陕西省西安市新城区西安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

陕西省西安市新城区西安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试 高二（理科）数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1.某入伍新兵在打靶训练中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（ ）‎ A. 至多有一次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有一次中靶 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，‎ 连续射击2次有“至少有1次中靶”和“2次都不中靶”，‎ 这两个事件不能同时发生，是互斥事件并且是对立事件.‎ 故选：C.‎ ‎2.某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，…，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）‎ A. 008号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件可知，1000人抽取100人，那么分成100组，每组10人，那么组距就是10，根据条件可知编号的末尾都是6，即可得到答案.‎ ‎【详解】解析：由题意得抽样间隔为，因为号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为号，之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和，选.‎ ‎【点睛】本题考查了系统抽样，属于简单题型.‎ ‎3. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）‎ A. 588 B. ‎480 ‎C. 450 D. 120‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480‎ 考点：频率分布直方图 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.的展开式中的常数项为( )‎ A. －3 B. 3 C. 6 D. －6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出通项，整理后，令的指数为，得到的值，再求出答案.‎ ‎【详解】展开式的通项 要求其常数项，则，解得，‎ 所以常数项为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查求二项展开式中的指定项，属于简单题.‎ ‎5.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率。‎ ‎【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，‎ 所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为。‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，属于基础题。‎ ‎6.已知随机变量服从正态分布, 且, 则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出，由正态密度曲线的对称性得出 ‎，于是得出可得出答案。‎ ‎【详解】由题可知，，‎ 由于，所以，，‎ 因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题。‎ ‎7.若（2-3x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+a3+…+a6等于（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令可以得到的值，令得到的值，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为 所以令得到，‎ 令，得到 所以可得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查求二项展开式的常数项和项的系数和，属于简单题.‎ ‎8.将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有(　　)‎ A. 480种 B. 240 种 C. 960种 D. 720 种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论，考虑C排在左边第一、二、三个位置情况，再利用对称性可得结论．‎ ‎【详解】解：第一类，字母C排在左边第一个位置，有种；‎ 第二类，字母C排在左边第二个位置，有种；‎ 第三类，字母C排在左边第三个位置，有种，‎ 由对称性可知共有2（）＝480种．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查利用排列知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎9.从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有（ ）‎ A. 9种 B. 12种 C. 54种 D. 72种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析可得，“这3人中至少有1名女生”与“只选派男生”为对立事件，即则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选派男生的方案数，由排列的方法计算全部方案与只选派男生的方案数，计算可得答案．‎ ‎【详解】从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，有A53种选法，‎ 其中只选派男生的方案数为A33，‎ 分析可得，“这3人中至少有1名女生”与“只选派男生”为对立事件，‎ 则这3人中至少有1名女生等于A53﹣A33＝54种，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查排列的运用，出现最多、至少一类问题时，常见的方法是间接法．‎ ‎10.某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出小明等车时间不超过分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．‎ ‎【详解】设小明到达时间为，‎ 当在7：50至8：00，或8：20至8：30时，‎ 小明等车时间不超过10分钟，‎ 根据几何概型概率计算公式得 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查求几何概型中长度型的概率，属于简单题．‎ ‎11.以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（          ）‎ A. 56个 B. 48个 C. 45个 D. 42个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎12.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 ‎【详解】由题可知，，，则 解得，由可得，‎ 答案选A ‎【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.若的展开式的所有奇数项二项式系数之和为，则______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据展开式的所有奇数项二项式系数之和为，得到关于的方程，求出的值 ‎【详解】因为展开式的所有奇数项二项式系数之和为，‎ 所以，‎ 所以得到，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中奇数项的和求值，属于简单题.‎ ‎14.将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，另两人各2本，则不同的分配方法是______种(用数字作答）‎ ‎【答案】90‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一步先将本书按照分成组，第二步再将这组分别给三个不同人，得到答案.‎ ‎【详解】第一步先将本书按照分成组，‎ ‎，‎ 第二步将这组分别给三个不同，‎ ‎，‎ 所以答案为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合里分组分配问题和全排列问题，属于中档题 ‎15.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”‎ 制，甲在每局比赛中胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出甲获得冠军的概率，比赛进行了局的概率，根据条件概率公式，得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，甲获得冠军的概率为，‎ 其中，比赛进行了局的概率为，‎ 所以，在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为 ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛】本题考查条件概率，相互独立事件概率公式，属于中档题.‎ ‎16.图是甲、乙两人在次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由图可知，甲的5次成绩分别是88、89、90、91、92，易知甲的平均分为90.乙的成绩分别是83、83、87、99，其中被污损的那次成绩为90到99中的某一个.设被污损的那次成绩为，由甲的平均成绩超过乙的平均成绩，得.所以.又是90到99的十个整数中的其中一个，其中有8个整数小于98，所以的概率.‎ 考点：茎叶图、随机事件的概率 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（1）解方程：；‎ ‎（2）解不等式：‎ ‎【答案】（1）或（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据组合数的性质，得到关于的方程，解得的值；（2）根据排列数的公式，得到关于的分式不等式，解出的范围，再结合，得到答案 ‎【详解】解：因为,‎ 所以或,‎ 解得或 ‎,‎ 解原不等式即，‎ 整理得，即 ‎，所以 所以得到，‎ 而 故或．‎ 原不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.‎ ‎18.已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）求展开式中所有的有理项．‎ ‎【答案】（1）；（2）,,．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出二项式展开式的通项公式，得到第二项和第三项的系数，所以得到关于的方程，解得答案；（2）由（1）得到的值，写出二项式展开式的通项公式，整理后，得到其的指数为整数的的值，再写出其展开式中的有理项.‎ ‎【详解】解：二项式展开式的通项公式为 ‎，；‎ ‎（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得 ‎，‎ 即,‎ 解得；‎ ‎（2）二项式展开式的通项公式为 ‎，；‎ 当时,对应项是有理项,‎ 所以展开式中所有的有理项为 ‎,‎ ‎,‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，求二项展开式中的有理项，属于中档题.‎ ‎19.如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限和所支出的维修费（万元）的几组对照数据：‎ ‎（年）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（万元）‎ ‎1‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 参考公式：，.‎ ‎（1）若知道对呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对照公式，计算相应数据，即可得到线性回归方程；（2）将x＝10，代入方程，即可求得结论．‎ ‎【详解】（1）根据所给表格数据计算得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ 所以，关于的线性回归方程为.‎ ‎（2）由（1）得，当时，，‎ 即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元，‎ 相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎20.已知某摸球游戏的规则如下：从装有5个大小、形状完全相同的小球的盒中摸球（其中3个红球、2个黄球），每次摸一个球记录颜色并放回，若摸出红球记1分，摸出黄球记2分．‎ ‎（1）求“摸球三次得分为5分”的概率；‎ ‎（2）设ξ为摸球三次所得的分数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）的分布列为 X ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ P 数学期望 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意摸球三次得分为5分，为一次红球两次黄球，得到答案；（2）根据题意可以取6，5，4，3，然后分别计算出每种情况的概率，列出分布列，计算出其数学期望.‎ ‎【详解】解：（1）由题意得,记A表示“摸球三次得分为5分”，则摸出的三个球应该为一次红球两次黄球 则 ‎(2)由题意可知，可以取6，5，4，3‎ 所以，的分布列为 X ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ P ‎【点睛】本题考查独立重复实验的概率问题，求随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.‎ ‎21.进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：‎ ‎  ‎ 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 有私家车 ‎70‎ ‎40‎ ‎110‎ 合计 ‎160‎ ‎60‎ ‎220‎ ‎（1）根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；‎ ‎（2）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．‎ 参考公式：K2＝‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3..841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）有的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据列联表里的数据，计算出的值，然后进行判断；（2）根据分层抽样的要求得到没有私家车的应抽取2人 有私家车的4人，再求出总的情况数和符合要求的情况数，由古典概型公式，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）根据列联表,计算 所以有的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；‎ ‎（2）从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人，‎ 没有私家车的应抽取2人 有私家车的4人.‎ 随机抽出2人，总的情况数为，‎ 至少有1名“没有私家车”人员的情况数为，‎ 所以根据古典概型的公式得：‎ ‎．‎ 点睛】本题考查列联表分析，分层抽样，古典概型，属于中档题.‎ ‎22.有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表 省数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.9‎ ‎0.7‎ 若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）‎ ‎（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.9.（Ⅱ）分布列见解析；数学期望3.3；（Ⅲ）0.838‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为，则，然后利用互斥事件的概率公式进行求解； （Ⅱ）的可能取值为2，3，4，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可； （Ⅲ）设自主招生通过并且高考达重点线录取、自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C、D，该学生被该校录取的事件分为三种事件，AB、C、D，分别求出对应的概率，最后相加即可．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为，，‎ 则，，.‎ 即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.‎ ‎（Ⅱ）该该学生参加考试的次数的可能取值为2，3，4‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.4‎ ‎.‎ ‎（Ⅲ）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为，.‎ ‎，，，‎ 所以该学生被该校录取的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差。‎