【数学】2018届一轮复习湘教版基本不等式及其应用教案
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
【知识拓展】
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔
f(x)min>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)
A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；
不等式f(x)0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( × )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( × )
(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．( × )
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )
1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C
解析 ∵x>0，y>0，∴≥，
即xy≤()2＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
2．(教材改编)已知x>0，a>0，当y＝x＋取最小值时，x的值为( )
A．1 B．a C. D．2
答案 C
解析 y＝x＋≥2，
当且仅当x＝即x＝时，
y＝x＋有最小值2.
3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.≤ B.＋≤1
C.≥2 D．a2＋b2≥8
答案 D
解析 4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．
4．(2016·宁波期末)若正数x，y满足x2＋4y2＋x＋2y＝1，则xy的最大值为________．
答案
解析 由题意得
1＝x2＋4y2＋x＋2y≥4xy＋2·，
则≤，则xy≤()2＝.
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 通过配凑法利用基本不等式
例1 (1)已知01)的最小值为________．
答案 (1) (2)1 (3)2＋2
解析 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·[]2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．
(2)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(3)y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立．
命题点2 通过常数代换法利用基本不等式
例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
答案 4
解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
引申探究
1．若条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值．
解 (1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)·(2＋)
＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，取等号．
2．已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值．
解 由＋＝4，得＋＝1.
∴a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2 ＝1.
当且仅当a＝b＝时取等号．
3．若将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值．
解 ∵a＋2b＝3，
∴a＋b＝1，
∴＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋＋
≥1＋2 ＝1＋.
当且仅当a＝b时，取等号．
思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
(2)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝________.
答案 (1)5 (2)4
解析 (1)方法一 由x＋3y＝5xy，可得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)
＝＋＋＋≥＋＝5.
当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立，
∴3x＋4y的最小值是5.
方法二 由x＋3y＝5xy，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>，
∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y
＝＋·＋4(y－)
≥＋2＝5，
当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.
(2)由2x－3＝()y得x＋y＝3，
＋＝(x＋y)(＋)
＝(1＋m＋＋)
≥(1＋m＋2)
(当且仅当＝，即y＝x时取等号)，
∴(1＋m＋2)＝3，
解得m＝4.
题型二 基本不等式的实际应用
例3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．
答案 8
解析 年平均利润为＝－x－＋18
＝－(x＋)＋18，
∵x＋≥2 ＝10，
∴＝18－(x＋)≤18－10＝8，
当且仅当x＝即x＝5时，取等号．
思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
答案 80
解析 设每件产品的平均费用为y元，由题意得
y＝＋≥2 ＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立．
题型三 基本不等式的综合应用
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例4 (1)(2016·杭州二模)正实数x，y满足：＋＝1，则x2＋y2－10xy的最小值为_____．
(2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
答案 (1)－36 (2)
解析 (1)＋＝1⇒x＋y＝xy，
x2＋y2－10xy＝(x＋y)2－12xy＝(xy)2－12xy＝(xy－6)2－36，
由x＋y＝xy≥2，得xy≥4，
故(x2＋y2－10xy)min＝－36.
(2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
∴＝＝(n＋＋1)≥
(2＋1)＝，
当且仅当n＝4时取等号．
∴的最小值是.
命题点2 求参数值或取值范围
例5 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
答案 (1)B (2)[－，＋∞)
解析 (1)由＋≥，
得m≤(a＋3b)(＋)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12(当且仅当＝时等号成立)，
∴m≤12，∴m的最大值为12.
(2)对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－(x＋)＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝.
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，∴－(x＋)＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞)．
思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
(1)(2016·杭州四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A. B. C．1 D．2
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 (1)C (2)A
解析 (1)由题意可得a>0，
①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；
②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，
当且仅当x＝－时取等号，
所以解得a＝1，故选C.
(2)由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，
所以q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)．
因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16，
所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6.
所以＋＝(m＋n)(＋)
＝(5＋＋)
≥(5＋2 )＝.
当且仅当＝，即m＝2，n＝4时等号成立，
故＋的最小值等于.
8．利用基本不等式求最值
典例 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．
(2)函数y＝1－2x－(x<0)的值域为________．
错解展示
解析 (1)∵x>0，y>0，∴1＝＋≥2 ，
∴≥2，∴x＋y≥2＝4，
∴x＋y的最小值为4.
(2)∵2x＋≥2，∴y＝1－2x－≤1－2.
∴函数y＝1－2x－(x<0)的值域为(－∞，1－2]．
答案 (1)4 (2)(－∞，1－2]
现场纠错
解析 (1)∵x>0，y>0，
∴x＋y＝(x＋y)(＋)
＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x时取等号)，
∴当x＝＋1，y＝2＋时，(x＋y)min＝3＋2.
(2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2 ＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故函数y＝1－2x－(x<0)的值域为[1＋2，＋∞)．
答案 (1)3＋2 (2)[1＋2，＋∞)
纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．
1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C．|＋|≥2 D．a2＋b2>2ab
答案 C
解析 因为和同号，所以|＋|＝||＋||≥2.
2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>0，
所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件，故选B.
3．(2016·余姚模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．2
答案 C
解析 因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，
所以＋＝(＋)(x＋3y)＝2＋＋≥4，
当且仅当＝，即x＝，y＝时，取等号．
4．(2016·平顶山至阳中学期中)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
答案 C
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
5．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( )
A. B．2 C. D．2
答案 D
解析 ∵x>0，y>0，x＋2y≥2，
∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2，
∴4≤4xy－2，
即(－2)(＋1)≥0，
∴≥2，∴xy≥2.
*6.设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是( )
A．2 B．4 C．2 D．5
答案 B
解析 2a2＋＋－10ac＋25c2
＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋＋
＝(a－5c)2＋ab＋＋a(a－b)＋
≥0＋2＋2＝4，
当且仅当a－5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1时，等号成立，
即取a＝，b＝，c＝时满足条件．
*7.(2016·吉林九校第二次联考)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是( )
A．1 B．6 C．9 D．16
答案 B
解析 ∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，所以＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，所以最小值为6.故选B.
8．(2016·浙江省五校高三第二次联考)对任意的θ∈(0，)，不等式＋≥|2x－1|成立，则实数x的取值范围是( )
A．[－3,4] B．[0,2]
C．[－，] D．[－4,5]
答案 D
解析 因为＋
＝＋
＝＋＋5≥2× ＋5＝9，
当且仅当＝，即tan θ＝时等号成立，
所以|2x－1|≤9，解得－4≤x≤5，故选D.
9．(2016·唐山一模)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．
答案 [4,12]
解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，
∴6－(x2＋4y2)≤，
∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)．
又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，
即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12
(当且仅当x＝－2y时取等号)．
综上可知4≤x2＋4y2≤12.
10．(2016·潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 ∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，
∴d＝＝，
∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1，
∴＝＝
＝(b＋1)＋－4≥2－4＝0.
又∵a，b为正实数，∴等号取不到．
∴的取值范围是(0，＋∞)．
*11.(2016·东莞模拟)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．
答案 8
解析 y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)，
由A在直线mx＋ny＋1＝0上．
得－2m－n＋1＝0即2m＋n＝1.
∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8(当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立)．
12．(2017·浙江联考)若正数x，y，z满足3x＋4y＋5z＝6，则＋的最小值为
________．
答案
解析 ＋＝＋
＝＋－3，
令2y＋z＝a，x＋z＝b，
则2(2y＋z)＋3(x＋z)＝3x＋4y＋5z＝2a＋3b＝6，
即＋＝1，
原式＝(＋)(＋)－3
＝＋＋≥.
13．某项研究表明：在考虑行车安全情况下，某路段车流量F(单位时间经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车辆速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时．
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
答案 (1)1 900 (2)100
解析 (1)当l＝6.05时，F＝≤＝1 900，
当且仅当v＝11时取最大值．
(2)当l＝5时，F＝≤2 000，
当且仅当v＝10时取等号，
∴最大车流量比(1)中增加2 000－1 900＝100(辆/小时)．
14．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解 (1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×(2＋)＋14×，x∈[50,100]．
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈[50,100]．
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，即x＝18时，等号成立．
故当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．
