黑龙江省绥化市安达市第七中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试卷

黑龙江省绥化市安达市第七中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试卷

数学（文）试题 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)‎ 一．选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若复数 z = (x2 - 4) + (x + 2)i，(x Î R), 则“ x = 2 ”是“ z 是纯虚数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎1岁— 20 岁 ‎20 岁— 50 岁 ‎50 岁以上 女性 ‎373‎ X Y 男性 ‎377‎ ‎370‎ ‎250‎ 2. 为坚决打赢新冠状病毒的阻击战，某小区对小区内的2000 名居民进行摸排，各年龄段男、女性人数如下表. 已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20 岁~ 50 岁女性居民的概率是0.19 . 现用分层抽样的方法在全小区抽取64 名居民，则应在50 岁以上抽取的女性居民人数为（ ）‎ A． 24 B．16 C． 8 D．12‎ 3. 一组数据如下表所示：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y e e3‎ e4‎ e6‎ 已知变量 y 关于 x 的回归方程为 yˆ = ‎e bx ‎+ 0 . 5‎ ‎，若 x = 5 ，则预测 y 的值可能为（ ）‎ A. e5‎ ‎11‎ B. e 2‎ ‎13‎ C. e 2‎ ‎D. e7‎ 4. 甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示：‎ ‎①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；‎ ‎②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；‎ ‎③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；‎ ‎④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ）‎ A．③④ B．①② C．②④ D．①③④‎ 2. 如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到第 14 次的考试成绩依次记为 A1 , A2 ,L, A14 ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10 6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 v 的值为（ ）‎ A．50 B．35‎ C．18 D．9‎ 7. 已知下列说法：‎ ‎①对于线性回归方程 yˆ = 3 - 5x ，变量 x 增加一个单位时， $y 平均增加 5 个单位；‎ ‎②在线性回归模型中，相关指数 R2 越接近于 1，则模型回归效果越好；‎ ‎③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近 1；‎ ‎④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；‎ ‎⑤演绎推理是从特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段论”． 其中说法错误的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 7. ‎“仁义礼智信”为儒家“五常”.由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，将“仁义 礼智”排成一排，则“仁义”不相邻的概率为（ ）‎ A. ‎1‎ ‎4‎ ‎B. 3‎ ‎8‎ ‎C. 1‎ ‎2‎ ‎D. 2‎ ‎3‎ 8. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b，其中 a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）‎ A. ‎1‎ ‎9‎ ‎B. 2‎ ‎9‎ ‎C. 4‎ ‎9‎ ‎D. 7‎ ‎18‎ 9. 民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图 1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图 2），若在图 2 所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）‎ A. ‎5‎ ‎18‎ ‎B. 1‎ ‎3‎ ‎C. 7‎ ‎18‎ ‎D. 4‎ ‎9‎ 7. A4 纸是生活中最常用的纸规格．A 系列的纸张规格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同；②在 A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如 1 张 A0 纸对裁后可以得到 2 张 A1 纸，1 张 A1 纸对裁可 ‎2‎ 以得到 2 张 A2 纸，依此类推．这是因为 A 系列纸张的长宽比为 ：1 这一特殊比例，所以具备这种 ‎2‎ 特性．已知 A0 纸规格为 84.1 厘米×118.9 厘米.118.9÷84.1≈1.41≈ ，那么 A4 纸的长度为（ ）‎ A．14.8 厘米 B． 21.0 厘米 C． 29.7 厘米 D． 42.0 厘米 8. 已知数列{an } 的通项公式为an = 2n + 2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记bn 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行 ì n ü 共n2 个数的和，则数列í ý 的前 4 项和为（ ）‎ îbn þ A． 3 B． 1 C． 4 D． 2‎ ‎4 3 5 5‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）‎ 二．填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.‎ ‎13．若复数 z 满足( z - i)( z + i) = 3 ，则| z |= ．‎ 14. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 ．‎ 15. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1‎ ‎2‎ ‎，甲获胜的概率是 1‎ ‎3‎ ‎，则甲不输的概率为 ．‎ 16. 如图，圆柱O1O2 内接于球 O，且圆柱的高等于球 O 的半径，则从球 O 内任取一点，此点取自圆柱O1O2 的概率为 ．‎ 三．解答题：本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文．字．说．明．,．证．明．过．程．或．演．算．步．骤．.‎ ‎17．（本小题满分 10 分）‎ ì 1- t 2‎ ïx = 1+ t 2‎ 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为í ï y = î ‎4t 1+ t 2‎ ‎（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2rcosq+ （1） 求 C 和l 的直角坐标方程；‎ （2） 求 C 上的点到l 距离的最小值．‎ ‎3rsinq+11 = 0 ．‎ ‎18．（本小题满分 12 分）‎ 某学校为调查高二学生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高二年级学生中随机抽取100 名按上学所需要时间分组：第1组(0,10] ，第2 组(10, 20]，第3 组(20, 30]，第4 组(30, 40]，第5 组(40, 50]， 得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）根据图中数据求a 的值．‎ ‎（ 2 ）若从第3 ， 4 ， 5 组中用分层抽样的方法抽取6 名学生参与交通安全问卷调查，应从第3 ， 4 ，‎ ‎5 组各抽取多少名学生？‎ ‎（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，该校决定从这6 名学生中随机抽取2 名学生参加交通安全宣传活动，求第4‎ 组至少有一人被抽中的概率．‎ ‎19.某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.‎ ‎（I）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（II）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（III）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入x（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益y（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎7‎ 表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将2的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.‎ 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.‎ ‎20.若的图象在点处的切线方程为,求在区间上的最大值;‎ 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为.奖励规则如下: ①若,则奖励玩具一个; ②若,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （1）求小亮获得玩具的概率; （2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.‎ ‎21.在平面直角坐标系中,已知抛物线,过抛物线焦点F且与Y轴垂直的直线与抛物线相交于两点,且的周长为.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若直线l过焦点F且与抛物线C相交于两点,过点分别作抛物线C的切线,切线与相交于点P,求：的值.‎ ‎22已知函数,.‎ ‎1.若为的极值点,求的值;‎ 高二 数学（文）参考答案 ‎1．C ‎【解析】‎ 分析：先由复数为纯虚数求出实数的值，然后根据充分必要条件的定义进行判断可得结论．‎ 详解：若复数为纯虚数，则，解得．‎ ‎∴“”是“是纯虚数”的充要条件．故选C．‎ 点睛：判断p是q的什么条件，可根据定义从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．‎ ‎2．C ‎【详解】‎ 因为在全小区中随机抽取1名，抽到岁~岁女居民的概率是0.19 即：， ∴． 岁以上的女居民的人数为， 现用分层抽样的方法在全小区抽取名居民， 应在应在岁以上抽取的女居民人数为名．故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分布的意义和作用，考查分层抽样，属于基础题．‎ ‎3．C ‎【分析】‎ 将式子两边取对数，得到，令，得到，根据题中所给的表格，列出的取值对应的表格，求得，，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得，得到，进而得到，将代入，求得结果.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.‎ ‎4．A ‎【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；‎ ‎,,则,故②错误,③正确；‎ 显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A ‎【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.‎ ‎5．C ‎【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9.故选：C．‎ 6． A ‎7．C ‎【详解】‎ 对于命题①，对于回归直线，变量增加一个单位时，平均减少个单位，命题①错误；‎ 对于命题②，相关指数越大，拟合效果越好，则模型甲的拟合效果更好，命题②正确；‎ 对于命题③，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系的绝对值越接近于，命题③错误；‎ 对于命题④，正确；‎ 对于命题⑤，演绎推理是从一般到特殊的推理，错误.‎ ‎8．C ‎【详解】‎ ‎“仁义礼智”排成一排，任意排有种排法，其中“仁义”相邻的排法有，故概率.故选：C ‎【点睛】本题考查排列问题及古典概型，捆绑插空是常见方法，是基础题.‎ ‎9．C ‎【解析】‎ 试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；‎ ‎10．C ‎【详解】‎ 设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3，其面积.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为，巧板④可看作是边长为的正方形与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为，故所求的概率.故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .‎ ‎11．C ‎【详解】由题意，A0纸的长与宽分别为118.9厘米，84.1厘米，则A1纸的长为，A2纸的长为，‎ A3纸的长为，A4纸的长为=29.7（厘米）．故选：C ‎【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键.‎ ‎12．D ‎【分析】由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设每一行的和为 故 因此：‎ ‎ 故故选：D ‎【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎13．‎ ‎【解析】因为，所以，即，，因此，‎ ‎14．存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.‎ ‎【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.‎ ‎15．由题意甲不输的概率为．‎ ‎16．‎ ‎【详解】设球的半径为，依题意可知，圆柱底面半径，故圆柱的体积为，而球的体积为，故所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度.‎ ‎17．（1）C的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）.‎ 解析（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为.的直角坐标方程为.…………5分 ‎（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.‎ C上的点到的距离为.‎ 当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.…………10分 ‎18．(1) ;(2) 各抽取人，人，人;(3) .‎ ‎【解析】‎ 解：（1）因为, 1分所以. …………2分 ‎（2）依题意可知，第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为.‎ 所以3、4、5组人数共有60. …………3分 所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名学生,分层抽样的抽样比为…………4分 故在第3组抽取人数为人 ，第4组抽取人数为人，第5组抽取人数为人 7分 ‎（3）记第3组的3名学生为,第4组的2名学生为,第5组的1名学生为.则从6名学生中抽取2名新生，共有:‎ ‎,共有15种. …………9分 其中第4组的2名新生至少有一名学生被抽中的有:‎ 共有9种, …………11分 则第4组至少有一名学生被抽中的概率为…………12分 考点：1频率分布直方图；2分层抽样；3古典概型概率．‎ ‎19.答案：（1）设各小长方形的宽度为m，可得：‎ ‎，.‎ ‎（2）可得各组中点从左向右依次是1，3，5，7，9，11，‎ 各组中点对应的频率从左向右依次是0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，‎ ‎∴平均值.‎ ‎（3）得空白栏为5，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 根据公式可得，，‎ 故回归直线方程为.‎ ‎20（1） （2）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ 解析：用数对表示儿童参加活动先后记录的数, 则基本事件空间与点集一一对应. 因为中元素个数是,所以基本试卷总数为. （1）记“”为事件.则事件包含的基本事件共有5个, 即, 所以, ,即小亮获得玩具的概率为. （2）记“”为事件,“”为事件. 则事件包含的基本事件共有6个, 即所以, 则事件包含的基本事件共有5个,即 所以因为所以,小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎ 21.答案：（1）由题意知焦点F的坐标为将代人抛物线C的方程可求得点的坐标分别为,‎ 有，可得的周长为有，得 故抛物线C的方程为 ‎（2）由1知抛物线C的方程可化为，求导可得.‎ 设点的坐标分别为.‎ 设直线l的方程为（直线l的斜率显然存在）.‎ 联立方程消去y整理为：，可得.‎ 有.‎ 可得直线的方程为，整理为.‎ 同理直线的方程为.‎ 联立方程，解得，则点p的坐标为.‎ 由抛物线的几何性质知，‎ 有 ‎∴‎ 解析：‎ ‎22.答案：1. 因为为的极值点,所以,即解得或 经检验,当或时, 是的极值点,故或 2.因为切点在切线: 上,故.因为切点在上,‎ 所以, .又,故,解得: .‎ 所以, ,‎ 由可知和是函数的极值点.‎ 因为, .‎ 所以在区间上的最大值为.‎ 解析：‎ ‎ ‎