【数学】2019届一轮复习北师大版 参数方程 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 参数方程 学案

第58讲　参数方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，22‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，23‎ ‎2016·江苏卷，21(C)‎ ‎　参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查．‎ 分值：5～10分 ‎1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__任意一点__的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称__参数__，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__普通方程__.‎ ‎2．直线、圆、椭圆的参数方程 ‎(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)①椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)；‎ ‎②椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)．‎ ‎1．思维辨析(在括号内“√”或“”)．‎ ‎(1)参数方程(t≥1)表示直线．(　×　)‎ ‎(2)参数方程当m为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．(　√　)‎ ‎(3)直线 (t为参数)的倾斜角α为30°.(　√　)‎ ‎(4)参数方程表示的曲线为椭圆．(　×　)‎ 解析　(1)错误．∵t≥1，∴x＝t＋1≥2，y＝2－t≤1，故参数方程表示的曲线是直线的一部分．‎ ‎(2)正确．当m为参数时，x＋y＝cos θ＋sin θ表示直线，当θ为参数时(x－m)2＋(y＋m)2＝1表示圆．‎ ‎(3)正确．方程可化为表示直线其倾斜角为30°.‎ ‎(4)错误．∵θ∈，∴x≥0，y≥0，方程不表示椭圆．‎ ‎2．参数方程(t为参数)化为普通方程为__3x＋y－4＝0(x∈[0,2))__.‎ 解析　∵x＝，‎ y＝＝＝4－3×＝4－3x，‎ 又x＝＝＝2－∈[0,2)，‎ ‎∴x∈[0,2)，∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为__(2,1)__.‎ 解析　由C1得x2＋y2＝5，且由C2得x＝1＋y，‎ ‎∴联立解得或(舍)．‎ ‎4．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为__　或　__.‎ 解析　直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有＝，即‎3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±a，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝，所以tan α＝±，因此切线的倾斜角为或.‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝__　　__.‎ 解析　将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解．‎ 将消去参数t，得2x＋y－3＝0，‎ 又消去参数θ，得＋＝1.‎ 根据题意可知C1与x轴交点在C2上，‎ 则在方程2x＋y－3＝0中，令y＝0，得x＝.‎ 将代入＋＝1，得＝1，又a>0，∴a＝.‎ 一　参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程的方法 ‎(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．‎ ‎【例1】 (1)将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎①(t为参数)；‎ ‎②(θ为参数)．‎ ‎(2)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．‎ 解析　(1)①∵2＋2＝1，∴x2＋y2＝1.‎ ‎∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝，‎ ‎∴x≠0.当t≥1时，0＜x≤1，‎ 当t≤－1时，－1≤x＜0，∴所求普通方程为x2＋y2＝1，‎ 其中或 ‎②∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，‎ ‎∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2 θ≤1，∴2≤x≤3，‎ ‎∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．‎ ‎(2)圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则∠PCx＝2θ，‎ 故xP＝＋cos 2θ＝cos2 θ，‎ yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．‎ 所以圆的参数方程为(θ为参数)．‎ 二　参数方程的应用 ‎(1)圆的参数方程(θ为参数)与直线的参数方程(t的参数)在外观上没有区别，如何区分两者，主要看参数是什么．另外，圆的参数θ和直线的参数t是有几何意义的，只要我们理解准确，运用恰当，便可以加速解题的过程．因此，牢记圆的参数方程，直线参数方程的标准式，是利用参数解决问题的关键．‎ ‎(2)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．‎ ‎(3)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ 过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎①弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎②M0为弦M‎1M2‎的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎③|M‎0M1|·|M‎0M2‎|＝|t1t2|.‎ ‎【例2】 已知曲线C1：(θ为参数)及曲线C2：(t为参数)．‎ ‎(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；‎ ‎(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2，写出C′1，C′2的参数方程．C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．‎ 解析　(1)C1是圆，C2是直线，C1的普通方程为x2＋y2＝1，‎ 圆心C1(0,0)，半径r＝1.C2的普通方程为x－y＋＝0.‎ 因为圆心到直线x－y＋＝0的距离为1，‎ 所以C1与C2只有一个公共点．‎ ‎(2)压缩后的参数方程分别为 C′1：(θ为参数)，C′2：(t为参数)．‎ 化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋，‎ 联立消元得2x2＋2x＋1＝0，其Δ＝(2)2－4×2×1＝0，‎ 故压缩后C′1与C′2仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．　‎ ‎【例3】 (2018·河南郑州一中月考)在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若点B坐标为(0,3)，直线l与曲线C交于两P，Q点，求|BP|·|BQ|.‎ 解析　(1)由题意得曲线C的普通方程为＋＝1, 直线l的普通方程为2x＋y－3＝0.‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入＋＝1，得t2＋t＋24＝0.设方程t2＋t ‎＋24＝0的两个根为t1，t2，所以|BP|·|BQ|＝|t1t2|＝.‎ 三　参数方程与极坐标方程的综合问题 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎【例4】 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于点M，N.‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程；‎ ‎(2)若，，成等比数列，求a的值．‎ 解析　(1)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)，直线l的普通方程为x－y－2＝0.‎ ‎(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立并整理，‎ 得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，(*)‎ Δ＝‎8a(4＋a)＞0，设点M，N分别对应参数t1，t2，则t1，t2恰为上述方程的两根，则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|.‎ 由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|.‎ 由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，‎ 则有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1或a＝－4.因为a＞0，所以a＝1.　‎ ‎1．将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(k为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)．‎ 解析　(1)两式相除，得k＝，将其代入x＝，得x＝，化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．‎ ‎(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)‎ 得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，‎ 得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．‎ ‎2．设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；‎ ‎(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．‎ 解析　(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以当直线l 经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝.‎ ‎(2)由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.‎ 由直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，知直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，即kx－y＋4－3k＝0.‎ 当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即＜2，由此解得k＞，即直线l的斜率的取值范围为.‎ ‎3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．‎ 解析　(1)点P的直角坐标为(2,2)，令关于t的方程组无解，所以点P在直线l外．‎ ‎(2)直线l的普通方程为x－y＋1＝0，设Q(2＋cos θ，sin θ)，点Q到直线l的距离为d，‎ 则d＝＝，所以当sin＝－1时，dmin＝；‎ 当sin＝1时，dmax＝.‎ ‎4．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．‎ ‎(1)求2x＋y的取值范围；‎ ‎(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．‎ 解析　方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1，‎ 其参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1，‎ 其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定，‎ ‎∴1－≤2x＋y≤1＋.‎ ‎(2)若x＋y＋c≥0恒成立，‎ 则c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R恒成立．‎ ‎∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1，‎ ‎∴当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．‎ 错因分析：不清楚直线的参数方程中参数的几何意义，导致解题错误．‎ ‎【例1】 已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：‎ ‎(1)P，M两点间的距离；‎ ‎(2)点M的坐标；‎ ‎(3)线段AB的长．‎ 解析　(1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，‎ 设直线l的倾斜角为α，tan α＝，sin α＝，cos α＝，‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数)．(*)‎ ‎∵直线l与抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，且Δ＝152＋4×8×50＞0，‎ 设这个一元二次方程的两个根为t1，t2，‎ 由根与系数的关系，得t1＋t2＝，t1t2＝－，‎ 由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得＝＝.‎ ‎(2)将t中＝＝代入(*)式，得点M的坐标为.‎ ‎(3)＝＝＝.‎ ‎【跟踪训练1】 已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解析　(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①，得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②，得t2＋5t＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ 课时达标　第58讲 ‎[解密考纲]高考中，主要涉及曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化，能写出直线、圆和椭圆的参数方程，常以解答题的形式出现．‎ ‎1．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值．‎ 解析　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.‎ C1为圆心是(－4,3)，半径为1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．‎ ‎(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，‎ 故M.‎ C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离 d＝|4cos θ－3sin θ－13|.‎ 从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ 解析　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，‎ 所以a＝8；‎ 当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，‎ 所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ ‎3．在极坐标系中，圆C的圆心为C，半径为2.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)设l与圆的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|＋|PB|.‎ 解析　(1)在直角坐标系中，圆心为C(1，)，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，即x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 化为极坐标方程得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，‎ 即ρ＝4sin.‎ ‎(2)将代入x2＋y2－2x－2y＝0，得t2＝4，所以点A，B对应的参数分别为t1＝2，t2＝－2.‎ 令 ＋t＝0，得点P对应的参数为t0＝－2.‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1－t0|＋|t2－t0|＝|2＋2|＋|－2＋2|＝2＋2＋(－2＋2)＝4.‎ ‎4．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求曲线C与直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝，求实数m的值．‎ 解析　(1)由得 ‎①2＋②2得曲线C的普通方程为x2＋(y－m)2＝1.‎ 由x＝1＋t，得t＝x－1，代入y＝4＋t，得y＝4＋2(x－1)，‎ 所以直线l的普通方程为y＝2x＋2.‎ ‎(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d＝，所以由勾股定理得2＋2＝1，解得m＝3或m＝1.‎ ‎5．直线l：(t为参数)，圆C：ρ＝2cos(极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同)．‎ ‎(1)求圆心C到直线l的距离；‎ ‎(2)若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．‎ 解析　(1)把化为普通方程为x＋2y＋2－a＝0，把ρ＝2cos化为直角坐标系中的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，‎ ‎∴圆心C(1，－1)到直线l的距离为d＝.‎ ‎(2)由(1)知圆的半径为，弦长的一半为，‎ ‎∴2＋2＝()2，‎ ‎∴a2－‎2a＝0，解得a＝0或a＝2.‎ ‎6．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.‎ ‎(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎(2)若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出点P的坐标．‎ 解析　(1)∵∴x－y＝1.‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，‎ 即ρ＝1，即ρcos＝1.‎ ‎∵曲线C的极坐标方程是ρ＝，∴ρ＝，∴ρcos2θ＝sin θ，∴(ρcos θ)2＝ρsin θ，即曲线C的普通方程为y＝x2.‎ ‎(2)设P(x0，y0)，y0＝x，∴P到直线l的距离为 d＝＝＝ ‎＝.‎ ‎∴当x0＝时，d取最小值，dmin＝，此时P，‎ ‎∴当点P的坐标为时，P到直线l的距离最小，最小值为.‎