2020-2021学年湖北黄冈高二上数学月考试卷

2020-2021学年湖北黄冈高二上数学月考试卷

第 1页 共 20页 ◎ 第 2页 共 20页 2020-2021 学年湖北黄冈高二上数学月考试卷 一、选择题 1. 直线 l 的方程为 3x + 3y − 1 = 0，则直线 l 的倾斜角为( ) A.150∘ B.120∘ C.60∘ D.30∘ 2. 过点 1,2 且与直线 x − 2y − 2 = 0 平行的直线方程是( ) A.x − 2y − 1 = 0 B.x + 2y − 1 = 0 C.2x + y − 4 = 0 D.x − 2y + 3 = 0 3. 已知圆 C: x + 1 2 + y + 1 2 = 8 与直线 l 切于点 P 1,1 ，则直线 l 的方程是( ) A.x − y = 0 B.2x − y − 1 = 0 C.x + y − 2 = 0 D.x + y + 2 = 0 4. 圆心在 y 轴上，半径为 2，且过点(2, 4)的圆的方程为( ) A.x2 + (y − 1)2 = 4 B.x2 + (y − 2)2 = 4 C.x2 + (y − 3)2 = 4 D.x2 + (y − 4)2 = 4 5. 已知 m 是实常数，若方程x2 + y2 + 2x + 4y + m = 0 表示的曲线是圆，则 m 的取值范围为( ) A.( − ∞, 20) B.( − ∞, 5) C.(5,  + ∞) D.(20,  + ∞) 6. 函数 y = loga(2x + 7) + 2(a > 0 且 a ≠ 1)的图象恒过点 A，且点 A 在角α的终边上，则 sin2α =( ) A.− 5 13 B. 5 13 C.12 13 D.− 12 13 7. 已知α ∈ 0,2π ，且 5sinα = 6sin α 2 ，则 tan α 2 =( ) A.− 4 3 B.− 3 4 C.3 4 D.4 3 8. 计算 sin133∘ cos197∘ + cos47∘ cos73∘ 的结果为( ) A.1 2 B.− 1 2 C. 2 2 D. 3 2 9. 在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，B = 30∘ ，b = 2，c = 2，则角 A 为( ) A.15∘ B.45∘ C.15∘ 或105∘ D.45∘ 或135∘ 10. 在等差数列 an 中，若a2 + 2a5 = 15，则数列 an 的前 7 项的和S7 =( ) A.25 B.35 C.30 D.28 11. 在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11 + 2a6a8 + a3a13 = 25，则a7 2的最大值是( ) A.25 B.25 4 C.5 D.2 5 12. 设等差数列{an}的公差 d ≠ 0，a1 = 2d，若ak是a1与a2k+7的等比中项，则 k =( ) A.2 B.3 C.5 D.8 二、填空题 若过点 M a,4 总有两条直线与圆x2 + y2 − 6y = 0 相切，则实数 a 的取值范围是________. 若 2cos2θ cos(π 4+θ) = 3sin2θ，则 sin2θ =________． 已知数列{an}为等差数列，若a1 + a5 + a9 = π，则 cos(a2 + a8)的值为________． 直线l1的方程为 2x + 3y − 2 = 0，直线l2的方程为 mx − 4y − m = 0，若l1 ⊥ l2，则实数 m 的值为________. 三、解答题 求经过直线 x + y − 3 = 0 与直线 x − y − 1 = 0 的交点且满足下列条件的直线方程． (1)与直线 x + 3y − 1 = 0 垂直； (2)在两条坐标轴上的截距相等． △ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tanA = 2，a = 2 5，b = 5 3 2 ． (1)求角 B 的大小； (2)求△ ABC 的面积 S． 已知等比数列 an 的公比是 2，且a2 + 2 是a1与a3的等差中项． (1)求数列 an 的通项公式； (2)若bn = 17 + 2log1 2 an，求数列 bn 的前 n 项和Sn． 第 3页 共 20页 ◎ 第 4页 共 20页 已知等差数列{an}，若a6 = 11，且a2，a5，a14成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a1 < 2，设bn = 1 anan+1 ，求数列{bn}的前 n 项和Sn． 已知函数 f(x) = 2sin2( π 4 − x) − 2 3cos2x + 3. (1)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)若 f(x) < m + 2 在 x ∈ [0,  π 6 ]上恒成立，求实数 m 的取值范围． 已知方程x2 + y2 − 2 m + 3 x + 2 1 − 4m2 y + 16m4 + 9 = 0 表示一个圆． (1)求实数 m 的取值范围； (2)求该圆半径 r 的取值范围； (3)求该圆心的纵坐标的最小值． 第 5页 共 20页 ◎ 第 6页 共 20页 参考答案与试题解析 2020-2021 学年湖北黄冈高二上数学月考试卷 一、选择题 1. 【答案】 A 【考点】 直线的倾斜角 【解析】 直接由直线的方程求出直线斜率，然后由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围得答案． 【解答】 解：由直线 l 的方程为 3x + 3y − 1 = 0，可得直线的斜率为 k =− 3 3 . 设直线的倾斜角为α(0∘ ≤ α < 180∘ )， 则 tanα =− 3 3 ， ∴ α = 150∘ ． 故选 A． 2. 【答案】 D 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【解析】 根据平行关系可设直线方程为 x − 2y + m. 【解答】 解：根据题意，设所求直线方程为 x − 2y + m = 0， 将点(1,2)代入直线方程得： 1 − 4 + m = 0， 解得：m = 3， 所以所求直线方程为：x − 2y + 3 = 0. 故选 D． 3. 【答案】 C 【考点】 直线与圆的位置关系 直线的点斜式方程 【解析】 由题意，圆心 C − 1, − 1 ，则点 C − 1, − 1 与 P 1,1 所在直线的斜率为kPC = −1−1 −1−1 = 1，因为 l ⊥ PC，所以k1 ⋅ kn =− 1．即k1 =− 1， 又直线 l 过点 P 1,1 ，所以直线 l 的方程为 y − 1 =− x − 1 ，即 x + y − 2 = 0． 【解答】 解：由题意，圆心 C − 1, − 1 ， 则点 C − 1, − 1 与 P 1,1 所在直线的斜率为kPC = −1−1 −1−1 = 1. 因为 l ⊥ PC， 令直线 l 的斜率为 k， 则 k ⋅ kPC =− 1， 即 k =− 1. 又直线 l 过点 P 1,1 ， 所以直线 l 的方程为 y − 1 =− x − 1 ， 即 x + y − 2 = 0． 故选 C． 4. 【答案】 D 【考点】 点与圆的位置关系 圆的标准方程 【解析】 设圆心的坐标为(0, b)，根据题意，则有(0 − 2)2 + (b − 4)2 = 4，解可得 b 的值，将 b 的值代入圆的方程即可得 答案． 【解答】 解：根据题意，设圆心的坐标为(0,b)， 则有(2 − 0)2 + (4 − b)2 = 4， 解得 b = 4， 则圆的方程为x2 + (y − 4)2 = 4. 故选 D． 5. 【答案】 B 【考点】 圆的标准方程与一般方程的转化 圆的一般方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：∵ 方程x2 + y2 + 2x + 4y + m = 0 表示的曲线是圆， 又x2 + y2 + 2x + 4y + m = (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 − m， ∴ 5 − m > 0， 解得：m < 5． 故选 B. 6. 第 7页 共 20页 ◎ 第 8页 共 20页 【答案】 D 【考点】 二倍角的正弦公式 三角函数线 对数函数的单调性与特殊点 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为函数 y = loga(2x + 7) + 2(a > 0 且 a ≠ 1)的图象过定点 A， 所以令 2x + 7 = 1， 可得 x =− 3， 故 A( − 3,2)， 所以 sinα = 2 (−3)2+22 = 2 13 ，cosα = −3 (−3)2+22 = −3 13 ， 所以 sin2α = 2sinαcosα = 2 × 2 13 × −3 13 =− 12 13 ． 故选 D． 7. 【答案】 D 【考点】 二倍角的正弦公式 同角三角函数间的基本关系 【解析】 由二倍角的正弦公式化简可得 cos α 2 ，根据同角三角函数的基本关系求解即可． 【解答】 解：∵ 5sinα = 6sin α 2 ， ∴ 5sin α 2 cos α 2 = 3sin α 2. 由 a ∈ 0,2π 可知a 2 ∈ 0,π ， ∴ cos α 2 = 3 5 ， ∴ sin α 2 = 1 − cos2 α 2 = 4 5 ， ∴ tan α 2 = sinα 2 cosα 2 = 4 3. 故选 D． 8. 【答案】 B 【考点】 两角和与差的正弦公式 诱导公式 【解析】 利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果． 【解答】 解：sin133∘ cos197∘ + cos47∘ cos73∘ = sin47∘ ( − cos17∘ ) + cos47∘ sin17∘ = sin(17∘ − 47∘ ) = sin( − 30∘ ) =− 1 2. 故选 B. 9. 【答案】 C 【考点】 正弦定理 【解析】 在△ ABC 中利用正弦定理求出角 C，再利用三角形内角和即可求出角 A． 【解答】 解：在△ ABC 中，B = 30∘ ，b = 2，c = 2， 由正弦定理得： b sinB = c sinC ， 即 2 sin30∘ = 2 sinC ， ∴ sinC = 2 2 . ∵ c > b， ∴ C > B. 又 C ∈ (0, π)， ∴ C = 45∘ 或135∘ ， ∴ A = 105∘ 或15∘ . 故选 C. 10. 【答案】 B 【考点】 等差数列的前 n 项和 等差数列的性质 【解析】 利用等差数列的通项公式可得a4 = 5，再利用等差数列的前 1 项和公式即可求解． 【解答】 解：设等差数列{an}的公差为 d， 由a2 + 2a5 = 15， 第 9页 共 20页 ◎ 第 10页 共 20页 可得a1 + d + 2a1 + 8d = 15， 则a1 + 3d = 5， 即a4 = 5， 可得S7 = a1+a7 ×7 2 = 2a4×7 2 = 35. 故选 B． 11. 【答案】 B 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 等比数列的性质 【解析】 利用等比数列的性质、基本不等式的性质即可得出结论． 【解答】 解：由等比数列的性质可得：a1a11 = a6 2，a3a13 = a8 2. ∵ a1a11 + 2a6a8 + a3a13 = 25，an > 0． ∴ a6 2 + 2a6a8 + a8 2 = 25 = (a6 + a8)2 ≥ (2 a6a8)2， ∴ a6a8 ≤ 25 4 . 又a6a8 = a7 2， ∴ a7 2的最大值是25 4 ． 故选 B. 12. 【答案】 C 【考点】 等比中项 等差数列的通项公式 【解析】 利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出 k． 【解答】 解：由题意得，等差数列{an}的公差 d ≠ 0，a1 = 2d， 则ak = a1 + (k − 1)d = 2d + (k − 1)d = (k + 1)d， a2k+7 = a1 + (2k + 6)d = 2d + (2k + 6)d = (2k + 8)d. 因为ak是a1与a2k+7的等比中项， 所以ak 2 = a1 ⋅ a2k+7， 所以[(k + 1)d]2 = 2d ⋅ (2k + 8)d， 所以k2 − 2k − 15 = 0， 解得 k = 5 或 k =− 3（不符合题意，舍去）． 故选 C. 二、填空题 【答案】 − ∞, − 2 2 ∪ 2 2, + ∞ 【考点】 点与圆的位置关系 【解析】 本题考查了点和圆的位置关系． 【解答】 解：过点 M a,4 总有两条直线与圆x2 + y2 − 6y = 0 相切，故点 M 在圆外， 故a2 + 16 − 24 > 0， 解得：a > 2 2或 a <− 2 2． 故答案为： − ∞, − 2 2 ∪ 2 2, + ∞ ． 【答案】 − 2 3 【考点】 两角和与差的余弦公式 三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：2(cosθ + sinθ) = 3sin2θ，平方后整理可得：3sin22θ − 4sin2θ − 4 = 0，进而解得 sin2θ的值． 【解答】 解： 2cos2θ cos(π 4+θ) = 2(cos2θ−sin2θ) 2 2 (cosθ−sinθ) = 2(cosθ − sinθ)(cosθ + sinθ) 2 2 (cosθ − sinθ) = 2(cosθ + sinθ) = 3sin2θ， 则 4(1 + sin2θ) = 3sin22θ， 则 3sin22θ − 4sin2θ − 4 = 0， 解得：sin2θ =− 2 3 或 2（舍去）． 故答案为：− 2 3. 【答案】 − 1 2 【考点】 诱导公式 等差数列的性质 【解析】 由等差数列的性质可知a1 + a5 + a9 = 3a5可求a5，而 cos(a2 + a8) = cos2a5可求 【解答】 解：由等差数列的性质可知： a1 + a5 + a9 = 3a5 = π， ∴ a5 = 1 3 π， ∴ cos(a2 + a8) = cos2a5 = cos 2π 3 = cos(π − π 3 ) =− 1 2. 第 11页 共 20页 ◎ 第 12页 共 20页 故答案为：− 1 2. 【答案】 6 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】 本题考查根据两直线垂直求参数． 【解答】 解：因为直线l1的方程为 2x + 3y − 2 = 0，直线l2的方程为 mx − 4y − m = 0，l1 ⊥ l2， 所以 2m + 3 × − 4 = 0， 解得 m = 6． 故答案为：6． 三、解答题 【答案】 解：(1)由题意得 x + y − 3 = 0， x − y − 1 = 0， ⇒ x = 2， y = 1， 所以两条直线交点坐标为(2,1). 直线 x + 3y − 1 = 0 的斜率为 k =− 1 3 ， 所以所求直线的斜率为 3， 故所求直线方程为 y − 1 = 3 x − 2 ， 即 3x − y − 5 = 0． (2)当直线不过原点时，设直线的方程为x a + y a = 1， 则2 a + 1 a = 1 ，a = 3， 则所求直线为x 3 + y 3 = 1 即 x + y − 3 = 0； 当直线过原点时，设直线方程为 y = kx， 则 1 = 2k 即 k = 1 2 ， 则所求直线为 y = 1 2 x 即 x − 2y = 0. 所以所求直线方程为 x + y − 3 = 0 或 x − 2y = 0． 【考点】 直线的一般式方程 直线的截距式方程 直线的点斜式方程 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 直线的斜率 【解析】 （1）由题意联立方程可得两条直线交点坐标，由直线垂直的性质可得所求直线的斜率，再利用直线的点斜 式方程即可得解： （2）分直线是否过原点分类讨论：当直线过原点时，设直线方程为 y = kx，代入点即可得解：当直线不过原 点时，设出直线的截距式方程，再代入点即可得解． 【解答】 解：(1)由题意得 x + y − 3 = 0， x − y − 1 = 0， ⇒ x = 2， y = 1， 所以两条直线交点坐标为(2,1). 直线 x + 3y − 1 = 0 的斜率为 k =− 1 3 ， 所以所求直线的斜率为 3， 故所求直线方程为 y − 1 = 3 x − 2 ， 即 3x − y − 5 = 0． (2)当直线不过原点时，设直线的方程为x a + y a = 1， 则2 a + 1 a = 1 ，a = 3， 则所求直线为x 3 + y 3 = 1 即 x + y − 3 = 0； 当直线过原点时，设直线方程为 y = kx， 则 1 = 2k 即 k = 1 2 ， 则所求直线为 y = 1 2 x 即 x − 2y = 0. 所以所求直线方程为 x + y − 3 = 0 或 x − 2y = 0． 【答案】 解：(1)∵ A 是△ ABC 的内角，tanA = 2，cos2A + sin2A = 1， ∴ A ∈ (0, π 2 )，sinA = 2 5 5 . 又 a sinA = b sinB ，a = 2 5，b = 5 3 2 ， ∴ sinB = bsinA a = 5 3 2 ×2 5 5 2 5 = 3 2 . 又 b < a， ∴ B < A， ∴ B = π 3 ． (2)由(1)得 A ∈ (0, π 2 )，sinA = 2 5 5 ，sinB = 3 2 ， 则 cosA = 5 5 ，cosB = 1 2 ， ∴ sinC = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB = 2 5 5 × 1 2 + 5 5 × 3 2 第 13页 共 20页 ◎ 第 14页 共 20页 = 2 5+ 15 10 ， ∴ S△ABC = 1 2 absinC = 1 2 × 2 5 × 5 3 2 × 2 5 + 15 10 = 10 3+15 4 ． 【考点】 正弦定理 三角函数的恒等变换及化简求值 同角三角函数间的基本关系 【解析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值，利用正弦定理可求 sinB 的值，结合大边对大角， 特殊角的三角函数值可求 B 的值． （2）由（1）可得 cosA，cosB 的值，利用两角和的正弦函数公式可求 sinC，进而根据三角形的面积公式即可 求解． 【解答】 解：(1)∵ A 是△ ABC 的内角，tanA = 2，cos2A + sin2A = 1， ∴ A ∈ (0, π 2 )，sinA = 2 5 5 . 又 a sinA = b sinB ，a = 2 5，b = 5 3 2 ， ∴ sinB = bsinA a = 5 3 2 ×2 5 5 2 5 = 3 2 . 又 b < a， ∴ B < A， ∴ B = π 3 ． (2)由(1)得 A ∈ (0, π 2 )，sinA = 2 5 5 ，sinB = 3 2 ， 则 cosA = 5 5 ，cosB = 1 2 ， ∴ sinC = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB = 2 5 5 × 1 2 + 5 5 × 3 2 = 2 5+ 15 10 ， ∴ S△ABC = 1 2 absinC = 1 2 × 2 5 × 5 3 2 × 2 5 + 15 10 = 10 3 + 15 4 【答案】 解：(1)因为a2 + 2 是a1与a3的等差中项， 所以 2 a2 + 2 = a1 + a3. 又{an}是公比为 2 的等比数列， 所以a1 + a1q2 = 2a1q + 4 所以a1 + 4a1 = 4a1 + 4， 解得：a1 = 4. 所以an = a1qn−1 = 4 ⋅ 2n−1 = 2n+1， 即数列{an}的通项公式为an = 2n+1． (2)由题意，bn = 17 + 2log1 2 2n+1 = 17 − 2 n + 1 = 15 − 2n， 当 n = 1 时，b1 = 13； 当 n = 2 时，b2 = 11， b2 − b1 =− 2， 所以{bn}是以 13 为首项，− 2 为公差的等差数列， 从而Sn = 13n + 1 2 n n − 1 ⋅ − 2 = 14n − n2， 即数列{bn}的前 n 项和Sn = 14n − n2． 【考点】 等差中项 数列递推式 等比数列的通项公式 等差数列的前 n 项和 等差关系的确定 【解析】 本题考查等差中项的应用，考查等差数列的前 n 项和的求法，考查等比数列的通项公式的求法，考查学生的 计算求解能力，属于基础题． 【解答】 解：(1)因为a2 + 2 是a1与a3的等差中项， 所以 2 a2 + 2 = a1 + a3. 又{an}是公比为 2 的等比数列， 所以a1 + a1q2 = 2a1q + 4 所以a1 + 4a1 = 4a1 + 4， 解得：a1 = 4. 所以an = a1qn−1 = 4 ⋅ 2n−1 = 2n+1， 即数列{an}的通项公式为an = 2n+1． (2)由题意，bn = 17 + 2log1 2 2n+1 = 17 − 2 n + 1 = 15 − 2n， 当 n = 1 时，b1 = 13； 当 n = 2 时，b2 = 11， b2 − b1 =− 2， 所以{bn}是以 13 为首项，− 2 为公差的等差数列， 第 15页 共 20页 ◎ 第 16页 共 20页 从而Sn = 13n + 1 2 n n − 1 ⋅ − 2 = 14n − n2， 即数列{bn}的前 n 项和Sn = 14n − n2． 【答案】 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d. ∵ a6 = 11，∴ a1 + 5d = 11①. ∵ a2，a5，a14成等比数列，∴ a5 2 = a2a14， ∴ (a1 + 4d)2 = (a1 + d)(a1 + 13d)， 化简得 6a1d = 3d2. 若 d = 0，a1 = 11，an = 11； 若 d ≠ 0，2a1 = d②， 由①②可得，a1 = 1，d = 2， 则an = 1 + 2(n − 1) = 2n − 1. 综上，数列的通项公式是an = 2n − 1 或an = 11. (2)若a1 < 2，可得an = 2n − 1， 则bn = 1 (2n−1)(2n+1) = 1 2 ( 1 2n−1 − 1 2n+1 )， ∴ Sn = b1 + b2 + ⋯ + bn = 1 2 (1 − 1 3 + 1 3 − 1 5 + ⋯ + 1 2n − 1 − 1 2n + 1 ) = 1 2 (1 − 1 2n + 1 ) = n 2n+1 ． 【考点】 等比中项 数列的求和 等差数列的通项公式 【解析】 (Ⅰ)可设等差数列{an}的公差为 d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差， 即可得到所求通项公式； (Ⅱ)求得an＝2n − 1，bn = 1 2 ( 1 2n−1 − 1 2n+1 )，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 【解答】 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d. ∵ a6 = 11，∴ a1 + 5d = 11①. ∵ a2，a5，a14成等比数列，∴ a5 2 = a2a14， ∴ (a1 + 4d)2 = (a1 + d)(a1 + 13d)， 化简得 6a1d = 3d2. 若 d = 0，a1 = 11，an = 11； 若 d ≠ 0，2a1 = d②， 由①②可得，a1 = 1，d = 2， 则an = 1 + 2(n − 1) = 2n − 1. 综上，数列的通项公式是an = 2n − 1 或an = 11. (2)若a1 < 2，可得an = 2n − 1， 则bn = 1 (2n−1)(2n+1) = 1 2 ( 1 2n−1 − 1 2n+1 )， ∴ Sn = b1 + b2 + ⋯ + bn = 1 2 (1 − 1 3 + 1 3 − 1 5 + ⋯ + 1 2n − 1 − 1 2n + 1 ) = 1 2 (1 − 1 2n + 1 ) = n 2n+1 ． 【答案】 解：(1)f(x) = 2sin2( π 4 − x) − 2 3cos2x + 3 = 1 − cos( π 2 − 2x) − 3cos2x = 1 − sin2x − 3cos2x =− 2sin(2x + π 3 ) + 1 ∴ T = 2π 2 = π. ∵ − π 2 + 2kπ ≤ 2x + π 3 ≤ π 2 + 2kπ，k ∈ Z， ∴ − 5 12 π + kπ ≤ x ≤ π 12 + kπ，k ∈ Z. 故 f(x)的单调递减区间为：[ − 5 12 π + kπ， π 12 + kπ](k ∈ Z). (2)由 f(x) < m + 2 在 x ∈ [0, π 6 ]上恒成立， 得 x ∈ [0, π 6 ]时，f(x)max < m + 2. ∵ 0 ≤ x ≤ π 6 ， ∴ π 3 ≤ 2x + π 3 ≤ 2 3 π， 则 3 2 ≤ sin(2x + π 3 ) ≤ 1， 故− 1 ≤ f(x) ≤ 1 − 3， 则 m + 2 > 1 − 3， 即 m >− 1 − 3. 【考点】 三角函数的化简求值 函数恒成立问题 正弦函数的单调性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 第 17页 共 20页 ◎ 第 18页 共 20页 （1）由已知中函数 f(x)的解析式，根据二倍角的余弦公式，诱导公式和和差角公式，可将函数的解析式化为 正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质，得到 f(x)最小正周期和单调递减区间； （2）由（1）中函数的解析式及正弦型函数的图象和性质，结合当 0 ≤ x ≤ π 6 ，有π 3 ≤ 2x + π 3 ≤ 2 3 π，我们可以求 出函数 f(x)的值域，进而根据 f(x) < m + 2 在 x ∈ [0, π 6 ]上恒成立，构造关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围． 【解答】 解：(1)f(x) = 2sin2( π 4 − x) − 2 3cos2x + 3 = 1 − cos( π 2 − 2x) − 3cos2x = 1 − sin2x − 3cos2x =− 2sin(2x + π 3 ) + 1 ∴ T = 2π 2 = π. ∵ − π 2 + 2kπ ≤ 2x + π 3 ≤ π 2 + 2kπ，k ∈ Z， ∴ − 5 12 π + kπ ≤ x ≤ π 12 + kπ，k ∈ Z. 故 f(x)的单调递减区间为：[ − 5 12 π + kπ， π 12 + kπ](k ∈ Z). (2)由 f(x) < m + 2 在 x ∈ [0, π 6 ]上恒成立， 得 x ∈ [0, π 6 ]时，f(x)max < m + 2. ∵ 0 ≤ x ≤ π 6 ， ∴ π 3 ≤ 2x + π 3 ≤ 2 3 π， 则 3 2 ≤ sin(2x + π 3 ) ≤ 1， 故− 1 ≤ f(x) ≤ 1 − 3， 则 m + 2 > 1 − 3， 即 m >− 1 − 3. 【答案】 解：(1)x2 + y2 − 2 m + 3 x + 2 1 − 4m2 y + 16m4 + 9 = 0 表示一个圆， 则D2 + E2 − 4F > 0， 即 4 m + 3 2 + 4 1 − 4m2 2 − 4 16m4 + 9 > 0， 所以 7m2 − 6m − 1 < 0， 解得− 1 7 < m < 1， 所以实数 m 的取值范围是( − 1 7 ,1). (2)圆的半径 r = 1 2 4(m + 3)2 + 4(1 − 4m2)2 − 4(16m4 + 9) = 1 2 − 7m2 + 6m + 1 = 1 2 − 7 m − 3 7 2 + 16 7 . 又由(1)得，− 1 7 < m < 1， 所以当 m = 3 7 时， 该圆半径 r 最大为2 7 7 ， 所以 0 < r ≤ 2 7 7 ， 所以该圆半径 r 的取值范围是(0, 2 7 7 ]． (3)设圆心坐标为 x,y ， 则 x = m + 3， y = 4m2 − 1， 消去 m，得 y = 4 x − 3 2 − 1. 由于− 1 7 < m < 1， 所以20 7 < x < 4， 故圆心的纵坐标 y = 4 x − 3 2 − 1，20 7 < x < 4， 所以当 x = 3 时， 圆心纵坐标的最小值为− 1. 【考点】 二次函数的性质 一元二次不等式的解法 圆的一般方程 【解析】 本题主要考查圆的方程与性质以及解析几何求最值问题． 【解答】 解：(1)x2 + y2 − 2 m + 3 x + 2 1 − 4m2 y + 16m4 + 9 = 0 表示一个圆， 则D2 + E2 − 4F > 0， 即 4 m + 3 2 + 4 1 − 4m2 2 − 4 16m4 + 9 > 0， 所以 7m2 − 6m − 1 < 0， 解得− 1 7 < m < 1， 所以实数 m 的取值范围是( − 1 7 ,1). (2)圆的半径 r = 1 2 4(m + 3)2 + 4(1 − 4m2)2 − 4(16m4 + 9) 第 19页 共 20页 ◎ 第 20页 共 20页 = 1 2 − 7m2 + 6m + 1 = 1 2 − 7 m − 3 7 2 + 16 7 . 又由(1)得，− 1 7 < m < 1， 所以当 m = 3 7 时， 该圆半径 r 最大为2 7 7 ， 所以 0 < r ≤ 2 7 7 ， 所以该圆半径 r 的取值范围是(0, 2 7 7 ]． (3)设圆心坐标为 x,y ， 则 x = m + 3， y = 4m2 − 1， 消去 m，得 y = 4 x − 3 2 − 1. 由于− 1 7 < m < 1， 所以20 7 < x < 4， 故圆心的纵坐标 y = 4 x − 3 2 − 1，20 7 < x < 4， 所以当 x = 3 时， 圆心纵坐标的最小值为− 1.