- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
上海教育高中数学二下两条直线位置关系之一
11.3(2) 两条直线的夹角 上海市控江中学 王蕙萱 教学目标设计 理解直线夹角公式的推导,能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导,形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力 教学重点及难点 理解两条直线夹角公式的推导,会求两条直线的夹角. 教学用具准备 多媒体设备 教学流程设计 课堂小结并布置作业 两条直线的夹角公式 两条直线夹角的定义 两直线的夹角 复习引入 运用与深化(例题解析、巩固练习) 一、复习引入 1.引例:判断下列各组直线的位置关系,如果相交,则求出交点的坐标(课本p16例1). (1), ; (2), ; (3), . 解:(参考课本p16~17) [说明]复习判断两直线的平行、重合、相交,以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题. 思考并回答下列问题 1.(对于上述(1)、(2)这样),当两条直线相交时,用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢? 教具演示:两条直线相交,使其中一条直线绕定点旋转,让学生观察这两条直线的关系. 解答:两条直线的夹角. 2.回顾旧知:在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么? 解答:角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形(如右图). [说明]在复习旧知的基础上引人新课. 二、学习新课 关于两直线的夹角 1、概念形成 两条直线的夹角 如右图,两条直线相交,一共构成几个角?它们有什么关系?怎样定义两条直线的夹角呢? 平面上两条直线和相交构成四个角,它们是两组互补的对顶角,因为相对而言,锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合,规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是 ,而两条相交直线夹角的取值范围是(. 现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系,当给出两条直线的方程时,它们的相对位置就确定了,它们的夹角也随之确定,那么,如何根据直线方程求两直线的夹角呢? [说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角,说明其合理性;②提出问题,给学生造成认知冲突,激发学生探索欲 2、夹角公式的推导 分析:直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的,下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角 [说明] 引导学生画图分析,寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比,寻求思路. 设两条直线的方程分别为 :(不全为零) :(不全为零). 设与的夹角为,与的一方向向量分别为与,其夹角为,且=,=, 当时,则如图甲所示;当时,则,如图乙所示. 于是得:. 即为直线与的夹角公式. 特别地,当且仅当时, 与的夹角为,即与垂直.也就是说:垂直垂直(其中,分别为与的一个法向量) 而由,易得当时,有,即当两条直线的斜率都存在时, 与垂直的充要条件是其中分别为直线与的斜率. [说明]①培养学生周密分析,严格论证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的范围是.后者的范围是,因此必须考虑两种情况与;② 允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨. 3、例题分析 例1:(回到引例)求下列各组直线的夹角: (1), ; (2), ; 解:设与的夹角为,则由两条直线的夹角公式得 (1) 即为所求; (2) 即为所求 [说明]①解决本课开头提出的问题, 本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线的斜率不存在,还可以数形结合(图略),求得的倾斜角,得出与的夹角为). 例2:若直线:与:互相垂直,求实数的值.(补充) 解:先把直线的方程化为一般形式:. ∵两直线垂直,∴,∴为所求. [说明] 通过练习强调两条直线垂直的充要条件,指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程,以便确定系数. 例3:已知直线过点,且与直线的夹角为,求直线的方程.(补充) 解:(方法一)设的方程为(其中为的一法向量),则即 化简为 解方程,得 当时,则,此时方程为 当时,方程为,即 综上, 的方程是或. (方法二)设点斜式,按直线的斜率是否存在分两类讨论 ① 若直线的斜率不存在,则过点直线的方程为,设它与直线的夹角,则 ,满足题意. ②若直线的斜率存在,那么设直线的方程为,即,设它与直线的夹角,则 则即,解得, 所以直线的方程为,化简得 , 由①②可知, 的方程是或. [说明] ①启发学生探讨“求过某定点,且与已知直线夹角为的直线方程”这类基本问题的处理方法;②一般地, 求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程,再利用直线的夹角公式列式,求解;③分析思路,启发学生一题多解.若设点斜式,学生可能只求出一条直线,启发学生从平面几何分析,应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢?让学生在矛盾中顿悟:需要按斜率是否存在分两类讨论,而且利用直线的夹角公式时,都必须先化为直线方程的一般形式.④例3类同于教材中的例4,教材中例4给出的夹角为特殊值,本例为,目的让学生熟悉反三角的表示. 例4:已知的三个顶点为 (1)求中的大小;(2)求的平分线所在直线的方程. (补充) 解:(1)方法一:直线的方程为:, 直线的方程为:, 设它们的夹角为,又为锐角,所以=, 则即为所求; 方法二:数形结合,因为即为所求. (2)方法一:设角平分线所在直线方程,即.由角平分线与两边成等角,运用夹角公式得[ 解得 ,由题意,舍 所以角平分线的方程为:.[ 方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为, 又已知它过点(2,1), 所以,角平分线的方程为:[ [说明]①巩固提高.因为本题中,直线的方程为:,因此采用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的基本方法. ②小题(1),求三角形的内角,一般先求过的两条边所在直线方程,由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角; ③小题(2),注意结合图形,正确取舍. 三、巩固练习 练习11.3(2) ----1,3 四、课堂小结 1.本节课研究了两条直线的夹角,推导出两条直线的夹角公式的方法,要理解、体会其中的思想方法; 2.会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题; 3.熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角; 4.进一步讨论了求直线方程的方法:运用待定系数法时,可设直线方程为点法向式、或点斜式方程,而在用点斜式方程时,需要分类讨论. 五、作业布置 1、书面作业:练习11.3(2) ----2,4 习题11.3 A组----10,11,12 2、思考题:光线沿直线1:照射到直线2:上后反射,求反射线所在直线的方程. 解 由. 设的方程为(其中为一法向量,不同时为零) 由反射原理,直线与的夹角等于与的夹角,得,舍去(否则与1重合) ,所以,得的方程为. 3.思考题:在y轴的正半轴上给定两点A(0,a),B(0,b),点A在点B上方,试在x轴正半轴上求一点C,使∠ACB取到最大值. 答:. [说明] ①作业1是课本习题,通过它来反馈知识掌握效果,巩固所学知识,强化基本技能的训练,培养学生良好的学习习惯和品质;②作业2、3设计成思考题,是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间,学生可以根据实际情况选用.查看更多