【数学】天津市滨海新区塘沽第一中学2019-2020学年高一下学期第二次月考试题 （解析版）

【数学】天津市滨海新区塘沽第一中学2019-2020学年高一下学期第二次月考试题 （解析版）

天津市滨海新区塘沽第一中学2019-2020学年高一下学期 第二次月考数学试题 一、选择题（共9小题，每题5分）‎ ‎1.已知i是虚数单位，则=（ ）‎ A. 1-2i B. 2-i C. 2+i D. 1+2i ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，由于，故可知选D.‎ ‎2.在中，若则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，在中，由正弦定理可得，‎ 即，‎ 又由，且，所以或，故选D.‎ ‎3.若向量，满足，，，则（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选C ‎4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，‎ 根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率为.‎ 故选：B.‎ ‎5.已知向量，，.若为实数，，则（ ）‎ A. -2 B. ‎2 ‎C. 5 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】，根据向量的四则运算列出方程得 ‎，得 ‎，解得 答案选D ‎6.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，，∴，，‎ ‎，∴.‎ ‎7.一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）‎ A. 6海里 B. 12海里 C. 6海里或12海里 D. 海里 ‎【答案】A ‎【解析】记轮船最初位置为，灯塔位置为，分钟后轮船位置为，如下图所示：‎ 由题意得：，，‎ 则，即：，解得：‎ 即灯塔与轮船原来的距离为海里 本题正确选项：‎ ‎8.已知中，为的重心，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为中，为的重心，‎ 所以 ，由余弦定理可得： ‎ 且 ‎ 所以 ‎=‎ ‎9.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）‎ A. B. ‎12 ‎C. 8 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由以及正弦定理得，‎ 得，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以（当且仅当时，等号成立），‎ 又（当且仅当时，等号成立），‎ 所以，‎ 所以（当且仅当时，等号成立），‎ 即的周长的最小值为.‎ 故选：B.‎ 二、填空题（共6小题，每题5分）‎ ‎10.某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】设中年职工抽取了人，老年职工抽取了人，‎ 则，解得，‎ ‎．‎ 故答案为：6．‎ ‎11.在中，有，则三角形的形状为______．‎ ‎【答案】直角三角形 ‎【解析】由，‎ 得，‎ 得，‎ 得，‎ 因为，，‎ 所以，所以，‎ 所以，又，所以，‎ 所以三角形为直角三角形.‎ 故答案为：直角三角形.‎ ‎12.已知一组数据，，，的方差为，则这组数据，，，的方差为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】一组数据，，，的方差为5，‎ 这组数据，，，的方差为：．‎ ‎13.在中，角，，所对的边分别为，，，向量，满足，，，则的值为：_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：， 即， 即，所以， 因，所以，所以故答案为：.‎ ‎14.如图，用K．、三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K．、正常工作的概率依次为，，，则系统正常工作的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记“K正常工作”为事件，“正常工作”为事件，“正常工作”为事件，‎ 且事件、、相互独立， 则“系统正常工作”为事件，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎15.在梯形中，∥，，是线段上的动点，若，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,则所以 三、解答题（共4小题，共45分）‎ ‎16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积为6．‎ ‎（1）求b及的值；‎ ‎（2）求的值．‎ 解：（1）因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 由正弦定理得，所以；‎ ‎（2）由（1）知，，以及知为锐角，‎ 所以，所有，‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎17.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示 ‎（1）求a的值．‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的分位数（保留两位小数）．‎ ‎（3）若从年龄在的人中随机抽取两位，求两人恰有一人的年龄在内的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）42.14；（3）.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由频率分布直方图得：，‎ 解得.‎ ‎（2）由频率分布直方图得的频率为，‎ 的频率为，‎ 所以估计参与调查人群的样本数据的分位数为.‎ ‎（3）20人中，年龄在中的有人，记为A，B，‎ 年龄在中的有人记为a，b，c，‎ 从年龄在的5人中随机抽取两位，基本事件有：，共10种，‎ 两人恰有一人的年龄在在内的基本事件有：，共6种，‎ 所以两人恰有一人的年龄在内的概率为.‎ ‎18.在三角形ABC中，，，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求的取值范围；‎ ‎（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求．‎ 解：（1）因为，所以，即，‎ 所以，又，所以，‎ 因此；‎ ‎（2）因为在三角形ABC中，，，，‎ 所以，，‎ 因此，‎ 设，由题意，，‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以；‎ ‎（3）因为为线段的中点，所以，‎ 因为直线与相交于点，不妨设，，‎ 所以，‎ 因此，‎ 又 ，‎ 所以，‎ 因此，‎ 所以，解得：，‎ 所以.‎ ‎19.已知两个不共线的向量，夹角为，且，，为正实数．‎ ‎（1）若与垂直，求的值；‎ ‎（2）若，求的最小值及对应的x的值，并指出此时向量与的位置关系．‎ ‎（3）若为锐角，对于正实数m，关于x的方程两个不同的正实数解，且，求m的取值范围．‎ 解：（1），故，‎ 故，故.‎ ‎（2），‎ 当时，最小为，故的最小值为，‎ 此时，故向量与垂直.‎ ‎（3），即，展开整理得到，‎ 故，且，解得.‎ 取得到，即，‎ 当，即，即时，；‎ 当，即且，即时，‎ ‎；‎ 当，即，即时，.‎ 综上所述：时，，时，，‎ 时，.‎