【数学】辽宁省沈阳市重点高中协作校2019-2020学年高一上学期期中考试试题 （解析版）

【数学】辽宁省沈阳市重点高中协作校2019-2020学年高一上学期期中考试试题 （解析版）

www.ks5u.com 辽宁省沈阳市重点高中协作校2019-2020学年高一上学期 期中考试数学试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,所以，故选A.‎ ‎2.若命题，，则该命题的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题，得，因为命题，，则该命题的否定为，，‎ 故选：D.‎ ‎3.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】解不等式，得；解不等式，得或。‎ 设集合，或。‎ 充分性：因为，故充分性成立；‎ 必要性：当或时，不一定成立，故必要性不成立；‎ 综上可得“”是“”的充分而不必要条件。‎ 故选：A。‎ ‎4.函数的零点所在的一个区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数定义域是，所以无意义，‎ 而，，，,‎ 所以根据零点存在定理得函数的零点所在的区间为，‎ 故选：C.‎ ‎5.对于任意实数、、、，命题：①若，，则； ②若，则； ③，则；④若且，则； ⑤若，，则.其中真命题的个数为（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】A ‎【解析】①项，当时，，故①项错误；‎ ‎②项，当时，，故②项错误；‎ ‎③项，由，得即，所以，故③项正确；‎ ‎④项，取，满足且，但此时，故④项不正确；‎ ‎⑤项，当，时，满足，此时，故⑤项错误；‎ 综上所述，正确命题为③。‎ 故选：A。‎ ‎6.若函数，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 3 C. 4 D. -4‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，又，所以，所以，‎ 故选：C.‎ ‎7.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得函数的对称轴，解得，‎ 故选：A.‎ ‎8.二次函数的图象如图所示，设，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 、的大小关系不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由二次函数的图像可得，，‎ 由和得，所以，由得，‎ 所以，‎ ‎，又，‎ 所以，所以. ‎ 故选：A.‎ ‎9.已知函数满足，,则的值为（ ）‎ A. 15 B. 30 C. 60 D. 75‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,令,得.所以 ‎ , 故选：B.‎ ‎10.定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为奇函数且在单调递减，故在上单调递减，且，又，故。‎ 由以上可知，当或时，，；当或时，，‎ 故不等式等价于或，即或，‎ 故选：D.‎ ‎11.设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为( )‎ A. ； B. ‎ C. ； D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件得：‎ ‎∴函数y=f（x+a）+f（x-a）的定义域就是集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集．‎ ‎（1）当a＞时，1-a＜a，‎ 集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，‎ ‎∴此时，函数y没有意义；‎ ‎（2）当0≤a≤时，-a≤a≤1-a≤1+a，‎ 集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|a≤x≤1-a}，‎ 即函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}；‎ ‎（3）当-≤a＜0时，a＜-a≤1+a＜1-a，‎ 集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|-a≤x≤1+a}，‎ 即函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；‎ ‎（4）当a＜-时，1+a＜-a，‎ 集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，‎ ‎∴此时，函数y没有意义．‎ 要使函数f（x-a）+f（x+a）有定义，a∈故选B．‎ ‎12.函数的定义域为，则函数的值域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知函数定义域为, 则的定义域满足,所以,‎ 所以的定义域为,‎ 所以 ，， 所以在单调递减, 在单调递增,  则当 时，的最小值为 ，‎ 当 时，的最大值为，‎ 所以的值域为，‎ 故选：C.‎ 二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.《九章算术》第八章“方程”问题八：今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足.卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百.问牛、羊、豕各几何？“如果卖掉2头牛和5只羊，可买13口猪，还余1000钱；卖掉3头牛和3口猪的钱恰好可买9只羊；而卖掉6只羊和8口猪，去买5头牛，还少600钱.问牛、羊、猪的价格各是多少”.按照题意，可解出牛______钱、羊______钱、猪______钱.‎ ‎【答案】 (1). 1200 (2). 500 (3). 300‎ ‎【解析】设每头牛的价钱是元，每只羊的价钱是元，每头猪的价钱是元．  根据题意，得   解这个方程组，得  故答案为：1200，500，300.‎ ‎14.已知两个正数，满足：，则的最小值为______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】因为，是两个正数，运用基本不等式可得, 当且仅当“”时，取等号，‎ 令,即,可得. 即得到,可解得或. 又注意到,故解为, 所以.故答案为:18.‎ ‎15.如果关于的方程的两根分别在区间和内，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，由已知得且，即且，所以，‎ 当时，要使关于的方程的两根分别在区间和内，则需满足，即解得，‎ 当时，要使关于的方程的两根分别在区间和内，则需满足，即解得无解，‎ 综上可知：实数的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎16.关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对关于的方程去分母,得，要使关于的方程的解集中只含有一个元素，‎ 则方程有两个相等的实数根，且该根不等于2，或者方程有两个不等的实数根，且这两根中只有一个根是0或是2,‎ 当方程有两个相等的实数根，且该根不等于2，此时，解得，经检验得此时方程的根不等于2；所以满足题意；‎ 当方程有两个不等的实数根，且这两根中只有一个根是0或是2,此时，解得，当方程的根为0时，即，解得，满足；当方程的根为2时，即，解得，满足，‎ 综上可得：的取值集合为.‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 解：（1）当时，，又，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，∴，‎ 当时，即时，符合题意，此时，‎ 当时，，‎ 解得.‎ 综上，的范围为.‎ ‎18.为了鼓励节约用电，辽宁省实行阶梯电价制度，其中每户的用电单价与户年用电量的关系如下表所示.‎ 分档 户年用电量（度）‎ 用电单价（元/度）‎ 第一阶梯 ‎0.5‎ 第二阶梯 ‎0.55‎ 第三阶梯 ‎0.80‎ 记用户年用电量为度时应缴纳的电费为元.‎ ‎（1）写出的解析式；‎ ‎（2）假设居住在沈阳的范伟一家2018年共用电3000度，则范伟一家2018年应缴纳电费多少元？‎ ‎（3）居住在大连的张莉一家在2018年共缴纳电费1942元，则张莉一家在2018年用了多少度电？‎ 解：（1）根据每户的用电单价与户年用电量的关系表，可以得出：‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以；‎ ‎（2）由条件得，所以范伟一家2018年应缴纳电费为元，‎ 所以范伟一家2018年应缴纳电费为1518元;‎ ‎（3）若张莉一家在2018年用了3720度电，则所交的电费为，所以张莉一家在2018年用的电的度数大于3720度，所以设张莉一家在2018年用的电为度，则，且，解得，所以张莉一家在2018年用了3755度电.‎ ‎19.求关于的不等式的解集.‎ 解：（1）当时，原不等式可化为，解得.‎ ‎（2）当时，原不等式可化为，且，‎ 若时，，且，所以的解集为，‎ 若时，，且，所以的解集为，‎ 若时，，且，所以的解集为，‎ 若时，，且，所以的解集为.‎ 综上所述，当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为或.‎ ‎20.已知：且，求证：.‎ 解：解方程组得，∴，‎ ‎∵‎ ‎，‎ 所以，当且仅当，，时，等号成立.‎ ‎21.研究函数的性质，并在规定区域内画出草图.‎ 解：做出函数的图像如下图所示，‎ ‎（1）由分母得函数的定义域为：；‎ ‎（2）因为，所以是偶函数.‎ ‎（3）因为函数是偶函数，所以只需证明时函数单调性的情况即可，设，且，‎ ‎，又，，‎ 当时，，；‎ 当时，， ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 因为是偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减； ‎ 所以在和上单调递减；在和上单调递增，‎ 又，所以函数的值域为：.‎ ‎22.已知函数，有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.‎ ‎（1）已知，，利用上述性质，求的单调区间和值域；‎ ‎（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数的值. ‎ 解：（1），‎ 设，∵，∴，由，可得 当时，即时，单调递减，‎ ‎∴函数单调递减区间为，‎ ‎ 当时，即时，单调递增，‎ ‎∴函数的单调递增区间为，‎ 由，，，得的值域为.‎ ‎（2）为减函数，故当时，，‎ 由题知的值域是的值域的子集，∴，解得.‎