【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第7讲抛物线作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第7讲抛物线作业

A 组 基础关 1．点 M(5,3)到抛物线 y＝ax2(a≠0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是 ( ) A．y＝12x2 B．y＝12x2 或 y＝－36x2 C．y＝－36x2 D．y＝ 1 12x2 或 y＝－ 1 36x2 答案 D 解析 抛物线 y＝ax2(a≠0)的方程可化为 x2＝y a ，准线方程为 y＝－ 1 4a ，由题 意得|3－ － 1 4a |＝6，解得 a＝ 1 12 或－ 1 36 ，所以抛物线的方程为 y＝ 1 12x2 或 y＝－ 1 36x2. 2．(2019·河南天一大联考)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，抛物线 上一点 M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线 C 的方程为( ) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x 答案 D 解析 依题意，2＋p 2 ＝6，故 p＝8，故抛物线 C 的方程为 y2＝16x. 3．已知点 A 是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点，F 是抛物线的焦点，则以 AF 为 直径的圆与 y 轴的位置关系是( ) A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 答案 C 解析 如图，取 AF 的中点 C，作 CN⊥y 轴，AM⊥y 轴，垂足分别为 N，M， 可得|CN|＝1 2|AF|，所以以 AF 为直径的圆与 y 轴相切． 4．设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，过抛物线 C 上一点 P 作准线 l 的垂线，垂足为 Q.若△QAF 的面积为 2，则点 P 的坐标为( ) A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4) C．(1,2) D．(1,4) 答案 A 解析 设点 P 的坐标为(x0，y0)．因为△QAF 的面积为 2，所以1 2 ×2×|y0|＝2， 即|y0|＝2，所以 x0＝1，所以点 P 的坐标为(1,2)或(1，－2)． 5．(2018·长沙模拟二)已知点 P(x0，y0)是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，Q 是 圆 C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1 上的一个动点，则 x0＋|PQ|的最小值为( ) A．2 5－1 B．2 5 C．3 D．4 答案 C 解析 设抛物线 y2＝4x 的焦点 F(1,0)，过点 P(x0，y0)作准线 l：x＝－1 的垂 线 ， 垂 足 为 N ， 则 x0 ＋ |PQ| ＝ |PN| ＋ |PQ| － 1 ＝ |PF| ＋ |PQ| － 1≥|CF| － 2 ＝ 1＋22＋42－2＝5－2＝3，当且仅当 C，P，F 三点共线且点 Q 在线段 CF 上时 取等号，则 x0＋|PQ|的最小值是 3，故选 C. 6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率为2 3 的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM→ ·FN→＝( ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案 D 解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为2 3 的直线方程为 y＝2 3(x＋2)，与抛物 线方程联立 y＝2 3 x＋2， y2＝4x， 消去x并整理，得 y2－6y＋8＝0，解得 M(1,2)，N(4,4)， 又 F(1,0)，所以FM→ ＝(0,2)，FN→ ＝(3,4)，从而可以求得FM→ ·FN→ ＝0×3＋2×4＝8. 故选 D. 7．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则y1y2 x1x2 的值一定等于( ) A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 答案 A 解析 解法一：若焦点弦 AB⊥x 轴，则 x1＝x2＝p 2 ，所以 x1x2＝p2 4 ；∴y1＝p， y2＝－p，∴y1y2＝－p2， ∴y1y2 x1x2 ＝－4. 解法二：若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴，可设 AB 的直线方程为 y＝k x－p 2 ， 联立 y＝k x－p 2 ， y2＝2px， 得 k2x2－(k2p＋2p)x＋p2k2 4 ＝0，则 x1x2＝p2 4 .所以 y1y2＝－p2. 故y1y2 x1x2 ＝－4. 8．(2018·西宁检测一)已知点 P(2,1)，若抛物线 y2＝4x 的一条弦 AB 恰好是 以 P 为中点，则弦 AB 所在直线方程是________． 答案 2x－y－3＝0 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝2，且 y21＝4x1，y22＝4x2，两式相 减得 2(y1－y2)＝4(x1－x2)，且 x1≠x2，则直线 AB 的斜率 kAB＝y1－y2 x1－x2 ＝2，又弦 AB 过点 P，则所求直线方程为 y－1＝2(x－2)，即 2x－y－3＝0. 9．直线 3x－4y＋4＝0 与抛物线 x2＝4y 和圆 x2＋(y－1)2＝1 从左至右的交点 依次为 A，B，C，D，则|CD| |AB| 的值为________． 答案 16 解析 如图所示，抛物线 x2＝4y 的焦点为 F(0,1)，直线 3x－4y＋4＝0 过点 (0,1)，由 x2＝4y， 3x－4y＋4＝0， 得 4y2－17y＋4＝0，设 A(x1，y1)，D(x2，y2)，则 y1 ＋y2＝17 4 ，y1y2＝1，解得 y1＝1 4 ，y2＝4，则|CD| |AB| ＝|FD|－1 |AF|－1 ＝y2＋1－1 y1＋1－1 ＝16. 10．过抛物线 C：x2＝2y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，若抛 物线 C 在点 B 处的切线的斜率为 1，则|AF|＝________. 答案 1 解析 把抛物线 C 的方程 x2＝2y 改写为 y＝x2 2 求导得 y′＝x，因为抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，即 y′＝xB＝1，所以点 B 的坐标为 1，1 2 ，抛物线的 焦点 F 的坐标为 0，1 2 ，所以直线 l 的方程为 y＝1 2 ，所以 A －1，1 2 ，|AF|＝1. B 组 能力关 1．(2018·衡水调研)已知抛物线 y2＝4x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 y21＋y 22的最小值为( ) A．12 B．24 C．16 D．32 答案 D 解析 当直线的斜率不存在时，其方程为 x＝4，由 x＝4， y2＝4x， 得 y1＝－4， y2 ＝4，∴y 21 ＋y 22 ＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为 y＝k(x－4)，由 y2＝4x， y＝kx－4， 得 ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝4 k ，y1y2＝－16， ∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16 k2 ＋32>32，综上可知，y21＋y22≥32.∴y21＋y 22的 最小值为 32. 2.如图，已知直线与抛物线 x2＝2py 交于 A，B 两点，且 OA⊥OB，OD⊥AB 交 AB 于点 D，点 D 的坐标为(2,4)，则 p 的值为( ) A．2 B．4 C.3 2 D.5 2 答案 D 解析 ∵OD⊥AB，∴kOD·kAB＝－1.又 kOD＝4 2 ＝2，∴kAB＝－1 2 ，∴直线 AB 的方程为 y－4＝－1 2(x－2)，即 y＝－1 2x＋5，由 y＝－1 2x＋5， x2＝2py， 消去 y 可得 x2 ＋px－10p＝0，∴Δ＝p2＋40p>0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝－p，x1x2＝－10p，则 x1x2＋y1y2＝0，又 x1x2＋y1y2＝x1x2＋ －1 2x1＋5 －1 2x2＋5 ＝5 4x1x2－5 2(x1＋x2)＋25＝5 4 ×(－10p)－ 5 2 ×(－p)＋25＝0，∴p＝5 2. 3．(2018·全国卷Ⅲ)已知点 M(－1,1)和抛物线 C：y2＝4x，过 C 的焦点 F 且 斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点．若∠AMB＝90°，则 k＝________. 答案 2 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y21＝4x1， y22＝4x2， 所以 y21－y22＝4x1－4x2， 所以 k＝y1－y2 x1－x2 ＝ 4 y1＋y2 . 取 AB 的中点 M′(x0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x＝－1 的垂线，垂足分 别为 A′，B′. 因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝1 2|AB|＝1 2(|AF|＋|BF|)＝1 2(|AA′|＋|BB′|)． 因为 M′为 AB 的中点，所以 MM′平行于 x 轴． 因为 M(－1,1)，所以 y0＝1，则 y1＋y2＝2，所以 k＝2. 4.如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)，A(x1， y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1＋y2 的值及直线 AB 的斜 率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)． 因为点 P(1,2)在抛物线上，所以 22＝2p×1，解得 p＝2. 故所求抛物线的方程是 y2＝4x，准线方程是 x＝－1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB. 则 kPA＝y1－2 x1－1 (x1≠1)，kPB＝y2－2 x2－1 (x2≠1)， 因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以 kPA＝－kPB. 由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y21＝4x1， ① y22＝4x2， ② 所以 y1－2 1 4y21－1 ＝－ y2－2 1 4y22－1 ，所以 y1＋2＝－(y2＋2)． 所以 y1＋y2＝－4. 由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)， 所以 kAB＝y1－y2 x1－x2 ＝ 4 y1＋y2 ＝－1(x1≠x2)． C 组 素养关 1．(2018·惠州高三第一次调研)已知圆 x2＋y2＝12 与抛物线 x2＝2py(p>0)相 交于 A，B 两点，点 B 的横坐标为 2 2，F 为抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若过点 F 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线和圆相交于四个不同的点，从左至 右依次为 P1，P2，P3，P4，求|P1P2|－|P3P4|的值． 解 (1)设 B(2 2，y0)， 由题意得 2 22＋y20＝12， 2 22＝2py0p>0， 解得 y0＝2， p＝2， 所以抛物线的方程为 x2＝4y. (2)设点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，P4(x4，y4)，由题意知 P1，P3 在 圆上，P2，P4 在抛物线上．因为直线 l 过点 F(0,1)且斜率为 1，所以直线 l 的方 程为 y＝x＋1. 联立，得 y＝x＋1， x2＋y2＝12， 消去 y，得 2x2＋2x－11＝0， 所以 x1＋x3＝－1，x1x3＝－11 2 ， |P1P3|＝ 1＋12· x1＋x32－4x1x3 ＝ 2· －12－4× －11 2 ＝ 46. 联立，得 y＝x＋1， x2＝4y， 消去 y，得 x2－4x－4＝0， 所以 x2＋x4＝4，x2x4＝－4， |P2P4|＝ 1＋12· x2＋x42－4x2x4 ＝ 2· 42－4×－4＝8. 由题意，易知|P1P2|＝|P1P3|－|P2P3|，① |P3P4|＝|P2P4|－|P2P3|，② ①－②得|P1P2|－|P3P4|＝|P1P3|－|P2P4|， 所以|P1P2|－|P3P4|＝ 46－8. 2．已知点 H(－1,0)，点 P 在 y 轴上，动点 M 满足 PH⊥PM，且直线 PM 与 x 轴交于 Q 点，Q 是线段 PM 的中点． (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程； (2)若点 F 是曲线 E 的焦点，过 F 的两条直线 l1，l2 关于 x 轴对称，且 l1 交曲 线 E 于 A，C 两点，l2 交曲线 E 于 B，D 两点，A，D 在第一象限，若四边形 ABCD 的面积等于5 2 ，求直线 l1，l2 的方程． 解 (1)设 M(x，y)，P(0，y′)，Q(x′，0)，则PH→ ＝(－1，－y′)，PQ→ ＝(x′， －y′)， ∵PH⊥PM，∴－x′＋y′2＝0，即 y′2＝x′， 由题意得 x 2 ＝x′， y＋y′ 2 ＝0， ∴ x′＝x 2 ， y′＝－y， 代入 y′2＝x′，得 (－y)2＝x 2(x≠0)． 故动点 M 的轨迹 E 的方程为 y2＝x 2(x≠0)． (2)由(1)知 F 1 8 ，0 ，设直线 l1：x＝ky＋1 8(k≠0)， 由 x＝ky＋1 8 ， y2＝1 2x， 得 y2－k 2y－ 1 16 ＝0， ∴yA＋yC＝k 2 ，yA·yC＝－ 1 16 ， 依题意可知，四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴S 四边形 ABCD＝2yA＋2yDxD－xA 2 ＝2yA－2yCxC－xA 2 ＝(yA－yC) kyC＋1 8 － kyA＋1 8 ＝－k(yA－yC)2 ＝－k[(yA＋yC)2－4yA·yC] ＝－k3＋k 4 ， 由－1 4(k3＋k)＝5 2 ，整理得 k3＋k＋10＝0， ∴(k＋2)(k2－2k＋5)＝0，又 k2－2k＋5>0，∴k＝－2. ∴直线 l1 的方程为 y＝－1 2x＋ 1 16 ， 同理可得直线 l2 的方程为 y＝1 2x－ 1 16. ∴直线 l1，l2 的方程分别为 y＝－1 2x＋ 1 16 ，y＝1 2x－ 1 16.