左手系解答，全对不扣分.若有错，不得分.）‎ ‎20.解：（1）若选①‎ 设，根据题意得，，………………………………2分 整理得，.‎ 所以动点P的轨迹C的方程为.………………………………………………4分 若选②‎ 由，………………………………1分 由题意得，‎ 所以，…………………………2分 所以点P的轨迹C是以H，E为焦点的椭圆，且，……3分 所以动点P的轨迹C的方程为.………………………………………………4分 若选③‎ 设…………………………………1分 因为，‎ 所以…………………………………………………………………………2分 即……………………………………………………………………………3分 将其代入，‎ 所以动点P的轨迹C的方程为.……………………………………………4分 ‎（2）当过点A且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为.‎ 当切线方程为为直径的圆的方程为.①‎ 当切线方程为为直径的圆的方程为.②‎ 由①②联立，可解得交点为.………………………………………………………5分 当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为，‎ 则.……………………………………………………6分 联立切线与椭圆C的方程并消去y，得 ‎.………………………………………………………7分 因为 ‎，‎ 所以切线与椭圆C恒有两个交点.‎ 设.………………………8分 因为，‎ 所以………………………………9分 ‎.…………………………………………10分 所以.…………………………………………………………………………11分 所以以MN为直径的圆过原点.‎ 综上所述，以为直径的圆过定点.…………………………………………12分 ‎21.解：（1）由题意知，.…2分 因为，所以有99%的把握认为之间具有线性相关关系.……3分 ‎（2）对两边取对数得，‎ 设，…………………………………………………4分 ‎，……………………………………………5分 易知.‎ ‎.………………………………………………6分 所以.……………………………………………………………………7分 所以所求的回归方程为.……………………………8分 ‎（3）10组数据中需要充电的数据组数为4组，X的所有可能取值为2，3，4.‎ ‎.………10分 所以X的分布列如下：‎ ‎………………………………………………………………………………………………11分 X的数学期望为.…………………………12分 ‎22.解：（1）因为，‎ 所以.………………………………………………………………1分 由；‎ 由.………………………………………………………………2分 所以由的增区间是，减区间是.………………………3分 ‎（2）因为.‎ 由，得 ‎.………………………………………………………………………4分 设，‎ 又不是的零点，‎ 故只需再讨论函数零点的个数.‎ 因为，‎ 所以当单调递减；‎ 当单调递增.…………………………………………5分 所以当取得最小值.………………………………………6分 ‎①当无零点；…………………………………7分 ‎②当有唯一零点；…………………………………………8分③当，‎ 因为，‎ 所以上有且只有一个零点.……………………………………………9分 令.‎ 设，‎ 所以上单调递增，‎ 所以，.‎ 所以.………………………………………………………10分 所以上有且只有一个零点.‎ 所以当有两个零点.………………………………………………………11分 综上所述，当有一个零点；‎ 当有两个零点；‎ 当有三个零点.……………………………………………………………12分