高中数学人教a版选修1-2学业分层测评6分析法及其应用word版含解析
学业分层测评
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若 a，b∈R，则 1
a3> 1
b3
成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0 B．b>a
C．a
1
b3
，但 1
a3> 1
b3
不能推出 a 1
b3
的一个充分不必要条件．
【答案】 C
2．求证： 7－1> 11－ 5.
证明：要证 7－1> 11－ 5，
只需证 7＋ 5> 11＋1，
即证 7＋2 7×5＋5>11＋2 11＋1，即证 35> 11，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上证明应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．间接证法
【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选 A.
【答案】 A
3．(2016·汕头高二检测)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－a4＋b4
2
≤0
C.a＋b2
2
－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】 要证 a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要
证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】 D
4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边 a，
b，c 应满足什么条件( )
A．a2b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
【解析】 由余弦定理得
cos A＝b2＋c2－a2
2bc <0，
∴b2＋c2－a2<0，
即 b2＋c2b>c，且 a＋b＋c＝0，
求证： b2－ac< 3a”，索的因应是( )
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
【解析】 由题意知 b2－ac< 3a⇐b2－ac<3a2
⇐b2＋a(a＋b)<3a2⇐b2＋a2＋ab<3a2
⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0
⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0
⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选 C.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·烟台高二检测)设 A＝ 1
2a
＋ 1
2b
，B＝ 2
a＋b(a>0，b>0)，则 A，B 的大
小关系为________．
【解析】 ∵A－B＝a＋b
2ab
－ 2
a＋b
＝a＋b2－4ab
2aba＋b
＝ a－b2
2aba＋b
≥0，∴A≥B.
【答案】 A≥B
7．(2016·西安高二检测)如果 a a>b b，则实数 a，b 应满足的条件是________.
【导学号：19220024】
【解析】 要使 a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需 a3>b3>0，即 a，b
应满足 a>b>0.
【答案】 a>b>0
8．如图 225，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的侧棱垂直于底面，满足________
时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
图 225
【解析】 要证 BD⊥A1C，只需证 BD⊥平面 AA1C.因为 AA1⊥BD，只要再
添加条件 AC⊥BD，即可证明 BD⊥平面 AA1C，从而有 BD⊥A1C.
【答案】 AC⊥BD(或底面为菱形)
三、解答题
9．设 a，b>0，且 a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】 法一：分析法
要证 a3＋b3>a2b＋ab2 成立．
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因 a＋b>0，
只需证 a2－ab＋b2>ab 成立，
只需证 a2－2ab＋b2>0 成立，
即需证(a－b)2>0 成立．
而依题设 a≠b，则(a－b)2>0 显然成立，
由此命题得证．
法二：综合法
a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.
注意到 a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为 a，b，c，其面积为 S，求
证：a2＋b2＋c2≥4 3S.
【证明】 要证 a2＋b2＋c2≥4 3S，
只要证 a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2 3absin C，
即证 a2＋b2≥2absin(C＋30°)，
因为 2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证 a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以 a2＋b2＋c2≥4 3S.
[能力提升]
1．已知 a，b，c，d 为正实数，且a
b a＋b(a>0，b>0)
C. a－ a－1< a－2－ a－3(a≥3)
D. 2＋ 10>2 6
【解析】 对于 A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2
＋c2≥ab＋bc＋ca；
对于 B，∵( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，( a＋b)2＝a＋b，∴ a＋ b> a＋b；
对于 C，要证 a－ a－1< a－2－ a－3(a≥3)成立，只需证明 a＋
a－3< a－2＋ a－1，两边平方得 2a－3＋2 aa－3<2a－3＋2 a－2a－1，
即 aa－3< a－2a－1，两边平方得 a2－3a1＋ p成立的正整数 p 的最大值是________.
【导学号：19220025】
【解析】 由 3＋2 2>1＋ p，得 p< 3＋2 2－1，
即 p<( 3＋2 2－1)2，
所以 p<12＋4 6－4 2－2 3，
由于 12＋4 6－4 2－2 3≈12.7，因此使不等式成立的正整数 p 的最大值是
12.
【答案】 12
4．(2016·唐山高二检测)已知 a，b，c 是不全相等的正数，且 0abc.
∵a，b，c 是不全相等的正数，
∴a＋b
2
≥ ab>0，b＋c
2
≥ bc>0，a＋c
2
≥ ac>0，
∴a＋b
2 ·b＋c
2 ·a＋c
2 > a2b2c2＝abc.
即a＋b
2 ·b＋c
2 ·a＋c
2 >abc 成立．
∴logx
a＋b
2
＋logx
b＋c
2
＋logx
a＋c
2
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