广西桂林市第十八中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题

广西桂林市第十八中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题

桂林十八中2019-2020学年度19级高一下学期开学考试卷 数学 注意事项：‎ ‎①本试卷共4页，答题卡2页.考试时间120分钟，满分150分；‎ ‎②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；‎ ‎③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的定义计算即可.‎ ‎【详解】因为集合,,故.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了交集基本运算,属于基础题.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将大角化小角，则 ‎，然后根据正切的诱导公式以及特殊角的正切值，可得结果.‎ ‎【详解】由，‎ 所以 则 故选：B ‎【点睛】本题考查正切的诱导公式，识记特殊角的三角函数值，以及三角函数中正弦、余弦、正切的诱导公式，属基础题.‎ ‎3.过，两点的直线斜率为（ ）‎ A -10 B. ‎17 ‎C. 5 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两点的斜率公式计算即可.‎ ‎【详解】过,两点的直线斜率.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了两点间的斜率公式,属于基础题.‎ ‎4.设函数，则（ ）‎ A. -1 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据自变量的范围代入对应区间的解析式求解即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了分段函数以及指对数的运算,属于基础题.‎ ‎5.已知弧长为50（单位：）弧所对圆心角为，则弧所在圆半径（单位：）为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据弧度制的定义求解即可.‎ ‎【详解】圆心角对应的弧度数为,根据弧度制的定义有.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了弧度制的定义与运用,属于基础题.‎ ‎6.将的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数平移“左加右减”求解即可.‎ ‎【详解】将的图象向右平移个单位后,所得图象对应的函数是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了求三角函数图像平移后的解析式,属于基础题.‎ ‎7.函数的零点个数为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像，根据函数图像得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：画出函数和的图像，共有3个交点.‎ 当时，，故不存在交点.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.‎ ‎8.若角的终边过点，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简点,再根据的定义求解即可.‎ ‎【详解】由题角的终边过点,故.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了三角函数值的求解以及正弦函数的定义,属于基础题.‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 三视图还原是四棱锥，，面ABCD,PD=AD=BC=AC=1,所以体积，选D.‎ ‎10.已知函数，若的最小正周期为，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据最小正周期的公式求解即可.‎ ‎【详解】由题,.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了正弦型函数的最小正周期,属于基础题.‎ ‎11.已知圆：，点是直线：上动点，过引的切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画图分析,由可知当与：垂直时取最小值,再求出点到的距离,进而求得得出即可.‎ ‎【详解】如图,因为与圆相切,故.故 ,故 .所以.故,故当取最小值时取最小.因为为锐角,故此时取最小值, 取最大值.故此时取最小值.即当与：垂直时取最小值.‎ 此时..‎ 故.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了根据直线与圆的位置关系求解线段长度的最值问题,需要根据题意表达出的解析式,分析可得当取最小值时的情况计算即可.属于中档题.‎ ‎12.已知函数（），若，且在上有最小值，无最大值，则的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到且，确定时满足条件，得到答案.‎ ‎【详解】，则，故，即.‎ 且，故，故当时满足条件，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据三角函数的最值点求参数，意在考查学生的计算能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相对应位置上.‎ ‎13.已知，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式化简,再根据求出继而代入计算即可.‎ ‎【详解】因为,故.‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数公式的运用以及正切的诱导公式,属于基础题.‎ ‎14.正方体的棱长均为2，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的体对角线等于外接球的直径求解球的直径,再求表面积即可.‎ ‎【详解】因为正方体的体对角线等于外接球的直径,且正方体的棱长均为2, 故球的直径,所以.故球的表面积.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正方体外接球的计算,属于基础题.‎ ‎15.函数（其中，）的图象如图所示，则在上的最大值与最小值的和为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入计算可得,再求得在上的最大值与最小值即可.‎ ‎【详解】因为图像过,故,即,又,故.‎ 又图像过,故.故.‎ 故当时,.故. 所以在上的最大值与最小值的和为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解析式的问题,同时也考查了三角函数在区间上的最值问题,属于中档题.‎ ‎16.已知直线：与圆：交于、两点，若是正三角形，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正三角形的性质可知,当是正三角形时,圆心到直线的距离与半径满足,再利用点到线的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】圆：即,其中.‎ 因为是正三角形,故圆心到直线的距离与半径满足.‎ 又,,故.‎ 即,解得,满足.故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据直线与圆的位置关系求解参数的问题.需要根据题意建立线段长度与半径之间的关系,继而列式求解参数.属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知点和圆：.‎ ‎（1）写出圆的标准方程，并指出圆心的坐标和半径；‎ ‎（2）设为上的点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），圆心坐标，半径为1.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将圆的方程配方化简为标准方程,再得出圆心与半径即可.‎ ‎(2)根据圆的性质可知,再求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由题可知圆的标准方程为,‎ 圆心坐标,半径为1.‎ ‎（2）由题知,‎ 而,‎ 所以为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的标准方程以及定点到圆上点的距离的最小值问题.属于基础题.‎ ‎18.已知，求下列各式值.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用诱导公式可得,再利用诱导公式以及同角三角函数的关系化简原式代入计算即可.‎ ‎(2)根据再分子分母同时除以,代入 计算即可.‎ ‎【详解】解：（1）由已知得,‎ ‎.‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式以及同角三角函数的关系求解化简的问题.属于基础题.‎ ‎19.在四棱锥中，底面为正方形，已知，，，.‎ ‎（1）证明：面；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据勾股定理证明,再结合证明即可.‎ ‎(2) 过点作于,过作于,连结,再证明是二面角的平面角,再计算得即可求出的大小.‎ ‎【详解】解：（1）证明：在中,由题设,,,,‎ 可得,所以,‎ 在正方形中,,‎ 又,‎ 又因为平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）过点作于,过作于,连结,‎ ‎∵平面,平面,∴,‎ 又,∴平面,‎ 又平面,∴,‎ 又,∴平面,‎ 平面,∴,‎ ‎∴是二面角的平面角.‎ 由题可得,,,‎ 中,,∴,‎ 故二面角的大小为.‎ ‎[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/‎2020/4/30‎/2452887117914112/2453859651313664/EXPLANATION/5ee163ab191742ff9ebf6fa427e‎52c26.png]‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及二面角的求法,需要根据题意找到二面角的平面角,再计算其三角函数求解.属于中档题.‎ ‎20.已知直线：与圆：交于不同的两点，.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若，且，求过点，且与轴相切的圆的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据圆心到直线的距离小于半径,列出对应的不等式求解即可.‎ ‎(2)根据垂径定理求解可得,再联立直线与圆的方程,求得 ,,再设所求圆的方程,再代入,求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）圆心到直线的距离,‎ ‎∵直线与圆交于不同的两点,,‎ ‎∴,解得.‎ ‎（2）若,则,解得或（舍）,‎ 直线方程为：,‎ ‎,解得或,‎ 不妨设,,由题可设所求圆方程为,‎ ‎∴,解得或.‎ 故所求圆方程为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了垂径定理的运用以及圆方程的求解,需要根据题意联立直线与圆的方程求所过点的坐标,再设所求圆的方程,代入坐标进行计算.属于中档题.‎ ‎21.已知函数，，，，的部分图象如图所示，、分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为.点的坐标为，.‎ ‎（1）求的最小正周期以及解析式；‎ ‎（2）求增区间.‎ ‎【答案】（1）6，.（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据周期的公式求解周期,再根据的坐标为计算可得,进而求得.再过作轴,垂足为,根据三角函数的周期与可求得即可得解析式.‎ ‎(2)由(1)得,再代入计算即可.‎ ‎【详解】解：（1）由题意得：的最小正周期,‎ 因为在的图像上,所以,‎ 所以,即,又因为,‎ 因此,.‎ 过作轴,垂足为,由周期为6可知,,‎ 由于,所以,于是,所以,‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵的增区间为,,‎ 由,,‎ 得,,‎ ‎∴的增区间为,.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图像性质运用,需要根据题意三角函数的性质代点进行计算求解,属于中档题.‎ ‎22.已知函数为偶函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据偶函数满足对任意实数,都有化简计算即可.‎ ‎(2)化简可得方程有且只有一个实数根,再换元根据零点存在性定理列式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由已知得：对任意实数,都有,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎.‎ ‎（2）由题知方程有且只有一个实数根,‎ 令,则关于的方程有且只有一个正根.‎ 若,则,不符合题意,舍去；‎ 若,则方程两根异号或有两个相等的正根.‎ 令函数显然过点,‎ 方程两根异号等价于,即；‎ 方程有两个相等的正根等价于,解得,‎ 综上所述,实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据偶函数求解参数值的问题,同时也考查了关于指数函数的二次复合函数的零点问题,属于中档题.‎